Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В неквантовой релятивистской механике функция Гамильтона имеет вид Н = ~/ изс4+ рзсз — рсз + У(г) —,+С/(г)+ Н, причем с4 Н,—..--.- —, 844зсз ' Будем теперь считать р оператором р= — 1лт, а Н, рассмотрим как малое возмущение. Тогда в исходном приближении имеем уравнение Шредингера ~ — + (У (г)~ О = Е4), Гйе 12н а искомая поправка к энергии в состоянии и, 1, и ЬЕ = — — ~ 4Ь'р4фс)т= — —. ~ ~*(Š— ()(г))з )4)с= йиосз,~ ' 244сз .! ЗЕз (йз/ 2 нс4 ся)З 244сз л'"осз(24+1) (зл4 (И+1) лз) йз 1лс )з=.:10+1)=.Ц1+1)+з( ( 1) ) 27а, 1О. Вместо того чтобы исходить из невозмущенных волновых функций с определенными 1 и з и затем решать секулярное уравнение, удобно выбрать в качестве исходных волновых функций собственные функции с определенным Р и уз, где у =4+и†полный момент, коммутирующий, как нетрудно проверить, с Нз.
Замечая. что по классу рассматриваемых функций справедливы соотношения ОтВеты и Решения 160 находим йр =И вЂ” 'О+') '"+') '('+ "й /1"') -2 2 4иясз ' (г лг/. ез /(ля атома водорода (/ = — — и поскольку г Т '(1+ 1) ~1+ — 2')Г'™ находим окончательно: Нее /езтз/(/+1) — 10+1) — я(я+1) ЬВ2 — —, ~ — ~ йа '1йе/ 4лМ (1+ — ) (Г+ 1) Эту формулу можно ваписать короче, так как в нашем случае я='/2 и возможны два случая /=/ — '/2 и г =/+'/2. Как легко проверить, при этом при г'=1+ —, 1 2 1 — (/+1) при /=1 — —, 2' 2/л = / (/+ 1) — 1 (/+1) — я (я+ 1)= так что для любых / и / 2 2 Складывая доз с поправкой, учитывающей зависимость массы от скорости ЬЕ, (см. предыдущую задачу), получаем: Это выражение яе зависит от /, т.
е. два уровня с одинаковым / и разными ! имеют одинаковую энергию (вырождены). 12. При 13-распаде ядро трития превращается в ядро изотопа гелия Нев. Влияние,'~-распада на атомный электрон заключается по существу в том, что за короткое время лз / «« — потенциальная энергия электрона в атоме изменяется нее 2ея и вместо (/ = — — становится равной с/ = — --. Время У г г ' АТОМ можно оценить как время пролета ~3-электрона через атом Ее И где ае = †., о в скорость ~~-электрона. Поскольку энергия неи г р-электрона порядка нескольких кэв, находим 1 0,1 —. ба яеа Волновая функция электрона не успеваег измениться за время 1, что следует из уравнения Шредингера: 22 ьф ф ~(ф г гБ Разложим волновую функцию электрона ф по собственным функциям электрон» в поле г". = 2.
ф = ~ с„фи+ ~ с фьЮ. Коэффициенты разложения сь = ) ффьс1с определяют вероятность возбуждения ау =Х! с„)2 и ионизации тенин = ) ~ СЬ ~2 СИ. Поскольку ф — сферически-симметрична, то с„ и сь отличны от нуля лишь в том случае. когда состояния и, Й являются в-состояниями (1 =- О). Поскольку г. Рой=2( — ) е "г ( — а-+1, 2, — и) находим: о св —— ~ Ртнийаи гидг =— 1 <л> аз 2 о у а( л ) 'г( — и+1, 3„2, ха у).
('-'+-'.)з " 11 Заи. Пмвв. Н, И, Гоаааиам. В, Д. КГивааииов 162 ответы и гвшвния Полагая Х = 2. У.' = 1, получаем для и =- 1: т, е. вероятность того, что ион Неа будет в основном г8 ~а состоянии те, =1с,~а=-1 — ) =0,70. Следовательно„сум- ~'=~8) = парная вероятность возбуждения и ионизации будет равна 1 - та, = 0,30.
