де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для „вековой" [адей) системы [т. е. для адиабатически изолированной системы, которая стремится достичь состояния статистического равновесия) с энергией между Е и Е+ с7Е таким ансамблем является „микро- канонический ансамбль", который описывается следующей плотностью вероятности: ~ ро при энергиях между (Е и Е+ с[Е), р(гич, рч) = (7.1) [ О при всех других значениях энергии. ') Настоящая книга не охватывает всех важнейших направлений по статистическому обоснованию необратимой термодинамики; читателям, интересующимся этими вопросами, можно рекомендовать цикл лекций, прочитанных в Летней школе физики нм.
Э. Ферми [171. Библиографию см. в книге [18[.— Прим. ред. ') Предположение о точечности частиц не является необходимым. Здесь оно делается для упрощения излагаемой теории. Глава УЛ Постоянная ра определяется следующим условием нормировки: р (гл(, рта) ((Гл( Ирл(= 1, (7.2) где интегрирование производится по всему фазовому пространству. [1з уравнений (7.1) и (7.2) получаем — г(гл(,(р ч — 11 1 Рв (е, е+ае) (7. 3) А = А(г.)т. рл(). (7А) Введем вероятность 7'(А)аА=Г(А,, А,, ..., А„)((А,а(Аа... ИАв того, что система находится в состоянии, для которого А(Г)т, р)ч) лежит между А и А+а(А.
Эта вероятность дается формулой 7'(А) а'А = ) р (гт(, р(Р) (('г)т ((р'ч, (7.5) (А, А -~-ВА) где интегрирование производится по области фазового пространства, определяемой условием А (А(г)т. р(Р) (А+(1А. (7.6) Применяя (7.2) и (7.3). получаем для (7.5) ~ (А) (Я = ~ ро йг)ч Ир)( = — ~ йгм ()р)ч = —, (7.7) 1 Я (А) (Е, Е+аЕ) (е, е~-ае) (А, А+ ВА) (А, А+аА) где Я вЂ” объем фазового пространства, соответствующий энергетическому слою (Е, Е+дЕ). С макроскопической точки зрения состояние системы описывается набором п экстенсивных переменных А,. Аа, ..., А„. Это могут быть.
например, энергии, массы, электрические заряды малых подсистем. Такие подсистемы должны содержать достаточное количество частиц, так чтобы к ним также были применимы методы статистической механики. Экстенсивные переменные выбираются ввиду тех трудностей, с которыми мы сталкиваемся при попытках с самого начала вв сти для неравновесных состояний интенсивные термодинамические переменные состояния. Для удобства введем матричные или тензорные обозначения (см.
приложение 1). Будем рассматривать величины А;, где ) = 1, 2, ..., и, как компоненты вектора А. Макроскопическое состояние системы может при этом быть представлено точкой в так называемом А-пространстве, и декартовымн координатами которого являются величины А;. Переменные А являются функциями динамических переменных г(ч и р(" системы 87 Обсуждение статистических основ теории где ( Я (А) — объем в фазовом пространстве, содержащий те точки, Л М для которых энергия лежит между Е и Е+с(Е. а вектор А(г, )ч )— между А и А+ с(А. Примем, что функция распределения 7'(А) является гауссовой: ') ~(А) ~~А: — 7 (А1 А» .
Ав) т?А! сМАт . с(А с р~ — — 2 т~(А! — (Аф(А,— (А))~ИА,шА ...ИА„. (78) 1, ? где ",. — элементы симметричной положительно определенной ма- ЬИ трицы ~это значит, что квадратичная форма,>, д,,х?х,. с действи- 1,/ тельными х; является положительно определенной); й — постоянная Больцмана, а (А;) — среднее значение А,; (А,)= ~ 7(А,, Ат...,, Ав) Асс(А1с1Аг .. а'А„. (7.9) Согласно (7.8), флуктуации ио определяемые как а,=А,— (А) (1=1, 2, ..., и), (7.1 О) описываются функцией распределения .У(аы ат, ..., а„) = с ехР— — ~д;ти.и, (?.11) 1 ъ~ Из определения (7.5) и условия нормировки (7.2) имеем У(а,, а,, ..., а„) Ь., с?а, ... т?а„= 1. (7.1 2) Нормировочная постоянная с в (7.11) находится нз (?.12): (7. 13) здесь 1ц~ — детерминант матрицы с элементами дц,.
В матричных обозначениях (?.11) запишется так: 1 т (сс) = с е хр ( — — д: ссаг ), 2л (7. 14) ') Можно сказать, что принятие формы (7.8) для функции распределения У(А„А„..., А„) определяет класс переменных, к которому применима данная теория. Именно на такой функции распределения основана обычная теория флуктуаций (см., например, 11, 2] ). Флуктуации термодннамнческих величин удовлетворяют этому требованию в широком диапазоне условий. С точки зрения фундаментальных принципов справедливость соотношения (7.8) соответствует тому, что в кинетической модели экстенсивные переменные А; являются алгебраическпчн суммами микроскопических переменных, причем выполняется ,центральная предельная теорема" (см. приложение Ш, где дан явный вывод распределения Гаусса в специальном случае).
