Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Другие, ну!нные для решения задачи, состояния терма еН находим последовательно: Ф('Н, —, 3)= ДГ бФ вЂ” 2Ф,+4Фе — 2Ф ), 1 Состояние Ф (а0, —, 4) представляет собой линейную ком- 2' бинацию состояний Фа и Ф„, ортогональную к состоянию 1 Ф (аН, —, 4). Из этих условий определяем волновую функ- 2' цию Ф ('0, —, 4) Ф (~0, —, 4) ~2Фа+ ~/бфа1. Так как состояния разных термез не связаны никакими фазовыми соотношениями, мы можем положить а=О. Другие состояния герма х0 получаются посредством последовательного применения оператора (Š— Ка).
Итак, имеем: Ф (~0, —, 4)== — (2Ф,.+ф" бФ ~, Ф (20, 1, 31= ! ГВ/ бФ -+ЗФ вЂ” Ф вЂ” 2Ф ), ' 2' / 4/.2о Ф(0, 21; 2)= = ~/ (2Фа+ 3Ф„-!- Ф,„— 4Фы+4Ф,л+~/ Ф,а~. атом 189 Для того чтобы решить задачу, нам необходимо еще опре- делить функции Ф (4Р, —, 2) и Ф(Ч.", —, 2). 3 Так как Ф(4Р, —, 3) = Фмп то, действуя оператором / 1 1о' --1Ья). получим состояние Ф('Р, †, 3): ф — -гЗя1Ф(~Р, —, 3)=~ ЗФ ("Ä—, 3) =(Ь вЂ” ю5 )Фьм 2 ) г — 1~в+Фа+ ~з). ! А из состояния Ф (4гт, †, 3) посредством оператора 2 ' 1 (1.
— -П.„) получаем состояние Ф (4г, —, 2): Ф (~Р— 2)= — ~Ф +Ф +Ф ). 1 Волновая функция Ф (зР, —, 3) определится из условия 2 ' 1 ортогональиости ее и трем функциям Ф (ЧХ, —, 3). 2 * Ф (з0, —, 3), Ф (зР, —,, 3) . Нормированная функция 2' )' ~ ' 2' 1 Ф (ЯР', —, 3), определенная из этих условий, равна ' 2' Ф ('Г, —, 3)= —.— ~ — г' 6Ф4+ Фа+Фа — 2Ф,). И, наконец, Ф( ~ 1 2) ( .2Фз+ФЗ вЂ” Ф е+У6Ф з1. 1 Теперь мы имеем четыре состояния с Мз=- — и Мь=-2, Ф(ЯН, — ',2)= ~Фз Фд+ ЗФш 2Ф~~ ЗФгз+ тг 6Фез) Ф(%, —,2)= р~ 14о (2Фз+ЗФв ~ 1ш 4Ф" +4Ф" +~ з Ф")' ответы и гашения Остальные волновые функции Ч) состояний, соответствующие другим значениям проекции моментов, легко определяются посредством последовательного применения операторов (У вЂ” 1Х ) и (5 — 15в).
44. Составим сперва список всех состояний, принадлегкащих конфигурации лри'р. Ограничимся неотрицательными значениями Мз и А4ь фз(1 1 ) Фз(1 . 1') Р,(1', 1') Ф,(1", 0') Ф,(0', 1') ф(1,0) ф(0~,1) Фз(1, 0+) Ф (О . 1+) Ф„(1',— 1 ) Фы(0",0 ) фгз( 1 ° 1 ) Фю(1 1 ) Фы(0, 0') Фгз( — 1 .
1+) фш(1',— 1')фы(0",0+) фга( — 1, 1 ь) ( ' 2' ) )Г'З ( з+ ге+ гг)' Ф(' 4, 2)= — '=( — 2Ф.+ф.— ф,.+)УЗФ„). г' 12 В зту же группу входят еще два Ч) состояния. Эти два взаимно ортогональные ЧЭ состояния ортогональны также к написанным выше четырем состояниям. Из условий ортогональности и нормировки получаем следующие ортонормированные функции: ф(оеар~ 2) ( ф ф ) Ф +ф ) Ф~ЬЧ), —,', 2)= — бфз+ Зфз+Фге 4фы Зфы 2 Уйф,з) ° Р"За атом Из рассмотрения таблицы следует, что данная конфигурация имеет термы '5, з5, гР, зР, Ч) и зР. При решении задачи з качестве функций нулевого приближения возьмем функции, указанные в таблице. Так как звергня не зависит от значения проекций Мз и Мг, то матрица возмущения будет представлена в виде субматриц следующим образом: Обозначим через г' оператор возмушения. В первой субматрице присутствует только терм зВ.
