Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Применяя теорию возмущений, т. е. полагая а=3, р=в/а, мы получим для энергии основного состояния менее точное, чем при вариационном методе, значение Е=- — 7,05 или в элек- трон-вольтах 168 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ причем ф — волновая функция электронов в поле бесконечно тяжелого неподвижного ядра. Первый член в выражении для Т отличается лишь мнои жителем — от кинетической энергии электронов, которая М по теореме вириала равна энергии атома с обратным знаком. Таким образом, ЬЕ представляется в виде суммы двух членов ЬЕ = ЬЕ2- ~- ЬЕ2, и 21 Е ЬЕ2= 21 1 ф Д„РгР~Йг12.
2) 2 Рассмотрим более подробно ЬЕ2, Если в качестве 2 взять произведение волновых функций отдельных электронов, то член ЬЕ2 обратился бы в нуль, так как средний импульс электрона в свизанном состоянии всегда равен нулю. Однако, если должным образом симметризовать такую волновую функцию, ЬЕ, будет отлично от нуля. Симметризованную собственную функцию атома гелия запишем в виде 1 ф(ГП Гз)= — — [ф2(Г2)фа(Г2) ~фг(Г2)фа(Г2)1 )гй причем верхний знак относится к парагелию (полный спин 8= 0), а нижний к ортогелию (Я= — 1).
Представляя это вырал<ение в форчулу для ЬЕ,, полу- чаем: ЬЕ2 = ~ 2л ~) Ч2Рузг2 Матричный элемент импульса отличен от нуля, лишь когда Ь1=--0, -1 и, таким образом, ЬЕ2 обращается в нуль для состояний 12п21, 1ап~ и т. д. Беря для 1е-электрона и для НР-электрона водородные функции с эффективным зарядом соответственно У, и Е2 Гг', ф,.(г) = ~/' — е-и', — ~/ —,— ф =.— У вЂ” 2 — ге " Е11 — и+2, 4; =), 22 20 3 па и )* получим: и 64 . 2 (г2л — л2)22 ~ Р 2 ЬЕ2 = — = Т (222.2) - „, (и 1) атом 169 причем верхний знак относится к паратерму 1зир 'Р, нижний †ортотерму 1злрзР.
18. Пусть р~(х, у, л) является решением уравнения Шрелингера, относящимся к дискретному спектру энергии. Рассмотрим однопараметрическое семейство нормированных функций вила ЛСф(Лх, Лу, Лг). Выражение У(Л)=Ля~ ( ~Р„(Лх, ),, Л,))+ 2и +Е/(х, у, а)/ ф(Лх, Лу, Лг) ~1~ с)хс)ус(г„ как функция Л, должно иметь экстремум при Л=-1, т.
е. ®) =О. Переходя к новым переменным интегрирования Лх, Лу, Лг. получаем: У(Л) = ЛеТ+ Л- и. Откуда находим: 2Т вЂ” тО= О. Теорема вириала легко обобщается на случай системы многих частиц. л) лд=-, е) ~ "л, ж) у- ". Ь 20. Полная энергия складывается из трех частей: кинетической энергии электронов Т. энергии взаимодействия электронов с ялром П„„.
и энергии взаимодействия электронов между собой У„. Два послелних слагаемых имеют следующий внд; р к г и —.= — ~ — Рт с1т'. 1 Г р (г) р (г') 2,~ ! ф — г~! Чтобы вычислить кинетическую энергию, рассмотрим бесконечно-малый элемент объема атома Ж, Число электронов !уо ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ с импульсами, лежащими в пределах р и р+с(р, пропорционально фазовому объему и равняется Зя„ея 0р ет ра чр чт (2к)е РД Плотность электронов получится интегрированием по р от О до некоторого максимального р=р . Ро Кинетическая энергия электронов в объеме с!т о Выразив в этой формуле ре через р и интегрируя по объему атома, находим кинетическую энергию электронов Т = —, (3 па) л ~ р'ь с(т.