88 Глава 1!'Д где ц — симметричная положительно определенная матрица с элементами у,», а аа — днадное произведение (т. е. матрица с элементами а;а ). С помощью функции распределения (7.14) мы можем вычислить ряд средних значений '). Введем величину Х: — ?» д ~Х;=А д, 1=1, 2, ..., а . (7.15) Из этого определения и (7.14) следует также, что в Х= — ц ° а Х, = —,~~~ д,»а» »=1 (7.16) Среднее значение диады аХ вычисляется без труда: (аХ) = ~ аХ? йа = й ~ а — ~ да; (7.17) здесь мы использовали (7.15), а с(а обозначает и!а,~йт... л!а„.
Интегрирование по частям дает (аХ) = — А ~ У вЂ” а с(а, д (7.18) поскольку на границах области интегрирования ? обращается в нуль. Производная по вектору в подынтегральном выражении есть единичная матрица Ц с элементами 8;» (8;» — 1, если (=Ф; Ь,.» —— О, если 1 — ' А), так как да,/да» =Ь, . Таким образом, в конечном счете получаем, учитывая нормировку (7.12): (аХ) = — АЦ. (7.19) ') Как всегда, в теории случайных процессов средние могут быть определены либо как средние по времени для одной системы, либо как средине по ансамблю систем. Отсюда, используя (?.16), получаем важный результат: (аа) =Ац ', (7.20) где д ' — матрица, обратная матрице ц (т. е. ц ° д '=д ' ц=()).
Выражение (7.20) называется „дисперсией" распределения Гаусса (7.14). В общем случае мы различаем два типа макроскопических переменных. Переменные первого типа являются четными функциями скоростей частиц (например, энергия или плотности масс). В дальней. шем переменные этого класса мы будем обозначать символом а. Может, однако, оказаться, что для описания системы потребуются также переменные, которые являются нечетными функциями скоростей частиц (например, плотность импульса, плотность электрического Обсуждение статистических основ теории 89 тока). Переменные этого второго класса мы будем обозначать символом р=(р,, фа,, р,„).
Рассмотрим сначала случай, когда на систему не действует внешнее магнитное поле. Прн этом функция распределения удовлетворяет соотношению 7'(а, Р)=7 (е!, — Р). (7. 21) Это соотношение следует из выражения для 7 (а, р) Иа ~1р в виде интеграла по объему в фазовом пространстве 1см. (7.7)), если учесть четности различных входящих в него величин относительно изменения знака скоростей. (Энергия Е, входящая в пределы интегрирования в (7.7). является четной функцией скоростей частиц].
Следовательно, распределение Гаусса (7.14) в этом случае имеет форму 7'(а, р) = с ехр ~ — — (ц: аа + Ь: рр) ~, (7.22) Х=Й вЂ” = — ц ° а, д!ну' да д д!пт д> (7.25) и получаем по аналогии с (7.19) формулы (аХ) = — 7т0, (7. 26) (р~) = — йи, (7.27) (8Х) =О, (7.28) (аУ) = О. (7.29) Для дисперсий распределения (7.22) получаем нз (7.26) †(7.29) с учетом (7.24) и (7.25) (аа) =йц ', (7. 30) (О)=йь ' (7.31) (вф) = (рсс) = О.
(7.32) Если на систему действует внешнее магнитное поле В, то распределение 7'(а, р; В) удовлетворяет вместо (7.21) соотношению 7'(а, р; В) =7 (а, — р; — В). (7.33) (7.24) где ц и Ь являются симметричными положительно определенными матрицами, а нормировочная постоянная есть „Г !д!!й! (2яа)в+т Формула (7.22) не содержит перекрестных членов а- и р-типа в силу свойства (7.21). С помощью этой функции распределения мы определяем два набора величин: 90 Глава свт Это соотношение вновь следует пз выражения для 7(а.
р; В) в виде интеграла по объему в фазовом пространстве с учетом того обстоятельства, что обращение скоростей соответствует одновременному изменению знака импульсов и магнитного поля, а энергия системы является четной как по импульсам, так н по магнитному полю П. Распределение Гаусса имеет вид г'(а, р; В) = г ехр ~ — — (д: аа+ си: а3+- и: ра+ Ь: рр) ~, (7.34) 1 где гп и и являются прямоугольными матрицами, первая с и столбцамн н т строками, вторая с т столбцами и п строками. Матрица гп является транспонированной по отношению к и: си=и (тс» =и»;; с'=1, 2, ..., т; Ус=1, 2, ..., и), (7.35) В силу (?.33) получаем ц(В) = д( — В), гп(В) = — гп( — В), и(В) = — и( — В), )т (В) = 1т ( — В).
(?.36) (7.37) (7. 38) (7.39) дси У дя (7.40) ~'= — ?с = — гп а — Ь д1п у' дй (7.4 1) где использовано соотношение (7.35). С учетом этих определений вновь получаем результаты (7.26) — (7.29). Для дисперсий распределения (7.34) находим из (7.26) — (7.29) с учетом (7.40) и (7.41): ( >=7с(д — и Ь '. гп) (7.42) (РР) = 7с(Ь вЂ” гп д ' и) (7. 43) (аР) = — Уг (ц — и Ь ° гп) и Ь, (7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