Следовательно, Еп'(зО) =~' . Во второй субматрице (Мг. = — 2, Мз = 0) комбинируются два терма зь и 'В, ЕП>(ЧЭ)+Е<н('В) =~',,,+)гзз В третьей субматрнце (Мд= — 1, Ма=О) комбинируются два герма Ч) и зР, Еп) (ЗВ)+ Еп) (зР) = Ъ' + $Г ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ В четвертой субматрице (Ме= — 1, Мл= — О) четыре герма: зД 121 З,о 1Р В' (зо)+В '('О)+Е' (еР)+Ег '('Р~)гса+)'21+)газ+)'зг; В пятой субматрице(МЗ. = О, Мз= 1) три герма: 22), ЗР, 63, Е ( 42)+с ( Р)+В ( Я) = Ъ'16 16+1 Н,11+1 12 12' И, наконец, з шестой (Мг,= — О, Ма=О) все термы: Ю, "Р, ЗЯ 1,ГЗ 1Р 1~ В и('О)+ ~и( О)+ВО'('Р)+ +-В'и('Р)+ Е~ ~(зо)-+с~ ~(1.2)= =1 ы 12+1 ы, 14+1 16.
16+1 16 16+1 гп12+~ 16,16. Из этих уравнений легко получить выражение для термов через диагональные матричные элементы: еп'рв) = ~;,. ( О) 1 22+ 1 зз 1 11' Е1 м(ЗР) = ) "44+)гза — ) „, Е ( Р) 1'66+1 21+~ 66+1 За+ П 22 ЗЗ 44 66 и т. д. 46. Выражение — (Е,+25,)Ю язляется малым возмущением. Рассматризаем рассель-саундеровский тип связи. В этом случае гзз коммутирует с операторами 42, ./„ 4- 22. Уровни энергии незозмущенного состояния характеризуются квантовыми числами Л Ь, Б.
Каждый из этих уРовней вырожден по направлению вектора .З„кратность этого вырождения равна 2.4+1. Так как неднагональные по l, матричные элементы оператора Фз+ ЕЯ,) равны нулю, то поправка к энергии равна просто среднему значению оператора (( — + 25,) з состоянии, характеризуемом кзантозыми числами Л У„ 1-, 5. % 7! Атом С целью вычисления этого среднего значения положим в формуле (задачи 29 5 4) д! = 1„ д = 2,,1, = Х, .д = Я. В результате получим: Согласно сказанному выше искомое расщепление будет равно „.гл! еЬоте ,гьз = — Ф 2ис 61.
Энергия атома в магнитном поле одного порядка со спин-орбитальным взаимодействием. Поэтому оператор спин- орбитального взаимодействия, равный э(г)1з (см. задачу 1О ел э 7), объединяем с оператором — (1,+2з,) и их сумму Ъ' = ло(г) 1а+ — Я'(1, + 2з,) рассматриваем как малое возмущение. В невозмушенном состоянии сохраняющимися величинами будут квадрат и проекция орбиталвного момента, а также квадрат и проекция спина. Нам удобнее ваять другой набор сохраняющихся величин.
Будем характеризовать стационарное невозмущенное состояние квантовыми числами п, 1, 1, ту (1а,,гйа, ! коммутируют с Нв). Степень вырождения в случае кулоновского поля равна 2лэ, в случае центрально-симметричного произвольного поля 2 (21 + 1). Нам нет необходимости решать секулярное уравнение такой высокой степени. Заметим, что в возмущенном состоянии квадрат орбитального момента и проекция полного момента являются интегралами движения. Вследствие этого волновая функция возмущенной задачи должна быть скомбинирована из функций !!а! '1нСула. 1 относящихся к одним и тем же значениям л, 1, т1, т. е. ф= — ефю!(ш 1, 1=1- — —, ~ г!+~ ы!)!л, 1, 1= — 1+ —, ! !3 Злк.
!750. И. И. Гольдман, В. Д. Какнаонкон $7! !95 АТОМ Решая секулярное уравнение, находим значение Е: Е = — (Е++Е )+ еЯ~ррт1~ -+-$Г~ (Е Е )г ( ее.р а (Е Е ) ( ! Обреза Рассмотрим предельные случаи. а) В случае слабых полей, т. е. при рррр'((Е+ — Е для энергии получаем следующие выражения: 21+2 Е = Е+ + ~Ьр~в1 21 ! ! 21 Е = Š—,~,'~,„ж1 21 + Первое значение энергии соответствует энергии л-го уровня состояния с / = 1 + '/а. а второе с )= 1 в '/а (см. задачу 46 ~7) б) В случае сильных полей, т. е.
