де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 17
Текст из файла (страница 17)
~.е. и 4е, справедливые при наличии магнитного поля: [ (8)=[., ( — В). (7.111) [ (в) = — 4 ( — в). (7. 112) [ аа(,8) = 4„( — В). (7. 113) Возвращаясь к соотношению (7.98). заметилп что матрица феноменологических коэффициентов [1г] выражается как статистическое среднее следующим образом: е-"' ° Ц '= — ~ ~ аао7 (ао)Р(ао! а; 1) с(аг(ао, (7.114) где мы использовали (7.20). Из (7.114), вновь используя (?.20) и условие нормировки (7.81), получаем выражение для матрицы входящей в (7.103): [.= — ~ 11ш — ~ ~ Ьаао?(ао) (ао']а; О йсг?ао, (7.115) 1 . 1 г+о л Обсуждение статистических основ теории Эти две системы дифференциальных уравнений первого порядка можно записать как одну систему дифференциальных уравнений второго порядка для величин и: д2 «о,»е д «ь», д»е +[э [»» [т д» +Я м ' '=О. (7.129) Обычно спустя короткий промежуток времени после начала про- цесса первым („инерциальным") членом можно пренебречь.
Для одной -» — 1 переменной а это имеет место, если л1.» )) ~?д/Й и»)) 1.:» Ь Тогда уравнение (7.129) сводится к д«"' »' — „», — Х"' ', д» (7.130) где [..=Ь [»» Ь (?,131) а соотношения взаимности записываются как [,.=1 ... (?.132) что следует из (?.131) и (7.113) и симметричности матрицы Ь. Мы получили результат (7.104) для случая только и-переменных. Иными словами, мы видим, что в некотором приближении р-переменные не являются необходимыми для описания состояния системы н ее поведения во времени.
Мы получили, однако, соотношение (?.131) между Е матрицами коэффициентов 1.„„и 4», характеризующими соответственно законы затухания флуктуаций для»» и р-переменных [см. (7.130) и (7.128)[. В зависимости от конкретных физических условий может оказаться„что число необходимых для описания системы р-переменных (которые являются производными по времени от а-переменных) меньше числа а-переменных.
Для этого случая также нетрудно произвести соответствующее упрощение системы соотношений (7.111) — (7.113). Тогда из (7.112) следует, что 1.».—— ,Ь ', (7.126) так как матрица [т симметрична. Однако матрица [»» не сводится аналогичным образом к нулю нли равновесному значению; эта величина определяет поведение рассматриваемой системы во времени. Учитывая полученные результаты и используя (7.24) и (7.25), находим, что уравнения затухания флуктуации принимают внд д «ъ»о д» ф", ».
«о »о — = — Ь ц м"" ' — [»». [т4"" '. (?.128) д» Глава УП $6. Дополнительные свойства матрицы феноменологических коэффициентов В дополнение к соотношениям взаимности Онсагера можно получить и некоторые другие свойства матриц 1 и М. Эти свойства следуют из определейий данных матриц как средних от величин, содержащих а-переменные. Докажем сначала, что ~ 1.$) 0, (7.133) где ~ — произвольный действительный л-мерный вектор, а 1 — матрица, определяемая соотношением (7.103). Соотношение (7.133) выражает тот факт.
что квадратичная форма из величин ~, (1=1, 2, ..., а) с коэффициентами 7.,? (1,,?= 1, 2, ..., л) является положительно определенной. Разобьем 1„на симметричную и антисимметричную части 1' и 1 в: 1 =1.'+1', (7.134) 2( + (7,135) 2( (7. 136) Квадратичная форма (7.133) сводится тогда к виду $ (- $=$ (.' $ (7.
137) поскольку выражение ф 1в ф обращается в нуль. С учетом (?.115) квадратичная форма принимает вид ф 1' ф= — д 1!ш 2с ~ ь (Ьаао+аоЫа) Ф? (ао)Р(ао!а; г)~йссйсо 1 . 1 (7. 138) Рассмотрим теперь соотношения ) ) аоао?(ао)Р(ао!а' г) "аосга= ~ аоао?(а,)Иао=?сд-с, (7.139) ~ / 7(ао)Р(ао~а; ~) йс, йс= ~аале(а) йс=?д-, (7.140) где мы использовали (7.20), (7.81) и (7.82). С помощью соотношений (7.139) и (7.140), мы можем вместо (7.138) записать Ф 1-'.
Ф= — — 11ш — ~ „~ Ф. (баао+ао~а — аа+аоао) Х 1 . 1 Л, 2с3 Х ФУ (осо) Р (ссо! ос; ~) алло сйс, (7.141) поскольку разность правых частей (7.141) и (7.138) обращается в нуль. Так как Ьа=а — а, получаем из последнего соотношения Ф 1' Ф= — 11ш 2 ~ ~ ($ ба)'У(ао)Р(ао!а' С)атос(а)~0. (7.142) Обсуждение статистических основ теории 105 Это неравенство. доказывающее справедливость соотношения (7.133), следует из того, что все сомножнтели в подынтегральном выражении положительны. Свойства (7.142), как будет показано, достаточно, чтобы убедиться в том, что решения (7.96) дифференциальных уравнений (7.94) стремятся к нулю при неограниченном возрастании времени: 1ип а '(с) = 1ип е ~~ ° ао — — 0; (7.143) 1->со с+ как это, очевидно, и должно быть.
