де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика (1185120), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Принцип Кюри Как уже отмечалось в гл. 1Ч, $ 2, при наличии определенных свойств пространственной симметрии в системе форма феноменологических уравнений может упроститься таким образом, что декартовы компоненты потоксв будут зависеть не от всех декартовых компонент термодинамических сил. Это утверждение носит наименование принципа Кюри 111. В настоящем параграфе мы рассмотрим влияние пространственной симметрии системы на схему феноменологических коэффициентов. Помимо всего прочего, мы покажем, что в изотропной системе потоки и термодинамические силы, имеющие различную тензорную размерность, не могут быть связаны между собой. 62 Глава И В макроскопических выражениях для интенсивности источника энтропии, полученных в гл. И1, не встречалось потоков и термодинамических сил с тензорной размерностью, большей 2. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся следующим видом формулы для производства энтропии: а/ р а=ДУ,.Х,+ ~У, Х,.+ ~Д,:Х, г=1 ю'=1 Е 1 (6.1) Эта формула содержит потоки и термодинамические первой и второй тензорных размерностей (скаляры У~ .Р,.
и Х; и тензоры 1; н Х,.). Если разбить тензор следующим образом: силы нулевой, и Х;, векторы второго ранга Т = — 'О бр Т+ Т1'1+ т<", 3 (6.2) -где Ц вЂ” единичный тензор, Бр Т вЂ” след Т, Т1~1 — антисимметрича ная, а Т1~~ — симметричная части мнзора Т вЂ” '/з113р Т, то скалярное произведение тензоров Т и Ч типа последнего члена в сумме (6.1) можно записать следующим образом: Т: Ч = — (Бр Т) (Бр Ч)+ Т": Ч1а'+ Т": Ч". (6.3) Первый член в правой части есть произведение скаляров.
Второй член можно записать как скалярное произведение двух аксиальных векторов. Таким образом, окончательно в соответствии с (6.3) мы видим, что в (6.1) входят три типа членов: произведения скаляров л' и Х~, произведения (полярных) векторов ./' и Х~, произведения аксиальных векторов ./~ и Х и произведейия симметричных тензоров с нулевым следом, которые мы обозначим как 1' и )('. Если для простоты взять только по одному члену каждого типа, то для производства энтропии получим выражение а =УХ'+l'. Х'+-l' Х'+д': )('. Феноменологические уравнения в общем случае будут иметь вид .1' = ~"Х'+ ~" . Х" + Ь" . Х'+ 1": Х', Ги уыХа+1 аи Ха+1 аа Ха+1 и.
ф уа уагХл+ 1 аа Ха+1 аа Ха+ 1 а~ . ф (6.5) ,)'=1 "Х +1". Х +1". Х +1": Х'. Тензорная размерность, а также полярный или акснальный характер феноменологических коэффициентов в этих уравнениях указаны в следующей таблице: Сво!!стиа $сномснологических уравнений и соотношений Онсасера 63 Тензорная размерность иэ ии с! !с Полярные тензоры Аксиальные тензоры с г. Поскольку Х вЂ” симметричный тензор с нулевым следом, тензоры 1.", 1"', 1."' и 1 и должны быть симметричными и обладать нулевым следом по отношению к последней паре декартовых индексов. Так, для 1 "' имеем (а, Р, ( = 1, 2, З) (6.6) и з ,"5', Е„',са = О (сс = 1, 2, 8).
(6.7) а 1 Тензоры 1", 1", 1'~ и 1 н должны обладать теми же свойствами по отношению к первой паре декартовых индексов, поскольку !)' есть симметричный тензор с нулевым следом. Каждая тензорная величина Т ранга и преобразуется при ортогональном преобразовании А (с детерминантом ~А~ = + 1) следу!ощнм образом: Tгос,...т„=~А~,~~~ А;у А;у ...А;, Т,) г, (6.8) т!' тг "' тп где 1,, 1а, ..., 1„и у!, 1а ..., /„— индексы декартовых компонент Т и А и где в=О для полярных тензоров, в=1 для аксиальных тензоров.
