де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 26
Текст из файла (страница 26)
а а= — А~~» ~ С(/;, /)1пЛпи (9.36) — интенсивность источника энтропии. Выпишем теперь в явном виде статистическое выражение (9.36) для интенсивности источника энтропии. С учетом (9.2) это выражение принимает вид )(' д, 16'(й( ~ й, '.; д, ) ай,'. йи. аи,. (9.37) Интеграл в правой части этого выражения можно симметризировать, применяя метод, описанный в Э 2 1ср. преобразование выражения (9.7), которое дает симметризованное выражение (9.16)1. При этом получаем (9.38) В каждом из подынтегральнык выражений положительный множитель дз.К(!е,. (Ф'..; д,.) умножается на множитель вида (х — у)1п(х/у), где х = Я', а у = /,../.: Если х ) у, то как (х — у), так и 1п(х/у) положительны, а если х (у, то (х — у) и 1п(х/у) отрицательны.
Следовательно, подынтегральное выражение в каждом из интегралов (9.38) положительно или обращается в нуль, так что а) О. (9.39) ') Относительно вывода Н-теоремы в том случае, когда микроскопическая обратимость не выражается в форме (9.6), см, работы [10, 111. Это неравенство '), означающее, что интенсивность источника энтропии должна быть положительной или равной нулю, в рамках кинетической теории газов является выражением второго закона термодинамики.
Неравенство (9.39) известно в кинетической теории газов под названием Н-теоремы Больцмана. Если проинтегрировать (9.38) по всему объему, занимаемому системой, то Н-теорема (в интегральном виде) выражает тот факт, что энтропия замкнутой системы может только увеличиваться с течением времени и при 1-+ со приближается к некоторому предельному значению. В этом пределе интегралы в правой части (9.38) должны 18! Обсуждение 4унда.ченгальных принципов обращаться в нуль. Это возможно только в том случае, если У',У', = У/,, (9. 40) или эквивалентно, если 1и )",.
+1п ~'. = 1и Т,. +! и ~, (9.41) Таким образом, Н-теорема утверждает, что соотношение (9.40) является необходимым и достаточным условием для равновесия (а = О); в равновесном состоянии число прямых и обратных столкновений в точности уравновешивает друг друга в любом заданном интервале скоростей (принцип детального баланса). Согласно эквивалентному условию (9.41), в равновесном состоянии логарифмы функций распределения ~, являются аддитивными инвариантами. Таким образом, они 'должны выражаться через линейную комбинацию трех величин т,, т,.и,.
н 1/з т,.и',.: 1п у",~~" = а.т. + т Ь ° И,.+ —, стЦ. (9.42) Х; =и;(2 ~ьТ) ехр~ 2вТ (9. 43) Если ввести термодинамический потенциал на единицу массы компо- нента 1 в идеальной газовой смеси (см. ]12]) нТ / 3 2пнТ 1 р = — ]1ип — — !п ]. т; ], ' 2 нп,]' (9.44) то вместо (9.43) можно написать также 1. — — (И.— ) 1 в йТ (9.45) При подстановке равновесного решения уравнения Больцмана в определения (9.24), (9.26! н (9.30) потоков l;, Р н l диффузионные потоки У; и тепловой поток .Т обращаются в нуль, а тензор Постоянные а,. могут быть различными для каждого сорта молекул с', так как величина т; сама по себе сохраняется при молекулярных столкновениях.
Наоборот, постоянные Ь и с должны быть одинаковыми для всех сортов молекул, так как только полный импульс и энергия пары сталкивающихся частиц сохраняются при столкновении. Постоянные а, Ь и с связаны с плотностью и; числа молекул сорта с', массовой скоростью и и температурой Т системы соотношениями (9.17), (9.22) и (9.28). Равновесная, или максвелловская, функция распределения, выраженная через эти величины. имеет вид Обсуждение 4андплгенгпльнсгх ггринциггоа Иными словами, мы исследуем условия, при которых соотношение (9.49) справедливо для неравновесных состояний.
Макроскопические выражения для потока энтропии и интенсивности источника энтропии записываются в виде [см. (3.25) и (3.26)] Ю (9.50) 1 а= — — У .райТ— Тг 1 сч 1 Т ~ 7' ' [(агайР')г Р] т П: Огайо; (9.51) здесь „поток тепла" Ус определяется соотношением [см. (3.24)] Уд — Уд —,'~", дД, (9.52) где 7г, — парциальная удельная энтальпия компонента 1 и зг = = †(]л; — 7г;)(Т вЂ” парциальная удельная энтропия компонента 1. В (9.51) вязкий тензор давлений П определяется следующим образом [см.
(2.35)]: П=р — ро. (9.53) В дальнейшем будет найдено, что выражения (9.35) и (9.36) обладают формой (9.50) и (9.51) для приближенного решения уравнения Больцмана, соответствующего линейным феноменологическим законам. ф 6. Решение уравнения Больцмана по методу Энскога Введем функцию распределения Максвелла 7гуг. соответствующую локальным значениям плотности, средней скорости и кинетической температуры: и — — ( — е)' 2 Тге1 = ехр т; (9.54) Макроскопические функции р;, о и Т (или ро тг и Т), которые являются функциями пространственных координат и времени, удовлетворяют при этом следугощей системе условий [см.
