Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 20
Текст из файла (страница 20)
2г.'(еи — ~3 (г)1 дифференцируя по л условие квантования, ~Ъ'Ъ,(И.— и(.)) ж =- . (и+7)й, которое определяет Е, как функцию от л, находим: ФЕ„ аг = — яй. ц Сравнивая последнее вырагкение с условием нормировки, получим: 2Н ЛЕи л яа щл и окончательно Летпя ИР„ эз (О) = — -". и айч дп (4) 12 зак. 1750.
и. и. Гсльдман, в. д. кривчанков Для неэкранированного кулоновского поля Еи= ††„, †., и найденное из формулы (4) ф„(О) = — =а~ †) совпадает с полученным из точного расчета. В атомной спектроскопии для уровней энергии возбужденных состояний валентного электрона часто используется формула Нег ! -н 2аа (П ч)3 1У8 ответы н ввшвний где а — так называемая поправка Ридберга, слабо аависягцая от в. Приняв для Ев эту формулу, получаем: ля~ й 1 ф 1О) = ~ "~" йе 1л —.)з 28.
Пусть электрон находится в стационарном состоянии, с определенным значением проекции момента импульса и. Волновая функция такого состояния равна ф,я,„(г, 9, е) =- К,я[г) Р~ 1(соя 8) ао ~. Плотность электрического тока в состоянии ф„ь„ в полярной системе координат г, 9, р имеет вид Очевидно, что веитор напряженности магнитного поля будет направлен по оси Е. Круговой ток силы Ю создает в точке О (см.
рис. 28) магшпиое поле, напряженность которого равна ИЯ.' = — 2кгйгаб; тан хан гУ=ф.г18дг, гУ гс то 2 ! 11в" ~ '~' лг (~РХ.1~гз1п8,18 "'Ю~й ~У,уг о Ъ а Этот результат можно получить и иным способом. Как известно из электродинамики, напряженность магнитного поля, создаваемого при движении заряда, равна (запаздывание не учитывается) е 1 е 1 Я = — — [гп) = — —,Р, не гз Нс гз где г — радиус-вектор, проведенный из точки наблюдения, 1 †. момент иоличества движения. 179 Атом — )е)Ь Г,) 4)б' = — — ~ ф' — 'фа'с; ие,1 гз так мак 1Д=тф, — 1е ~й 1 )е19(иез1а 1 2/ Среднее значение еЖ, рУс.я в нашем случае будет равно нулю вследствие того, что ')ыоМц),а~~И = ~ ',"кгш1е')ю~Ит = О.
Для состояния 2р (и = 1) получаем: — 1 1е ! й Унеата аЮ = — — — ( —,1, т. е. Ю вЂ” 10лгаусс. 12 2йс 1,1Р) 29. Магнитный момент частицы равен ЯИ= ' ~;1„.. 2эс .~ В случае двух частиц введем новые переменные: координаты центра масс (Х, 1', Л) и координаты, характеризующие взаимное расстояние (х, у, я).
Среднее значение магнитного момента, выраженное через новые переменные, будет равно и аналогично для !91 . и Йя. В стапыонарном состоянии средние значения иоорд~нат д . д . д х, у, я н импульсов — 1л —, — 1Л вЂ”, — й — обрадх' ду' дл щаются в нуль. Вследствие этого последнее выражение упростится и примет вид 1= — Ь вЂ”,',.(1 — А1) ~ ~" ( — '(' — 'у — утхИ"'т* В этой задаче т — масса электрона, а Я( — масса ядра. 12е В квантовой теории для определения среднего значения напряженности магнитного поля нужно вычислить интеграл вида 180 Ответы и Ращения 30. ЬЕ= 0,00844 2,79 —" см Ва и" Для основного состояния водородного атома(У= в =1) ЕЕ= 0,0235 см '.
31. Для определения энергии необхолнмо найти напряженность магнитного поля, создаваемого электроном. Вследствие орбитального движения электрона в той точке, в которой находится ядро, возникает магнитное поле, напряженность которого по закону Био и Савара равна М~~ а 1 ~тЯ с га' где г — радиус-вектор, направленный от ядра к электрону, а г'= — ем (заряд электрона †). Введем оператор орбитального момента 1. Тогда для Я~ получим: еЬ 1 * Иг= — — —.Е Ис гз Вследствие того, что электрон, помимо электрического заряда, имеет спнновый магнитный момент, полная напряженность магнитного поля в указанной точке равна Таким образом, оператор энергии сверхтонкой структуры мы можем прелставить следующим образом: здесь 1 — оператор спина ядра, а р1 — магнитный момент.