Лля и = 2, са =- — —,, тва = 0,25. 1 2' С помощью формулы е(а, р, ), х)=-(1 — л)а " зР(у — а, '( — 3, у, х) находим: 2апа (л — 2)аа-4 ~а— а= н (и 1 2)ачщ Приведем значения вероятностей возбуждения, вычисленных с помощью этой формулы, для нескольких первых уровней: 2зЗз та, = —,„1,3е~ш 2м та, =- —.„„.ы 0,39%. 13.
Гамильтониан имеет следующий вид (все расчеты будем производить в атомных единицах е = Ь = — р = 1) 1 1 3 Е 1 и= — -Д, — — Д,- — — — — + —. 2 ' 2 г, га г,а Согласно вариационному принципу надо вычи=лить интеграл Е(Л ) — ~ '*(г,, ге) Н')(г„га) дт, СХта и определить величину Л из условия — = О. / ИЕ ИХ" В нашем случае ) (г„г ) =- сг- л' м +'ы, ~>а причем нормировочная постоянная с ...— Ф 71 АТОМ Интегралы от первых четырех членов легко вычисляются 1 1 У в ! Ф(г, Я~ — — б,— — б — — — — ~ Х 2 т 2 гд гав Х )(гы ге) т1т, 1!та.= Л' — 2л.
с'. 1 Что касается интеграла с †, то его удобно вычислить гта в эллиптических координатах: я = г~+ г, 1 = г, — г,, и =. гцн т1т! 11тт = яа(яа — !т) и г1я Я11и, — и (1( и, 0 ( и ( я ( со. В результате вычисления имеем: 1 ф~(гы ге) — с1т г1т =- гтэ с в ~о ,я~ — Р 5 ктст ~ 11я ~ 11и ~ Яя.-йе'в и Яг и 8 о о ыи Окончательно получаем: Е (Х') =- Л' — 2г.г.' + — „Л'. Из условия минимума й'(Л') находим: 2 = — Л вЂ” —. 5 16 ' При этом значении У.' энергия основного состояния Чтобы получить представление о точности проведенного расчета, вычислим ионизационный потенциал гелия (Л = — 2) н сравним результат с экспериментальнымн данными.
Ионизационный потенциал гелия Ун, равняется равности энергий однократно ионизированного атома гелия и нейтрального атома гелия в основном состоянии. Значение 7яв равно 7нв = 0.84: 6 ат. ед. =- 1,695!ту в). Экспериментальное значение Уив = 1„810.
*) ! вт. ед. энергия = 2Лу =-27 вв. 11" 164 Ответы и Рвшвния Экспериментально известны также ионизационные потенциалы других двухэлектронных систем В1+, Ве+ " и т. д. Сравнивая их с вычисленными, получим: !! Ьч + Элемент 28,695 П,195 Вычисление Цтту) 1,6952 5,445 18,945 5,560 Экспериментальное Ц)ту) 28,816 11,307 1,810 результаты вычисления энергии основного состояния находятся в удовлетворительном согласии с опытом.
1б. У атома гелия в нормальном состоянии орбитальный и спиновый моменты равны нулю. Вследствие этого гелий обладает диамагнитными свойствами. Диамагнитная восприимчивость, рассчитанная на один грамм-атом, дается следующим выражением: где Г1+Гт —— — ! ~ Гт-! — Га/9 т)ст Ита', Ил — число Лвогадро. Приближенное выражение для волновой функции основного состояния атома гелия ~фз 9(гы Г ) = —.„-е — в'м ь"Ро. чаа Вычисление среднего значения Г', +и' с помощью этой функ- ции приводит к следующему результату: — — 2оа Га+ т1 а у~й !! Ь1 е Оа !! Ьа + О:1 АТОМ Подставляя это значение в выражение для диамагнитной восприиичивости, находим: у=--1,И 10-'. Экспериментальное значение диамагнитной восприимчивости у= — (1,90 -0,02) ° 10 !6.
