де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 18
Текст из файла (страница 18)
собственных значений ие могут быть отрицательными, так что линейные явления, в которых «-переменные неограниченно возрастают при г -~со, невозможны. Доказательство с оотн о шеи и я (7.161). Собственные значения Л, являются теми значениями параметра )., для которых уравнение на собственные значения М ' =Лх 108 Глава Иl Поскольку первоначальные переменные а являются линейными ком. бинацнями и", то данный результат доказывает справедливость соот ношения (7.143). Заметим, наконец, что при преобразовании (7.155) матрица ц'= Ц переходит в ц"=в'д в'=в' в', (7.169) так же, как д' получается из ц при преобразовании (7.146).
В частном случае, когда матрица 1 является симметричной в силу соотношений взаимности Онсагера, т. е. если рассматриваются только переменные и-типа и внешнее магнитное поле отсутствует, собственные значения ), являются действительными и матрица ц" остается единичной. В этом можно убедиться следующим образом: при преобразовании координат (7.144) матрица 1.'. в которую переходит матрица (, остается симметричной, что ясно из (7.152).
Следовательно, матрица М', которая, согласно (7.151), равна 1.', также является симметричной. Тогда из сравнения (7.163) и (7.164) вытекает, что число ). должно быть действительным. Далее, поскольку матрица М' симметрична, она может быть приведена к диагональной форме с помощью действительной ортогональной матрицы, т. е. с помощью матрицы В, обладающей свойством в '=в. (7.
170) так что, согласно (7.169), ц" является единичной матрицей. Таким образом. в этом частном случае две матрицы ц и М (а следовательно, и 1.) могут быть диагонализированы одновременно. Вышеприведенные результаты справедливы как для переменных м-типа, так и для переменных р-типа, так как они не зависят от поведения рассматриваемых переменных при операции изменения знака времени. В 6. Гауссовы марковские процессы До сих пор мы рассматривали процессы и(1) только с той точки зрения, которая была нужна для вывода соотношений Онсагера. В частности, помимо некоторых результатов, полученных на основе общих принципов статистической механики, было постулировано, что эмпирические законы для усредненного затухания больших флуктуаций справедливы также и для усредненного затухания малых флуктуаций, Однако могут представлять интерес и другие стороны вопроса, например важно знать явное выражение для плотности условной вероятности Р (мз)а; ~), которая позволяет более детальным образом описать ход исследуемого процесса 1!2, 131.
Тогда можно было бы вычислять условные средние таких величин, как произведение ма. Обсуждение статистическик основ теории )'(а, 1+к) = ~7'(а', г)Р(а', 1[а, Е+ч)Иа'. В частности, 7 (а, ~+ с) = ~ 7'(а", 0) Р(а", 0[а, ~+ к) дан (7.172) (7..173) 7 (а, Е) = ~ 7 (а", 0) Р (а", 0[а, ~) еаза". (7.174) Предположим теперь, что 7(а, 0)=8(а — ао) (7.175) и что плотность в фазовом пространстве р(гге, рл'; 0) постоянна в области (ао. ив+с[ив). Тогда (7.173) записывается в виде 7(а.
~+ с)=Р(ао, 0[а, ~+к)=Р(ао[а; 1+к), (7.176) а (7.174) — в виде 7'(а, ~)=Р(ао. О!а, г)=Р(ао[а; ~), (7,177) где было использовано соотношение (7.76). Подставляя эти результаты в (7.172), получаем Р(ао[а; 8+с)= / Р(ао[а', ~)Р(а', с[а, ~+-.)сЕа'. (7.178) Это уравнение является точным соотношением между стационарной и нестационарной плотностями вероятности. Плотность условной вероятности Р(а', г[а, ~+к) связана с распределением р(гл', Ро'; 1) в фазовом пространстве, которое неоднородно в области (а', а'+ с[а') и получается из начального распределения р(т'т; Рл'; 0), Примем теперь, что нестационарную плотность условной вероятности Р(а', 1[а, ~+ т) в соотношении (7.178) можно заменить стационарной, плотностью условной вероятности Р(а'[а; ч); тогда это уравнение переходит в так называемое уравнение Смолуховского Р(ао[а; ~+к)= ~Р(ив[а'; ~)Р(а'[а; т)е(а'.
(7.179) которое входит в определение энтропии о(а) [см. (7.49)[. Таким образом можно найти, как будет изменяться со временем средняя энтропия, если известно, что в начальный момент времени система находилась в определенном состоянии а„(см. 8 8). Чтобы получить такое более детальное описание, нужно сделать некоторые дополнительные предположения относительно природы рассматриваемых процессов. Установим вначале некоторое интегральное соотношение, которому удовлетворяет плотность условной вероятности в а-пространстве. Во-первых, имеем соотношение [см. (7.72)] ~ 7 (а', 1; а, ~ + ч) сКа' = 7 (а, ~+ ч); (7.171) следовательно, вводя плотность условной вероятности Р(а'. с[а, ~+к), получаем Глава КП По Это эквивалентно предположению, что плотность р(Г~, рог; 1) остается „достаточно" постоянной в течение соответствующего времени в областях (сс, а+сси) в фазовом пространстве').