Будем рассматривать ы как малое возмущение. Невозмущенное состояние характеризуется квантовыми числами ,у0 = 1+ '/и 1'=1 †'!з), 1(предполагаем наличие ЕЯ связи). Для определения энергии сверхтонкой структуры мы должны усрепнить оператор те по состоянию с квантовыми числами 182 ответы и Решзния можно определить спин ядра. На рис.
29 изображена сверх- тонкая мультиплетная структура О-линий натрия. Тонкая структура, т. е. наличие дублета (линии О, =-6896 ег, .соответствующая переходу ЗзРэд-+ Зз5у, и а Вз =-5890 А, соответствующая переходу ЗзРу,-+ За8д), объясняется спин-орбитальным взаимодействием (см. задачу 10 2 7). 82. В диамагнитных атомах равен нулю не только полный момент, но равны нулю порознь как результирующий орбитальный момент, так и результирующий сливовый момент электронов. Вследствие прецессии электрон приобретает добавочную скорость Обозначая через А векторный потенциал внешнего магнит- 1 ного поля А= — Щг). последнее соотношение можно пере- 2 писать в виде о' =- — А.
рс Плотность тока, возникающего вследствие прецессии элек- тронных оболочек, равна У = — Ар(г), е вс где р(г) — плотность заряда в точке г (заряд электрона равен — е). Определим сперва векторный потенциал А' индуцированного магнитного поля Используя формулу 1 Гж+я: — ИР,(,~,В-; — „г„ь,~~ ) гг $ —,, ге..)с, ч уы, (е 'в) уь (з т) ~ й' ьм 183 АТОМ зависит от электростатического потенциала у(0), производимого электронами.
В модели Томаса в Ферми 10(0) = — 1,588 — -. Яе б где б = — 0,858 —,, п = — ' а 52 л !'" и22 и, следовательно, Юб",(0) = — 0,319 10 'Л'*аб'. ЗЗ. 220;(О) = — — "— '-, = — 0,599 ° 10 30. 35. а) '50~51; б) ! 1 Р012' в) 1О2ЧЭ122; г) 1500811Р! 2Р012!О22О122. 36. а) 152Р21.2; б) 15 АР 1Р ар 16; в) 252Р1Р2):) 37. Овр, С!арчи Реева, СоЖ2„А22.%!и Ьааочг 38. К, Хп, С, Π— четные; В, И, С1 — нечетные.
получаем выражение для А'! А'0! — ~!К ! ° ~ ~ ' р! ')! ' — !- !' ( !. м)г С помощью последнего выражения легко вычислить напряженность магнитного поля в направлении оси а. Напряженность равна 21 С Г !' )э' Индуцированное поле в центре атома, т. е. поле, действу!ощее на ядро 184 ответы и гашения — (и- ащ) ~ м 1 ~(м,)=-с;, ',„„ 40. Числа состояний равно )Цу ()Чг — !)... ()ту — х+ 1) ел 42. С целью краткости антисимметричную волновую функцию нида ~и Хги и в ~а Х ийю„ и ой и~ Ф=— 1 дп составленную из функций одноэлектронной проблемы, будем обозначать следуюгцим образом: Ф(пЧ'щ'щ', и'1ащаща, ..., вк)мщ" щь').
г о' м"''' г в Рассмотрим действие симмегричного оператора (К.— А,) = Х (1г — '(г) г=г па аитисимметричную функцию Ф~~РРщ~щ~ ваыще Я „ж)кщнщк) г в' в' е Легко видеть, что (ь — 11.я) Ф( 1 1 7 ) =--~/(Р+щ',)(Р— щ',+1)Ф(п'Рщ,'— 1щ' лЧат'щ', ...)+ ~/(1е ~ ща)(Р щ1 1 1) Ф(п~йщ~щ~ па1аща 1 Я ' +)' (Е +гл~ ) (1 — щгУ -+ 1) Ф(в~1'щ~~щ„, ..., в 1 щ, — 1 щ„. ) 39. Если все тройки квантовых чисел различны, то число Ж состояний равно числу сочетаний из И по — +М„, т. е.
1 8.(Д4 ) г'Т ™е Если имеется И' пар одинаковых троек квантовых чисел в, 1, щн то 1об $ 7! лтом Результаты действия оператора 5 — г5в аналогичны, только вместо лг, понижаются на 1 значения тг. Вели волновая функция является собственной функцией четырех коммутирующих операторов 5г, П. 5„ Е,. то действие операторов (К вЂ” 1Кв) и (5 — гЬ'„) сводится к следующему: (1,, — 11.в) Ф (ЫМаМл) = = М (Е. + Мв) (с — Мх.+ 1) Ф (5ьМвМь — 1), (5.— 15„) Ф(51.М М,) = ) Ф(51.Мв — 1Мл).