Введем для удобства следующие обозначения: Лт =. а, Яа = 2~, 22" ,= п, сФ = Ь. Из услоний ортогональности и нормировки находим: 12ао ТХх — — 2 (а+~~), Ь = аа аез-! Ьа ' В новых обозначениях ф и ф„будут иметь вид 1 ф,=фио — — ае — "'«'оо фа= фюо=Ь~1 — — (а+Р) г~е — Э"г' . 3 Приближенная волновая функция атома лития, находящегося в основном состоянии, может быть представлена следующим образом: где ч+ ! 2)= — 1, т!+ ~ — 2)=0, т! (2)=0, ч ( — 2)=1. В этом состоянии Я=т/х, М= Ча.
Оператор Гамильтона е) в данном случае имеет вид 'е~ 1 Л ! 1 1 Й=- г ~ — — б! — — — !+ — + — + —. 2 ' гт гта гъ гот т 1 Проведем вычисление энергии в состоянии Ф. Кинетическая энергия электрона в состоянии 1а равна Т,= ~ (--ф,— 2'бф,~Ж= ~ ~" — «) ге !г=-,'а~. о ') В атомных единицах е=й = и=!. тр= = 1 1т 3! ф,(1)т! (а,) ф,(2)т! (а) ф (3)т1„(аз) ф,(1)т! (а,) ф,(2)т (ае) ф,(3)т! (ао) фз (1) ',о+ (а,) фа (2) ъ~+ (ае) фх (3) т1, (аз) 166 ответи и Решения В состоянии 2е аа Ги а =- 6+ аз,ф+ра Энергия вваимодействия внутреннего электрона с ядром 1а ГЕФ,, Г е-г у = — ) — е(т = /аа ! — ге дг = — Ла, о внешнего электрона с ядром Лф Х~Р а — 2)а а 2+ 2 о аа 1 рз (в случае лития л= — 3) К„= ~ ~ — !у,(г,)~~ф(га)!~е(т,рта= 6 а. Энергия взаимодействия внутренних электронов с внешним Г1 2КШ=2 ~ ~ — ~Ф,(г,)1~~ФЯ(га)~'г(т,г('а= 2аа а46 (За+ Р) (а + 6)е (а + 6)а (ао — ав + Гл) Энергия обменного взаимодействия двух электронов с па- раллельнмми спинами А = — 2ааб' ) е (а ' Д> г ~1 — — (а+ р) га ~ га дг Х 1 о )( ~ е ("~Е1' )1 — З (~+р)г,~ г,г(»,=-- ! еаарь (а+ а)о (ае — а6+ Гл) Полагая 3 =-.
)а, получаем: 2 Т, + Та = — Т = аае, ().), 2и,+и,+К„+2ʄ— А =- — у,(),), Е = а'е, () ) — асре()). Энергия кулоновского взаимодействия внутренних элек- тронов *том 167 Минимум энергии осуществляется при значениях а и ), удовлетворяющих условиям — =О, дЕ дв или 2сар~(Х) — рх()) = О, аср1()) — срз(Л) = О. Исключая а, получаем: т, Я 2'Фз()) 'р1 О) тя(х) Соответствующие значения з и р равны а =- 2„694, р = 0,767.
1= 0,2846, Подставляя найденные значения вариационных параметров в Е, получаем для энергии нормального состояния атома лития значение Е= — 7,414 ат. ед. или Е= — 200,8 эв. Е= — 190,84 эв, 17. Рассмотрим оператор киыетической энергии ядра Т. В системе центра инерции Р+ч;рв=-О, где Р— импульс ядра. рз — импульсы электронов, Т имеет вид Й (~~ рч)' Я 2М 2М Х2М+ .41 М в)л Поскольку отношение массы электрона к массе ядра п~ — ((1 — искомое смещение, можно вычислить по теории М возмущений цЕ = ~ 1*Т)грт, Экспериментальное значение Е,„„= — 202,64 эв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