Формула (6.8) в символическом виде может быть записана так: Т'= !А~'А" ( ) Т, (6. 9) где ( ) означает и-мерное свертывание. Если система вообще не имеет свойств симметрии, то после ортогональных преобразованиИ феноменологические тензоры ранга 1 и выше в общем случае буду~ отличаться от непреобразованных: 1' Ф 1. (6, 1О) Наоборот, если система обладает некоторыми свойствами симметрии, то при преобразовании А, соответствующем тому свойству, феноменологические тензоры остаются неизменными, т. е. 1'=1., (6.11', Глава г'г или, с учетом (6.9), 1А! А" ( )1 =1. (6.1 2) Соотношение (6.12) позволяет судить о форме тензора 1 в зависимости от свойств симметрии системы. Изотропная систс мп.
Рассмотрим нзотропную систему, производство энтропии в которой определяется формулой (6.4). Одним из свойств симметрии такой системы является инвариантность относительно инверсии 1: — 1 О О 1= о — ! о, 1Ц = — 1. 0 Π— 1 (6.1 3) Из (6.12), полагая А = 1, получаем !11'1"( ) ! = ! ° что с учетом (6.13) дает ( — 1)""1 =1.. (6.15) Отсюда непосредственно следует, что все коэффициенты с нечетными е-+и должны обращаться в нуль, так как тогда, согласно (6.15), 1 =О.
(6. 16) Таким образом, из схемы коэффициентов исключаются полярные тензоры (а.=о) Х", А" (п=1), 1", 1."(п= 3) и аксиальные тензоры 1)1ию . 1па( Далее, свойства нзотропной системы инвариантны также относительно произвольных вращений Я (( Я ~ = 1). Для скалярного коэффициента 1." уравнение (6.12) удовлетворяется тривиальным образом. Для векторов Е" и Е'" имеем из (6.12) с А=К: р у ил ~аз р уаа уха (6.1 ?) Это соотношение может быть удовлетворено только в том случае, если Е"= О. (6.
18) Еы — О Чтобы сделать заключение относительно остающихся феноменологических тензоров, используем тот факт, что скаляр инвариантен относительно произвольного вращения. Так, например, с помощью тензора ! " мы можем построить скалярную величину ~ ': аЬ = 1 "": а'Ь', (6.1 9) где а и Ь вЂ” произвольные векторы. Поскольку в изотропной системе тензор 1." инварнантен относительно произвольного вращения, то 1."": аЬ = 1."": а'Ь'. (6. 20) Свойство фена.кенологачесник уравнений и соотношений Онсагера 65 Это соотношение показывает, что форма, билинейная по а и Ь, после преобразования переходит также в билинейную форму по а' и Ь' с теми же самыми коэффициентами (."".
Выражение (6.20), таким образом, линейно по билинейным инвариантам из а и Ь. Поскольку единственным инвариантом этого рода является (а. Ь), мы можем сделать вывод, что выражение (6.20) равно Е""(а Ь), где Е~~ — скаляр. Тогда тензор 1 "~ должен иметь вид ~"=Е' и. (6.21) Аналогично имеем аа Еаао (6.22) 1.'~ = Е'~0, ( и Егер (6,23) ( " обладают нулевым Ввиду того, что последние два тензора 1' и следом, отсюда получаем все остальные компоненты равны нулю, так как только в этом случае (6.26) имеет вид с „5~ а,ТЗ21. в чем легко убедиться.
Поскольку, кккк кроме того, тензор Е,к симметричен по сс и р, мы имеем ~а ( "=О, '"=О. (6.27) Таким образом, в рассматриваемой системе тензоров обращаются в нуль все те, которые связывают потоки и силы различной тензорной размерности (Е", Е'а, ( ", Е"', 1 ва, 1 ", Е", 1", '1 ", '1 ", ) ", и 1'~). Это доказывает наше основное утверждение для изотропных систем. ("=О, ~"=О. (6.24) Для тензоров третьего ранга 1 '" (и 1 ~~) мы можем написать аналогично (6,20) з з Е.'",,~У).
=,'~ Е.'"„,'У,'., (6.26) .,3,„=1 где а — произвольный аксиальный вектор, а Т вЂ” произвольный тензор. Выражение (6.26) должно быть пропорционально ннварианту (третьего ранга) из а и Т, т. е.,5', а,Т1т1. Тогда (6.26) имеет вид кккк с,~~ сс,тат ° где с — скалярная постоянная, а Т1 > — антисимметрпчная (а) а кккк часть тензора Т. При этом тензор (.'" должен иметь компоненты ~а !а ~а 1 Е321 = Е132 Е2 13 — С, та !а ~а 1 (6.26) Ез 2 2 = Е2 з ~ = Е1 2 3 = — 2 с' Обсудим теперь форму 1и, для чего напишем 3 3 ~аз.37611'Да = ~~'„Еа113731~ га' (6.28) а..1.1,3=1 ' ' а, 3,1, 3=1 где Т и Ч являются произвольными тензорами.
