Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Р) 3 (гю — гоо р)2 — (г„1 — гоо)2 «ж «1 + «22 + 2)12 1 1 («22Р) 3 (гьеР) «22 + 2)е +'' «2 )2+ йо Подставляя полученные разложения в )«, находим выражение для диполь †дипольно взаимодействия 22222 — хо хо — уьуо )22 (2) 2«огвеов — ховхов — Умвуов )«вьв оо На основании правила отбора матричные элементы хо„, уо„ отличны от нуля только для переходов из основного состояния в состояния 6 (г) сО5 3, ф (г) яп 3 сО5 ср причем ось з направлена вдоль линии. соединяющей ядра. Как было уже сказано, среднее значение (2) по невозмущенной собственной Функции ф =Фо(га,)фо(«22) равно нулю.
Недиагональные элементы (2), соответствующие переходам из основного состояния в возбужденные состояния, можно представить в виде 233 2 8) молвкхлл причем все эти три матричные элемента равны друг другу. Энергия взаимолействия во втором приближении равна нан 2 2 2 ..2 2 2 2 аД (1 ео ) 1 ~~ члоааа он+»о»ало»+ УонаУон н З 2Е» — Е„, — Ен Ж ~М 2Ео Еан — Е нан а»н или Е«2« '~~ зна нн (3) Е» .й4 2Е2 — Е»а — Е» анн Так как Ее»..
Ем и Ее(Е»н то Е'2> отрицательно и, следовательно, два атома в невозбужденном состоянии, находящиеся на большов«расстоянии друг от друга, притягиваются с силой, обратно пропорциональной седьмой степени расстояния. Лля приближенного расчета суммы в (3) заметим, что разность энергий между различными верхними уровнями мала по сравнению с разностями энергиИ между верхними уровнями и основным. Поэтому приближенно (3) можно представить в аиде '"'= — "Х'' 2 ..'".„ ан н Из теории квадратичного эффекта Штарка следует, что 1 2~ ŠŠ— — = — 2 а, где а — поляризуемость атома. Для з'и Ео — Е„ основного состояния атома водорода 2 =4,5 ат.
ед. При вычислении суммы ~~~ ~Рм воспользуемся правилом умножения ааа 20 матриц (АВ)„л = ч", А„„,В„„. ~ фн(АВ)фаа«12= »г, ~ ~ ф»Аф»а«ат ° / ф„,Вф, «ат~. Положив в последнем соотношении А=В=а, и=А=О, получим: 'Са 2 (Вл)ОО = Х Лемза»О = Л, лоан или 22 ~я~~~ лз 22 (л2) л2 а»Ио 234 ответы и Решения Так как в 5-состоянии в силу симметрии ЕОО = О, 1 а(ге)ОΠ— — — (ге)х» то сумма 3 1 ге = — (гз) = 1 Ом 3 ОО ~» ф О Таким образом, для К(г) получаем окончательно выражение 6,75 Ъ'()с) = — — ' й» ' Для того чтобы уяснить, как могут возникнуть силы взаимо- действия между двумя нейтральными сферически-симметрич- ными атомами водорода, рассмотрим волновую функцию системы. Для волновой функции системы в первом прибли- жении получаем выражение 1 ф = фО(г„,) фз(гзз) ~1+- —.—,(х,х,+у,уз — 2егзе)~ ° Плотность вероятности ел(1, 2), если пренебречь членами, 1 содержащими — в качестве множителя, имеет вид ХО 1 тл( »О' гьа) = тле(~а») тлО(~ОВ) ~~ + з (хглз+УУΠ— 2егез)~.
Если нет взаимодействия между атомами, плотность вероят- ности равна просто произведению сз(1) на тз(2), т. е. между положениями электронов в этом случае нет никакой кор- реляции. В случае же взаимодействия положение первого электрона не независимо от положения второго. Электроны занимают статистически чаще те положения, в которых их взаимная потенциальная энергия имеет по возможности мень- шее значение. Таким образом, силы взаимодействия в первом прибли- жении можно объяснить не деформацией электронных обо- лочек.
а корреляцией межлу положением электронов. 35. Докажем алдитнвность для системы, состоящей из трех атомов. Из расчета будет видно, что его можно при- менить к любому числу атомов. Энергию взаимодействия запишем в следующей форме: Ь"=~l(1, 2)+К(2, 3)+$'(3, 1), где через 1, 2, 3 обозначены совокупности координат пер- вого, второго и третьего атомов. Мы рассматриваем взаимо- ч 8) 235 молакялл действие атомов, находящихся на большом расстоянии друг от друга; в этом случае обменные силы не играют никакой роли. Волновую функцию трех атомов при игнорирования обмена в нулевом приближении заладим в форме ) =.
Еги(1) оа(2) )ы(3), где 1, А, 1 — указывают квантовые состояния атомов а, Ь, с. Функции )„г(1), принадлежащие различным значениям ю', ортогональны. То же самое можно сказать и про функции фол(2) и фы(3). Энергия возмущения во втором приближении имеет вид е= ~~+ Х У Е о+Ело+Е о Еаг Еья Еаь ' (1) Штрих. у знака суммы означает. что 1, А, 1 не должны одновременно равняться нулю. Первый член представляет классическое взаимодействие мультиполей. В нашем случае он равен нулю.