Процессы, для которых справедливо соотношение (7.179), называются марковскими процессами. Предположим далее, что за короткие промежутки времени переменные сс меняются незначительно; точнее, что а 1!ш — =!!ш — ~ ЬссР(сс(а', с)с(сс'= — М и, (7.180) в-+О ~-+О а 1пп " =1нп — ~ Ьи ЬаР(и(а', т) аа' = 20, (7.181) х-+О ~.+О (7.182) т.+0 здесь Ьа=а' — сс и в (7.182) ЬпЬсс...
Ьа представляет собой упо- рядоченное произведение более чем двух множителей [например, (Ьа Ьсс Ьвс)с а — » Ьас Ьа,. Ьа [. Левые части соотношений (7. 180) — (7. 182) ца и Ф содержат „моменты" различных порядков Асс, Ьа Ьсс ... приращений Ьсс. Эти соотношения выражают тот факт, что в пределе т — ь0 только первые два момента пропорциональны т. Конечно, (7.180) есть не что иное, как введенный ранее закон затухания флуктуаций (7.94). Множитель 2 перед постоянной матрицей О в (7.181) вводится для удобства. Рассмотрим теперь интеграл у дР(а,!а; С) (7.! 83) где Й(сс) — произвольная функция переменных и, которая стремится к нулю, если сс достаточно быстро стремится к + со.
Записывая производную по времени как предел частного конечных разностей и используя уравнение (7.179), получаем ') = дР(ао ! а Г) 7~, = !!т — 1 [Р(сс ~сс; Е-+т) — Р(сс,~сс; Е)) Я(сс)с(сс втв =1!ш — ~ [г ~Р(а,~!а; С)Р(сс!а', т)Л(ас') йсаа'— 1-+з — ~ Р (ссв ! сс; г) Й (сс) с(сс ~, (7. 184) где в двойном интеграле мы поменяли местами переменные м и сс'. ') См., например, работу [4], Это предположение, очевидно, не может быть строго подтверждено для всех времен.
В какой мере справедлива указанная гипотеза, можно выяснить только на основе микроскопического статистического рассмотрения. Мы предполагаем, что гипотеза верна для интересующих иас макроскопических интервалов времени. (См. также [18[.— Прим. рвд.) Обсйгкдение статистических основ теории Поскольку тс(а) — произвольная функция, мы можем написать =(М: 1.1)Р+М: м — +С(: — Р, (?.187) дР дт где М вЂ” матрица, транспонированная по отношению к М, а Ц вЂ” единичная матрица. Таким образом, из предположений (7.180) †(?.182) следует, что Р должна удовлетворять уравнению в частных производных (7.187), которое называется уравнением Фоккера — Планка.
Это уравнение должно быть решено с начальным условием 1см.'(7.80)) Р(аида; 0) =В(а — ао). (7.188) Поскольку, согласно (7,82), мы имеем ~7(мо)Р(мо!м' ~) ~?ми=У(м) (7.189) то, умножая (7.187) на 7(ао) и интегрируя по ссо, получаем, что 7" (ог) есть стационарное решение уравнения Фоккера — Планка: (М: 0)У+М: к д +С(: д д — О. (7.190) Подставляя в это уравнение выражение (7.14) для функции распределения 7 (а), приводим его к виду Г 1 1 (С1 — ?М.
ц- ): 1,— „д. ц — — ц) =О. Такому уравнению должны удовлетворять вторые моменты С1. Так как уравнение (7.191) должно быть справедливо для всех значений а и так как второй множитель является симметричной матрицей, полу.- чаем, что симметричная часть первого множителя должна обращаться в нуль. Таким образом.
в силу симметричности матрицы 0 имеем 0= 21М ц +ц М) (7.192~ (7.191) Разлагая Я (к') вблизи точки а в ряд Тейлора по степеням а' — а = Ьп, находим дР(ио! и; Г) щ ( ) ~ дс =)Р(~(а; в( — 1м ) — я(а)ч-о:,„я(а)~да (7.185) где были использованы соотношения (7.180) — (7.182) и условие нормировки (7.81).
После интегрирования по частям имеем Г)( дт — д ° Р~М ° ®) — д д .' РО ~ тг(сс) аог= О. (7.186) ГЛаВа Ис' 112 где Р теперь представляет собой функцию. а, а и 1, а условие имеет впд Р(ао~а; 0)=8(а — а,). При этом фурье-образ функции Р начальное (7.196) /11» л А(ао со' г)=~ — ) ) Р(ао~а* '~)е-с аа (7.197) удовлетворяет уравнению д, (М: 0 — (ем О е'"'): соос) А (7.198) с начальным условием А(а, со; О)= — е-' с. 1 о — (2»)» (7.199) Решение уравнения (7.198) есть А(ао, ос; 1) = — ехр — с'со ао+(М: 0)1— 1 о = (2о)» с — ) е"' О е»'Ж):ии).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