1пяа Окончательно для полной энергии получаем: В= Т+и„.,+и„= (3~я)Ч* ~, ( р, ! ( ( р(г) р(г') 22. Элемент объема, выраженный через х„имеет вид с(т =- 4кгз дг = Вн) зха дх. Вычисляем кинетическую энергию Т !2(З") ь Лель 25и и энергию взаимодействия электронов с ядром Ц 8, А)ЕУ Для того чтобы вычислить (I = -- з! ~ Р Р, депе', 2з 3 1г — г'! найдем сначала потенциал, создаваемый электронами ср„ Решая уравнение Пуассона Ьр, = 4пр, $7[ 171 АТОМ получим: !бкААа р, = —, [1 — е-м(х+ 1)[.
Вычисляя теперь У с помощью теоремы Грина, находим: (7се 2 ! 9вр~т ! Г Из условия нормировки определяем А р с[с = ! бкА)а = 7ч'. Ф Подставляя А= —. в выражения для Т, С7, (/, по!бчаа па' вв~ лучнм; дм 1Я. ' Минимум Е = Т+ У„, + У достигается при 8 и составляет ~=бб(3 — ) д! (у — — ) . ед. Для нейтрального атома 26 49 г!бгу у у Е= — ( — ) 'У.
'= — 0 75ВХ" ат. ед. бб.бе 1зя7 23. Пусть р(г) — выражение для электронной плотности в модели Томаса-Ферми. Тогда р(г) осуществляет минимум энергии атома Е= — ' ! ру с[е — Л ! — с[э+ — ! !, с[тАт', (Зп)у ", Г, ! Г Г,(,)р(,1 — 1Оча.! '" 3 —, 2[3 [г г! Если в это выражение вместо р подставить функцию )ар(Аг), удовлетворяющую тому же условию нормировки, что и р(г), 172 ответы и Решения то получим Е(1)=)от+)и, где Т вЂ” кинетическая, а и— потенциальная энергия электронов в атоме.
Поскольку Е(1) должно иметь минимум при Х =- 1, находим, что должно выполняться равенство 2Т+и=о. выражающее теорему вирнала. 24. Энергия взаимодействия между электронами может быть записана в виде 1Г УГр 1Г и = — — ~ гр„рг(т= —" ~ — сй — — ~ ~рот, (1) где р,— потенциал, создаваемый электронами, а р — потенциал самосогласованного поля, включающий поле ядра р= р.+ —,.
В модели Томаса-Ферми выполняются соотношения Ро р'о р Зее' где ро-- максимальный импульс, уе†потенциал на границе атома. Исключая отсюда ро и выражая в формуле (1) 'через р, находим: ~ Г р (Зое)Ч Г, то1Ч и = — ~" — (т —, ~р'Л(т — —. 2,~ г 4 Первые два члена лишь множителями отличаются от энер- гии взаимодействия электронов с ядром и„,= — е ~ — 'д. и кинетической энергии 3(зк'-)" ~' ч 10 Таким образом 1 5 тоМ и . ==: --- — и — -'- т — —. 2 "' б 2 Подставляя сюда значения Т из теоремы вирнала 2т =.— и — иьн [У3 атом окончательно находим: ь т ~' ев у ее у те для нейтрального атома (дГ=Е) ~уе=-0 и 1 (т' = — — У,.
ев у яе 2б. Энергия полной ионизации равна полной ввергни электронов, взятой с обратным знаком. Используя теорему вириала, находим (см. предыдущую задачу): 3 3 П„,„= — —, иве+ —, ~„М. Преобразуем выражение следующим образом: введем потенциал еу,, создаваемый злектронами ~~1ев =-- 4пР и используем теорему Грина 4 Г Рте (поверхностный интеграл на границе атома равен нулю н Ь вЂ” = — 4пй (г)) .