В выражении (1) все члены, у которых одновременно 1Ф О, А Ф О, 1 Ф О, исчеаают вследствие ортогональности функций. Три частные суммы с 1=1=0, 1Ф О; 1=1=0, й чь О: и = ! =- О, 1 ть О означают поляризационные взаимодействия соответственно 1-го, А-го и 1-го атомов в результирующем поле двух остальных атомов. В случае, когда распределение зарядов в атомах обладает шаровой симметрией, эти суммы также исчезают. Необходимо заметить, что эти суммы не могут быть получены путем аддитивпого учета энергии взаимодействия каждой пары атомов.
Нам остается рассмотреть те члены. в которых два индекса отличны от нуля. Итак, при сделанных предположениях относительно распределения заряда в атомах энергия взаимодействия может быть рвало~кена на три частных суммы: — Х а ~ $Р~."ш~о ~~г ! 4/~„, ~ + Еао + Еоо — Еаг — Еоа ~> Еоо+Е о — Ее а — Еаг яео ело л яо гало + '"-' () Х Еао+ Еао Еаг Еес я~о~во ответы и евщания Вследствие ортогональности и нормированности собственных функций атома матричный элемент 1'ущ= / фао(1)ььо(2)фоо(3) (1'(1 2)+ + Ъ'(2, 3)+- Ъ'(3, 1)) Ь„ь(1) Еьь(2) ф,о(3) сН, гХтт = ~ фоо(1)фьо(2)(Г(1 2)фоь(1)фьь(2)г1т1дте — — (1.г(1' 2));ь ' Слеловательно, выражение (2) состоит из трех слагаемых, каждое из которых представляет диспсрсионное взаимодействие пар атомов. Легко видеть, что этот расчет может быть распространен на произвольное число атомов.
В том случае, когда расстояния между атомами невелики, надо принять во внимание переходы электронов от одного атома к другому, т. е. принять во внимание обменные силы. $9. РАССЕЯНИЕ 1. Потенциальная энергия частицы сl (г) = — Е/о (г ( а), (У(г) =О (г ~ а). Необходимо найти фазы рассеяния, т. е. асимптотический вид радиальных функций, удовлетворяющих уравнениям при 1 (1+ 1)1 е '4иЕ прн о Гй ь 1(1+1)) О й ь 2н(Е+Уо) с граничным условием ул(О)=О.
В случае, когда длина водны де Бройля значительно больше размеров ямы, основной вклад в рассеяние вносит 5-волна. Решение уо, удовлетворяющее граничному условию. имеет вид У„о — — Аз1па'г (г<а), уо= а)п(йг+йо) (г ) а). РАССЕЯНИИ Фаза оо, такие как и коэффициент А определяется из условия непрерывности волновой функции н ее производной при г = а.
Эти условия дают: Ьо = агс1в'1 —, 1д в а~ — )2а. /д Итак, парцнальное сечение для 1 = О оо = — ып бо = — з(п ~агой ~ — 1д Й ау — йа~, (1) 4Я . 4Я .2Г lд о= дз о — дз При малых скоростях падающих частиц (а-РО) фаза рассеяния бо пропорциональна й: 6 жй~ — — 1Г1, йо — — —, Г гй вол т 2 Фи (х) но благодаря множителю —, сечение оо оказывается конечным 1 о 4ка ~ — — 1~ (малые и). 2Г 2яд2д тз ~ до Рассмотрим сечение оо как функцию глубины ямы, которая характеризуется й . Если яма неглубока (аоа(~ 1), то до' И аоГГ2Р2 а = 4яае — =— о— Отметим, что согласно теории возмущений 4 Ьз 1 () ~~е о 3 и, следовательно, 1бя лоб„'вз о = 4л ~ Г(9) )2 =— Я До По мере возрастания (/о сечение возрастает н при лов =в становится неограниченно болыним.
Условие йоа =-' совпадает с условием появления в яме первого уровня. По мере углубления ямы сечение затем начинает уменьшаться и обращается в нуль при фйоа=йоа. При дальнейшем увеличении (/о сечение продолжает колебаться между О и со, причем обращение сечения в со наступает при появлении нового уровня в яме. Резкие колебания сечения при рассеянии 233 ответы и еяшвния медленных частиц качественно объясняет тот факт, что при рассеянии медленных электронов атомом сечение может значительно отличаться от геометрического.
Отметим, что если значение йеа близко к целому кратному †, то формулы (2) и (3) необходимо видоизменить. 2' Действительно, в этом случае 13.ЕЕ'а оказывается большим числом и в формуле (1) нельзя произвести разложения, приводящего к формуле (У). В этом случае по-прежнему однако можно пренебречь слагаемым йа«~1 в квадратных скобках формулы (1). Тогда Зе = атс1д ~ —, 1д й'а~ и отсюда для сечения ер получаем: 4в (1 + О (та) ) ~е= -„а4 да гле по условию И 1 ЕЗФа ~~ а Эта формула для «резонансного» рассеяния дает зависимость сечении от й при малых й, если потенциальная яма такова, что малым изменением ее глубины (или размера) можно добиться появления или исчезновения дискретного уровня. Е 1'и т.а 1 21.ЕЕ, 2. а=4кае~ — — 1), где к= ) ЕЕ При (Ее-+со е=4яаа, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