если уравнения типа (7.94) описывают затухание флуктуаций. Чтобы показать справедливость этого утверждения, совершим сначала с помощью действительной матрицы переход к новым переменным а'. а =А ° а. а=Д ' ° а. (7. 144) Поскольку функция распределения 7" (а)с(а 1см. (?.14)1, а следовательно, и квадратичная положительно определенная форма ц: аа, должны оставаться инвариантнымн относительно такого линейного преобразования, имеем а д а=а' ° ц' ° а', (7.145) причем с решением — ее а' =е-м '* а' * о (7.149) где М'=А М.А-'.
(7.150) Это преобразование матрицы М называется преобразованием подобия. Наконец, матрица ~.', которая, согласно (7.103) и (7.147), равна 1. =М (д)-'=М О=М, (7.151) ц=А ц А (7. 146) есть, очевидно, симметричная н положительно определенная матрица, как и д.
Преобразование (7.146) от ц к д' называется конгруэнтным преобразованием. Матрицу Д можно выбрать таким образом, чтобы матрица д' была единичной матрнцей ц' = О. д = А А. (7.14?) (Это всегда возможно при конгруэнтном преобразовании симметричной положительно определенной матрицы.) После преобразования (7.144) уравнения затухания флуктуаций (7.94) принимают вид е< Вк/ / дт Глава И! а"=В а'. (7, 155) где  — матрица, диагоналпзирующая матрицу М', так что В. М В =Л; Л;?=х,3;;. Собственные значения );, представляющие собой элементы диагональной матрицы Л, являются и корнями уравнения 1М' — ~01 =О. (7.
157) Вместо (7.148) получаем для а" дифференциальное уравнение (7.156) а„ да" — вл — = — Л а" дл (7. 158) с решением ав в-лл . ав о (7.159) или, записывая в компонентах, †«во ) Л в иа =в та,. (7.160) (1=1, 2, ..., и). Можно показать, что в силу неравенства (7.154) действительные части собственных значений Х, (1=1, 2, ..., и) должны быть положительными: г 1 Л,= — (лл+Л,)>О, (7.161) здесь Л; — величина, комплексно сопряженная с )Ч.
получается из 1 с помощью конгруэнтного преобразования. Это вы. текает из (?.146) и (7.150): 1. =м (д')-'=А м л '.А д-' А=А 1.А, (?.152) Полученный результат следует также непосредственно из (?.144) и выражения (7.115) для матрицы ~, из которого видно, что она должна преобразовываться как диадное произведение ааааа. При конгруэнтном преобразовании (7.152) симметричны часть матрицы 1 остается положительно определенной. так что Ф (1 ')'.Ф) о. (7.153) Такое заключение может быть сделано также и непосредственно из соотношения (7.142), которое справедливо для произвольного выбора переменных а.
Из (7.151) и (7.153) теперь находим $ ° (М')' ° Е = 4 ° ($ ')' ф )~ О. (7.154) Таким образом, это свойство преобразованной матрицы М' является прямым следствием общего свойства (7.133) матрицы 1. Теперь удобно произвести второе линейное преобразование переменных: Обсуждение статистических основ теории 107 (7.162) имеет отличные от нуля решения х. Векторы х, удовлетворяющие уравнению (7.162), называются собственными векторами этого уравнения.
Умножим (7.162) слева на вектор, комплексно сопряженный х: (7. 163) х' ° М' х = Лх" х. Уравнение, комплексно сопряженное предыдущему, есть х М' х'=х* М' х=Л"х* ° х. (7.164) Складывая два последних уравнения, получаем х* (М')' х=)'х' х, (7.165) где Л' — действительная часть Л. Запишем комплексный вектор х в форме х= $+ (т1, (7.166) где $ и э) — действительные векторы.
Тогда уравнение (7.165) примет вид $ ° (М') ° $+ ч) (М')' т1 = Л'(ф $-+ т1 т1). (7.167) Согласно (7.154), левая часть этого уравнения положительно определена, что и доказывает справедливость (7.161), т. е. тот факт, что число Л~~ должно быть положительным. Из полученного результата следует, что решения (7.159) должны стремиться к нулю при неограниченном возрастании времени'): Иш а"" = О. 1-ьсо (7.168) ') В принципе нельзя исключить возможности того, что действительные части Л~ собственных значений обращаются в пулы это произойдет, если правая часть (7.142) обращается в нуль для всех значений ', (в пределе Г-+О). Тогда (7.168) не имеет места и решения феноменологических уравнений являются периодическими, Это соответствует обратимым периодическим движениям.
Здесь, однако, мы не будем рассматривать такие обратимые явления. Свойствз макроскопнческои обратимости или необратимости для данного явления должны следовать из микроскопической теории, основанной иа микроскопическом механизме явления. Главным результатом этого параграфа является утверждение, что действительные части Л,'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
