Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 25
Текст из файла (страница 25)
— .,Г2К Пользуясь последними соотношениями, находим искомое расщепление компонент триплета: ЬЕд=К+1= 2 +3 К, ЬЕУ=К=П двЕУ и 1 2 — а 26. Найдем прежде всего недиагональные элементы оператора тд 1 вняв,т 1тд1 Ая к Легко видеть, что отличны от нуля только матричные элементы, соответствующие О' = й 1, 3 = з". Так как нАЯ .Г ,нАЯ 11И11ння*1 =-+-11Д(нинхя е1' то = — )-+- — + — — +-(~ ~-1)с183 ) втхэвд ДЯ 1 д г д нняе1нт М ! дб Между ХММя) „„, Для вычисления матричного элемента Аят ) — да+ — ад .+(~ — )~~а ) заметим, что если в операторе (/В+1/я) (см. задачу 13 Э' 8) .
д положить Угол о =О, а — 1' — -+ЛО то дт 1у) = — 1) — + — — +-(й= 1)сгной ). д 1 д . д — 1 — + 1ЯЕ дв Эвв, 1таа И. И. Гвввнввн, В. Д Кннвввннвв ОтВеты и Решения Учитывая последнее соотношение, имеем: д г д Ая.Т ( -+- — + —. — +(Я -+ ! ) с1и О ~ дО Ыпэ дт ха* ьг Ф'(Р— а)(.Р а+ 1). В случае малых колебаний около положения равновесия матричный элемент ( — 1яя,~ приближенно можно положить равным 1 " еля —, (М,)едя Ро где Р— расстояния между ядрами в положении равновесия.
Так как то окончательно имеем: ,еьяег 1~)ьля е ньг = Ве3г Б(5+-1) — Х(Х вЂ” 1))г.Р(7+ 1) — (А+1)(Л+),'.~-1. йв Здесь Ве= —, представляет собой значение ротационной "МРо постоянной для состояния равновесия, отвечающего некоторому Р РаВ общем случае дублетное расщепление может быть равно по порядку вычисленным матричным элементам. Поэтому для расчета смещения уровней дублетного терма применим теорию возмущения в несколько измененном виде. В качестве исходного нулевого приближения возьмем вместо функций таль+ т,'„ет» увал-",яжт их линейную комбинацию 'Р = сгть ад+ .:тл-т сей аа- Гел.
мо.текила Подставляя это выражение в возмущенное уравнение и поступая стандартным образом, находим секулярное уравнение ! [О7 одд+ 2»о 7 » ода+»,»»,7 — » теодд»;»оз = О. одд- »1»ьг (о) Из решения секулярного уравнения следует, что Е=2Е ~2~/ЬЕ +4Ео((7+2) — А где ' оДА ОЧ»юг+» вДД-» еу» Го) ео1 !о> ЬЕ = о»лдд»,;ог — Е„дд,,г. В случае связи а, когда мультиплетное расщепление велико по сравнению с вращением, из соотношения (1) приближенно следует, что В,' ( (2+ 1) — дл ~ Е, =- Е„дд., »,ел+ адсв Ее((2+1) — д') Ее —— Е„дд»ьо,г— ач В случае связи Ь из (1) получаем: -- ='1(+-) — ) = ' Н'+-) -") 26. К=О, 2, 4, ..., если суммарный спин 5=2 илв 5=О, К = 1, 3, 5, ..., если суммарный' спин 8= 1. ег» 27.
Магнитный момент молекулы равен — (Л+2Х)п, 27ле где п — единичный вектор, направленный по оси молекулы. Для определения энергии расщепления необходимо усреднить величину — — (Л + 2 Е) пйб по вращательному состоянию. т. е. определить матричные элементы ХЗХ (и) „ . ответы и Решения Так как с есть единственный сохРаняющийся вектор, то очевидно, что матричные элементы вектора а будут пропорциональны матричным элементам вектора с, т. е.
с с (н) ) — (.Г) Рассматривая и как оператор, имеем: и = — сопз(.т. Для определения константы умножим последнее выражение слева и справа на с. Так как собственные значения )т равны .с(с+1), а ./а равны й, то имеем: о .Г(Г+ 1) Таким образом, оператор энергии возмущения равен — — '" (Л+2~) - — 2У. 2тс ' Г(У+ 1) Вычисляя диагональные матричные элементы„получаел~ для энергии расщепления выражение следующего вида: ЬЕм = — — (Л+2Х) М). ЕйС АУ о 2жс ,г(г+ 1) 28. Оператор возмущения, как легко установить, в данном случае имеет следующий вид: 2тсРР 1К(К+1)К+ ) ' Отсюда следует, что зеемановское расщепление равно е(ьуФ ЬЕм. = — М) — Х у 2жг 1 л -Г( Г+! ) — (5+1)+К(К+1)+ Г(/+1)+5 (5+1) — К(К+1) 1 Х ) Л' 2К(К+ 1) Г(,+ 1) +,<,+ 1) 29. Энергия зеемановского расщепления равна есс . Г Ля Ьбзс, = —,— сгсг,' Г М +- 2М 1.
ЗО. Так как энергия взаимодействия магнитного момента с внешним магнитным полем одного порядка с энергией ИОлекулА взаимодействия сщш — ось, то их надо рассматривать в теории возмущения одновременно. Оператор возмущения имеет вид )Г = АаЮ вЂ” роЛМЯ вЂ” 2рфЯ. В качестве волновых функций нулевого приближения возьмем волновые функции состоянгй, в которых имеют опрелеленные значения ыомеьт К и проекция К и 5 на направление магнитного поля. Ось л направим по магнитному полю. Так как проекция полного момента на направленуе магнитного поля сохраняется, то в случае дублетного терна мы должны применить теорию возмущения при наличии двухкратного вырождения.