при ррЯЙ>~Š— Е 1 ш1 Е= 2 (Е+-+Е )+Ф~рри1~ 2 ргррр — ~ 1(Ее — Е ). Обозначим через Е, энергию центра тяжести уровней в отсутствии поля, т. е. Ее (1+ 1) — Е 1 21+ 1 (статистические веса состояний с Еч и Е относятся друг 21+ 1! к другу как — ), а через ЛЕ разность Еь — Е . В но- 21 )' вых обозначениях Е будет иметь впд 1 АЕ 1 Е=Е,+,жрр(ю1 = —,).--,,~,(ю,-- — 2). Это выражение, как легко убелиться, тождественно с выражением задачи 53 и 7. Верхний знак соответствует состоянию с и! —— т~ — '/ю т, ='/ю а нижний — состоянию с т, =- гл1+'/а, т„=- — ~/а. 52.
с,= — ~$ — (! -1-7), с =- ~1 — (1 — т) лля верхнего У1 У! — Г т уровня, с,=!1 — (! — 7), с,= — у — (1+7) лля нижнего уровня, ответы и гашения где 1 гл. 2 аЕ+ 21 !~ з!г!~ 4 21+1 ~+ 4 юг Т= !+в 2 ! +Из+ 2 1 2!+ 1 1 зГ' — +— 2 с = уг ! для верхнего уровня, ' — ш~+т 1 21+ 1 ° г+ газ+в ! с = — ~ — лля нижнего 2!+ 1 у ровня. Подставляя полученные значения с, и га а выражение для волновых функций (см. задачу 51 2 7), находим: У!,и 1л(11, ч) О для верхнего уровня, О лая нижнего уровня. 11, ж — чт(й р) г ля( фо) бЗ.
Так как энергия в магнитном поле значительно превышает энергию спин-орбитального взаимодействия, то в первом приближении последним взаимодействием пренебрежем. В этом случае 1 и з,— величины сохраняющиеся, и энергия расщепления определяется формулой Е!'! = — Яд (т! -+ 2лг,). 2ие ' Исследуем прелельные случаи. а) Магнитное поле исчезающе мало, т. е. ЛЕ))згйре, тогла Т, 1. Для верхнего уровня будем иметь с, = 1, с,=О, лля нижнего с,=О, се=1. б) Сильное магнитное поле ЛЕ 4, ~~р .
В этом случае атом Во втором приближении учтем спин-орбитальное взаимодействие. Мультиплетное расщепление, накладываемое на расщепление в магнитном поле, определится средним значением ев 1 оператора,—,, в (уа) (см. задачу 10 2 7) по состоянию с данными вначениями т! и т,. При заданном значении одной ив компонент момента средние значения двух других равны нулю, поэтому 1з= т,тв Таким образом, энергия расщепления уровней с учетом спин-орбитального взаимодействия имеет вид лф! е! ей ев!!в ! 2 Ен! = — — М'(т!+2т )+ — — т,т ., Г 2 2!!е 2явсе гв в' ! — ~ — 1- л Подставим в полученную формулу значе1 ние —,, выраженное через энергию расщепгв' ления тонкой структуры в отсутствии поля.
! !! !11 Как легко показать (см. задачу 10 2 7), вай!в 1 Е„!. !,, — Е„! 1,, аЕ 2нхев гв 1 1 1+— 2 Окончательно для Е!0 имеем выражение ! ! ! ! ! ! ! ! ! ег!, ЬЕ ' !-' е- 2 ГЛ6'(те+ 2тв)+ 1 т!тв. а 1+— 2 Рис. 30. На рисунке 30 дана схема расщепления 1а и 2р терман атома щелочного металла в сильном магнитном поле.
54. Энергия возмущения в данном случае равна — „,!~,в~ [ гв а)+ — ~Еев+ Ь~~' ед ! - !3(ге)г ° ! ей В этом выражении последним членом пренебрежем ввиду малости магнитного момента ядра по сравнению с магнит- ным моментом электрона (~ с., †). ел а 2!ае ) ' ответы и Решения Поступая так же, как и при решении аадачи 51 Э 7, находим секулярное уравнение: 1+— 2 — ~/ (1+ — ) — т' Е - — — 'шг — Е Жге 1 1+ —, 2 Здесь Е и Š— энергия герма с учетом сверхтонкой структуры, причем Е+ относится к состоянию с У =1+'(т, а Е с У'=-1 — '!т, тт — пРоекциЯ полного момента (тà — -- 1", еб У в 1, ..., — у), а ре = — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