! После этих предварительных замечаний приступим непосредственно к решению нашей задачи. В рассматриваемом случае мы имеем дело с эквивалентными электронами, поэтому квантовые числа в!можно везде опустить. Значение проекции спинового момента будем иногда указывать посредством индексов ( -), расположенных над ип Приведем для конфигурации рл классификацию состояний по Ма и Мв (ограничиваемся только неотрицательными значениями) и получающиеся в каждом случае термы 0-) !45! Ф, — 1 — 1+ — 1' — 1 З Ф Фг Фг ! 0' гр ф !гр! Ф Затем вычислим действие операторов (К вЂ” Ыв), (5.
— г5„) на некоторые из приведенных выше состояний (1-х — 1Ьв) Фа — — ! 2 (фг — Фг), (~ — 1(т) Фа=7 2(фг — Ф ) Мь Мл — 0 Ф(1" — 0 Ф(1' ф(1 Ф(1' — Ф(1' Ф (1е 2 2 Ф(1 0 ) О+) 0 ) 1 .~.) 0 ) О+) 186 ответы и Решения (ń— 1С„) Ф, = )~г2(фе — Фе), (5м 15я) Фг = фа+ Фз+ Ф2 (5 — 15Р)Ф(~5, —, 0) =$ ЗФ ("5, —, 0), (5 — 15а)ф,=фа.+Ф +ф, ф(5. — ', О)= — '(ф,+ф,+Ф,).
так как то Аналогично для терма ЧЭ получим следующие волновые функции: Ф (ЧЭ, —, 2) =Фт» Ф(т —,'. 1)=+(Ф,— Ф.), г' 2 Ф (20, —, О) = =(Ԅ— 2фа+ Ф ). )гб 1 г 1 Состояние 2Р, —, ! ! Мл = —, Мв = 1) представляет собой 2 линейную комбинацию состояний Фе и Фе, ортогональную 1 к состоянию 20, —,, 1. Ив этих соображений находим: 2 * ф(2Р 1) (ф +ф) и далее Ф(2Р, —, 0)= — (Ф вЂ” Ф). 1 ъ 1 2' ) )г2 Таким же самым способом можно получить волновые функции, соответствующие отрицательным аначееиям проекции. 43. Как следует из приведенной ниже таблицы для определения собственных функций двух термов Ч3, необходимо вычислить сперва собственные функции тернов 2Н, 20, 2Г, 2Р. Ф, есть волновая функция состояния 25 с Ма = —,, Мг — — О.
3 в Лействуя на эту функцию оператором (5 — 15„), согласно (1) получим: ф 7! 167 Атом Мд Мд — 5 Ф(2", 2 2 — 4 Ф(2~, 2 Ф(2, 1', 1 ) Фз РН! О) Фа 1) Фз 3 Ф(2+, 2 Р (2ь Ф(2', 1. Ф(2, 1+, — 1ь) Ф„ О) Фа О') Ф, О') Ф, — 3 Ф(2+, 1, О ) Ф4 !Х'! — 2 Ф(2+, 1+, — 1+) Ф,а !4Г! Найдем сперва реаультат действия операторов (Еи — 1Еа), (5М вЂ” 15а) на некоторые из приведенных выше состояний: (Х.„— Ы. ) Ф, = — 2Ф„+ 1/ 6Ф . (~ — Ы„)Ф = — 2Ф +2Ф + 1/6Ф, (Х.
— 1 )Ф,= )/6'е+1/6ФА, Р~ — 13а) Фы =""-,-+Фа+Фа (К вЂ” У.а) Ф = — 2ФМ+2Фш-+ 2Фе У, — ЩФ, = !/6Ф„-+ )/6Ф,, (оь 1~а)Фш=Фп+Ф1о т Фа. А 1ьа)Фа= 2Фьт — )/6Фи+-$ 6Фю (ьа 1ьа) Ф1 2Ф1з+ 1/6ФМ. — 2 Ф(2 Ф (2+, Ф (2+, Ф(2 Ф (2+, Ф(1", 2, — 2+) 1~, — 1 ) 1, — 1') 1 -~-) О) 1, О") 20 а а6 Ф1е ч) 188 отаяты и Решкння Волновая функция состояния ЯН, —, 5(Мл = —, Мх.=б) 1 г 1 2' 1 2' равна Ф„т. е. Ф(еН, —, 5)=Ф,, Применяя оператор 1 2' (К. — Ыя), получаем: (Š— с1.„) Ф (аН, —, 5) = ф 10Ф (еН, —, 4) . Так как (К вЂ” 1Х.я)Ф,=. — 2Фа+ г' бфа, то Ф(тН, —, 4)= Д бфа — -2Ф,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