Вычисляя матричные элементы оператора возмущения, имеем: у ~ "я ),ук'- ь" = Д(К2к( 1 1) '1 Д(ик(к 1 1)йо=~+Ровть лк-1 ",— д У" ' = (Мк — 1) — А— мк ь з'т= 2К(К+ 1) дя ()Ик ) К()( ) 1) 'го гп — реоу~' 1ф —,",, = —,' А„, '„„З/'(К вЂ” Л(+ 1)(К+я() = 1,, л'х = — А, ле+ (лргм Г к ',-= — А(л — (в) мк,-'з 2 У мк = —,' АК,д, У(К вЂ” Д(+ 1)(К+-)И).
Составляя и решая секулярное уравнение, получим: Е~.Я=К(К+1)(Д(К вЂ” 2)Рве~С' —,®(К+1) — 2 (К+1 Х Х ~l (АД(Д( — ) — тяпаете+2УЕУР(К+1)К~ +АЗДЗ(К+ ИК) (К 1(К+1) Рассмотрим предельные случаи. Если ресЯ ~~А, то для сьз получаем выражение .тз) (л( — — ' — — '' К(К+ 1) ) Л"к 2 2 ) Р"® "'=-" согласующееся с формулой, полученной в задаче 29 й 8. 23О ответы и Решения При А ~~ р„.ле: получается 'К+ " ', ВК+ Ц (К+ —,') К-~- —,' (' (ц Ад / 11( 2та 1 ) 1 ( +2) +2 Вторые члены последних формул, т. е.
члены, зависящие линейно от ет(7, совпадают с соответствующими выраже- ниями, которые получаются при подстановке в формулу, найденную в задаче 28 2 8, У=К~'72, 5='/ и Мз=Мк — '/. 31. В силу аксиальной симметрии дипольный момент молекулы направлен по прямой, соединяющей ядра, т. е. р =рл. Г1оступая так же. как и при решении задачи 27 й 8, находим: о ЬЕм = — Йр „, Мр 32.
ЬЕм.= — ((рМ Л ( + ), ( + )+ ( + ). ма 2 2К(К-)-1) ° 7(7+1) 33. Поправка первого приближения к энергии равна нулю. Как известно, поправка второго приближения к энергии в случае вырождения находится из условия совместности однородных линейных уравнений рвэ ~нвк Е(2) (О) ь1 (0) ь( 212 ча Ра= ~~( ет ~~~ (о) (о) ~д я ол Š— Е 'В нашем случае из последнего соотношения получаем: 2) р232А 1 (2 — )л2 ((+ 1) — тт 32 1 (2(+ 1) (2! — 1) ( (2(+3)(2(+ 1)(1+ 1) ) ' Таким образом энергия твердого диполя равна Е,„= — 2А((1+1)+6.„; Е =- — —,— „, (1=- б).
лт з) 1 Ар2$2 молвкгла 231 Этот результат до некоторой степени парадоксален. В самом деле, согласно последнему равенству энергия твердого диполя пропорциональна не 6 а йз. Следовательно, твердому диполю формально можно приписать определенную еполяриауемость». Рассмотрим случай, когда 1 = 1.
Уровень, соответствующий значению т = О. обладает в электрическом поле большей энергией, чем вне От его, так что соответ- Л ствующая молекула ведет себя так, как будто она обладает отрицательной 0 и ли поляризуемостью; Она Ю Е~ ведет себя подобно ди- л амагнитному телу в маг- Р нитном поле. Молекула Ряс. 31. в состоянии т = ~ 1 ведет себя анормально». Вырождение в электрическом поле снимается только частично, поскольку энергия зависит только от абсолютного значения проекции момента количества движения. ы==-~.1 Отметим, что ,'~~ Е7' = О.
аи= — 3 34. При больших значениях )с можно пренебречь обменом, т. е. считать, что первый электрон находится при ядре а, а второй электрон — при ядре Ь (см. рис. 31). Взаимодействие двух атомов, имеющее вид 1 1 1 1 'г' = — — — — — +— (1) й 'аз гы гж будем рассматривать как малое возмущение. В первом приближении энергия взаимодействия двух атомов равна диагональному матричному элементу У, т. е. ~ фо(гш) фо(гаьЯ"о("ш)')о(гзь)'1'ь 1'з* где )о(гш) = 2е "~а' Фо(гав) = 2е "зз.
В Я.-состоянии диагональные матричные элементы, т. е. среднее значение дипольного, квадрупольного и т. д. моментов, равны нулю, поэтому для вычисления энергии 232 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ взаимодействия необходимо перейти ко второму приближению теории возмущений. В операторе возмущения (1) ограничимся диполь †дипольным взаимодействием, как наиболее медленно убывающим с расстоянием. Лля получения оператора диполь †диполь- ного взаимодействия разложим потенциал )«по убывающим степеням )с. Разложение по шаровым функциям дает 1 гао ~ )оР— ото ) .мю Р'о' — Р2(созб) = 2=2 2 .2 1 га2Р 3 (га2Р) гао «о ач 2122 «и 1 1)ФР+ «оо — га2! 1 (гш — гоо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