(9.17), (9.22) и (9.28)]: ]г,=ш, / Лпгн,=лг, ~ ~~,'~ с(м,, (9.55) ро = ~~» и, ~ иД йц = ~ и, ~ и,.7' 1гяйи,, (9. 56) г 1 ) ( )лАК 2 ) г ' 7 С~ (9.57) ' 165 Обсуждение фундаменгальнык лринианов Больцмана в виде ряда 19, 131 У =У1'1+Рп+Р.'~+ ... =Ра1(1+фп1+ф(п+ ...). (9.64) 5 т~й~ — — — й Т. 2 (9.66) Из уравнения (9.65) видно, что возмущающая функция ф<!> зависит от времени и координат только через величины р, в и Т.
Из формы интегральных уравнений видно также, что функция ф(П линейно зависит от градиентов этих величин. Следовательно, если вычислить потоки, входящие в гидродинамические уравнения, сохраняя в Л возмущения первого порядка ф)'1, то диффузионный поток У;, тепловой поток l и недиагональные элементы тензора давлений Р становятся линейными функциями градиентов макроскопических величин р, в н Т. Иначе говоря, первое приближение Энскога соответствует линейным законам феноменологической макроскопической теории и таким образом охватывает те явления переноса в разрежеи- Здесь мы будем иметь дело главным образом с первым приближением.
которое характеризуется функцией ф11>. Можно продифференцировать функции ~<а>, входящие в (9.63). Получающееся выражение содержит временные и пространственные производные функций рч, в и Т (или рп ю и и). Чтобы исключить производные по времени, используем гидродинамические уравнения (9.23), (9.25) и (9.29) (см. 9 3). Однако для того, чтобы сохранить порядок приближения, использованный в (9.63), заменим у, на ~<а> в выражениях для потоков У...У и тензора давлений Р, которые входят в гидродинамические уравнения.
Это означает, что для исключения производных по времени мы применяем „обратимые", или эйлеровы, гидродинамические уравнения, где У,.=О, У =О и Р= рЦ (см. обсуждение в 9 4). После выполнения всех указанных операций получаем следующие уравнения для функций ф<.'>: —,',, Т~,~2(и; — ) — ~,)((и; — Ю "',"+ 1 1 ъ1 +т,(и; — и) (йтабпс)т — л-; — — атас1 р+ — т р л' + l + т,. 1 (ц — и) (и; — 'в) — 3 (и; — е)'- О,: Огаб п~ ~—— 1 1 ='~~ ~ ~ у(ьу(ь1(ф'">+ у'.1п — у(п —,ур) ~ .(р"д. ~ ~.. ~..) 1~'.. 1и .
(9.65) здесь й; — энтальпия на единицу массы компонента 1, которая дается соотношением 166 Глава ГХ ных газах, которые в широком диапазоне условий адекватно описываются этими линейными законами. Мы продолжим исследование уравнения (9.65) в 9 7, где на базе кинетической теории будут установлены соотношения Онсагера. Для наших целей нет необходимости получать явное выражение для величины фЖ.
Такое явное решение необходимо, если мы хотим вычислить значения кинетических коэффициентов (т. е. коэффициентов линейных законов), выразив их через известные параметры молекулярных взаимодействий. Хотя одна из самых важных особенностей кинетической теории газов состоит как раз в том. что она дает метод такого вычисления, в настоящей книге мы не будем рассматривать этот вопрос. Уравнением (9.65) мы воспользуемся. чтобы провести сравнение статистического выражения для производства энтропии с выражением, получаемым в макроскопической теории. Анализ высших приближений методом Энскога показывает, что они содержат высшие пространственные производные макроскопическнх функций р,„ о и Т и высшие степени производных более низкого порядка.
Решение Энскога дает полное описание последующего изменения состояния газа, если в определенный момент времени в каждой точке пространства известны макроскопические функции р,. о и Т. Очевидно, что метод Энскога дает возможность вычислять только такие отклонения от локальной функции распределения Максвелла. которые полностью обусловлены пространственной неоднородностью системы. Таким путем мы не получаем наиболее общего решения уравнения Больцмана для произвольных начальных отклонений от равновесного состояния. Можно, однако, показать, что времена релаксации для пространственно однородных возмущений распределения Максвелла имеют величину порядка нескольких времен ме:кду столкновениями (время между столкновением, или среднее время пробега, имеет величину порядка 10 а сел).
Это оправдывает применение решения Энскога в том смысле, что по истечении макроскопически пренебрежимо малого интервала времени истинное решение уравнения Больцмана можно аппроксимировать решением типа Энскога (см. также (14]')). ф 6. Уравнение баланса энтропии в первом приближении Энскога Сравним теперь статистические выражения для потока энтропии и интенсивности источника энтропии с соответствующими макроскопическими выражениями. Рассмотрим сначала поток энтропии. Подставляя в правую часть (9.35) ряд Энскога (9.64) для функции распределения и разлагая ') См. также книгу Карлемана 124). — Прим.
рвд. 167 Обсуждение фундаментальных принципов логарифм в ряд по степеням возмущающих функций, получаем следующий ряд для У,'): (9.67) где 71о> + 70>+ бз ~,=.7,"'+7„''+.7,'+ .. (9.71) (9. 72) где 4'1=то ~ (и. — в~у(о1г1и. =О, / ~, г / 1 ,7% ~~~~~ лт ~ (и,в)г(и чг)У<о1 с(и = О 7т= Рц Х(и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