1 г Итак, 3 3 ~ее1е — Иге (О)-[ у ХГеве. Переходя к томас-фермиевским единицам У'"х(х) Ь х находим: г гд Мг)=еу =-90 Ь [1 Х(х)1 и поскольку для малых х 4 е у(х) =- 1 — ал+ — х1в, 3 174 отняты н ввшвния где а=аз=1,88 для нейтрального атома (для положительного иона а ) ае), то окончательно 3 ат" 3 17 — Лг)з У.'д Еиоа ~= — а — — ° 7 Ь 7 Ьхо хе — радиус (а — Ж)-кратного иона. 26. Потенциал точечного кулоновского центра совпадает с потенциалом заряженной по поверхности сферы вне этой сферы, поскольку полный заряд в обоих случаях одинаков. Внутри сферы разница двух потенциалов составляет б<р = — Хе( — — — ).
Изменение потенциальной энергии электронов атома б(7 = — геа,')' („~ — 1 ) е (г,), 1=1 где введена вспомогательная функция Смещение уровней энергии в первом приближении теории возмущений ! 2 бЕ= — Хех ~ 171' х ~ — — — )е(г,)г1т ... Нтм. л~е'~г~ а ) 1 Интегрирование по всем переменным, кроме одной, дает: 1 ° !ф( "')Мт ".~е =~р() 1 где р(г) †электронн плотность. Таким образом, АЕ= — аеа ~ р(г)~ — — — )е(г)Ж.
71 11 1г а) Воспользуемся тем, что р(г) мало изменяется в области г <'. а. Вынося эту величину за знак интеграла в точке г=-б, получаем бЕ = — Еее р (0) —, ае. 175 ф 7] атом 27. Волновая функция е-электрона где у„ удовлетворяет уравнению 7 + —. 1Е.— Иг))Ь =О и нормировочному условию ~ узде.= — 1. е Решение уравнения для ув в квазиклассическом приближении имеет вид Раа где р„= 1Г 21а(ń— сУ(г)]. Зто решение, однако, непригодно в области малых г. раз В самом деле, если г мало (г<~, 1 то, во-первых, ~7 вез ~ можно пренебречь экранированием поля ядра и положить уее ьа(г)=-- — —; во-вторых, можно также пренебречь Е„по г Г2,К сравнению с са'(г). Подставляя р =- егг в условие применимости квазикласснческого приближения получаем: рд 2 ~) — —.
уиез ' Чтобы получить для ун выражение, пригодное в области малых г, вернемся к исходному уравнению и заменим в нем Яез са'(г) на — —, а также пренебрежем Е„: 2н лез 7" + — — 7 =О. лв г 176 отввты н ввшвния Это уравнение имеет решение у„=С 1/ г./а(2 У/ " а ). (2) Чтобы найти связь между постоянными С„и А„, замечаем„ что область применимости кяазиклассического решения (1) ла г ~)— Хиее и область применимости решения (2), в которой пренебрегается экранированнем поля ядра.
йа г «( при больших Е перекрываются и поэтому решения (1) и ла йа (2) в области — (<г(< должны совпадать. лиг уча еа Покажем, что вид решений (1) и (2) одинаков в общей области применимости. Для этого полоаким в (1) р =- = 1г/ — . Тогда полУчаем / 2рЕе~ г А„1/ г 12 У2~ХЕа 1 йа йа Ъ=,— о ~ „+у~ —,((<<, а (З) 1/ 2ИЕеа Еие~ у /' неа йа Условие г)~ — означает, что аргумент бесселевой функхгеа ции в (2) велик. Но для больших аргументов (х~) 1) Г2 / Зе' ./ (х), ~/ — соз 1тх — — ). чх ~ 4 /. Таким образом, решение (2) принимает вид — /г л /2 1' 2ГЕе'-'г Зе'а уч еу е у 2рУеаг 1 йа 4/ хааеа х /" леа Сравнивая эту формулу с (3), найдем: Зе /'" ь т' '4 С 1/ т' .1 и в 1/ Теперь можно найти фэ(0) 177 атом При х((! имеем У,(м) = — и с помощью формулы (2) 2 находим: — =С„~/ ''7„=~/ "';~' А„. Следовательно, Постоянную А„ определим из условия нормировки (1Г Зе~ СО сола — д лг —— 4/ ~'2н (ń— и (г)1 6 а А~~ лу 2 г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