Выражение (6.28) должно быть линейной комбинацией инвариантов (четвертого порядка) упорядоченного произведения ТЧ и, следовательно, должно быть равно ЕиТ<'>: Ч" + с!Т'"1: Ч1"!+ сг(8р Т) (Зр Ч), (6.29) где 1., с, и сг — скалярные постоянные; индексы (3) и (а) обозна- и чают соответственно симметричный и антисимметричный тензоры, кружок — тензор с нулевым следом и Бр — след тензора. Тогда тензор четвертого ранга 1 и должен обладать компонентами +с,~ — 8,3331 — — 8 83,)+сА3313 (а, 1 Т.
3=1, 2, 3),(6.30) так как только в этом случае при подстановке в (6.28) мы получим (6.29). Поскольку тензор 1 и должен быть симметричным и должен обладать нулевым следом по первым двум и последним двум индексам: и и,й 1 а313 1 ~1пгз = ~ азот Х .13= ~~,31-= Я 1 (6.31) (6. 32) постэшшые с, и сг в (6.30) должны обратиться в нуль. Таким обра- зом, окончательно 1 и принимает вид и (6.
33) (а где Еи — единственная скалярная постоянная. Из 81 компоненты отличны от нуля 21 компонента: и и и 2 и Е1111 = Сгггг = 13333 3 и и й й ! 1122= 12233 = 13311 — 1.2211 и и и и 1 1212= ~2323= ~3!31= 12121 и и и и ~1221 — 12332= 13113 — ~2112 и 13322 = и ~3232= сс ~.3 2 2 3 = и 1 и (6.34) Е1313= 2 Ь и 1 и 1'1331= 2 Свойства феноменологическик уравнений и соотношений Онсагера 67 С учетом (6.16), (6.24) и (6.27) феноменологическое уравнение (6.5) для Д' записывается следующим образом; .1,7=,~~ Е,з еХтр (и, ~=1. 2, 3).
т т Подставляя (6.33), получаем просто .7~1=Е Х',~ (а, р=1, 2, 3). (6.36) (6.35) Принимая во внимание все полученные выше результаты, мы можем вместо (6.5) написать следующие феноменологические уравнения: ./' = Е"Х', .у" = Еа'Ха, Еа ЕааХа ,)'= ЕнХ', (6.37) где Е", Е", Еаа и Ен — скалярные величины. Если существует более одного векторного явления, как в первом примере гл. 1Ч, $ 2, то появляются перекрестные коэффициенты, которые связывают различные векторные процессы, но которые, согласно излагаемой теории, также имеют скалярный характер. Таким образом, справедливость феноменологических уравнений в форме, написанной для первого примера гл.
1Ч, э 2, полностью обоснована. Заметим, наконец, что для случаев симметрии более низкого порядка, чем симметрия изотропной системы, соотношение (6.1 2) всегда дает возможность получить свойства системы феноменологических коэффициентов, если под преобразованием А понимать преобразование, соответствующее определенному элементу симметрии системы. Так, например, для случая кубической системы мы должны рассматривать следующие элементы симметрии: инверсию, поворот на 90' вокруг, скажем, оси х, и поворот на 120' вокруг пространственной диагонали. В этом случае можно получить, например, что 1 ~~ и 1.аа вновь сводятся к скалярам, умноженным на единичный тензор, но что 1" содержит теперь два существенно различных коэффициента вместо одного, как в случае пзотропной системы.
(Именно, в первых двух строках соотношений (6.34) появляется новая постоянная, которая отличается от постоянной Е" в последней строке.] ф 3. Зависимые потоки и термодинамические силы Рассмотрим теперь другое свойство системы феноменологических коэффициентов. В гл. 1'ч', $ 3, указывалось, что соотношения Онсагера (4.49), (4.50) и (4.51) справедливы, если в феноменологических уравнениях 68 Глава П (4 36) и (4.37) потоки (4.45) и (4.46) и термодинамические силы (4.47) и (4.48) являются независимыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
