Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Решая секулярное уравнение, О 2ес находим: Е=. ~+ -ь.— — 1+ т +чт, 1+ —, 2 Е =- Е Юй'а 1 ш. 1+— 2 б) В случае больших полей, т. е. при Жре «~ЛЕ, 2~ ++ где ЛЕ=Е,— -Е, а с=-— 2яоЖ Найдем порядок величины напряженности магнитного поля, в котором будет наблюдаться расщепление, описьшае! ЬЕйп ~ мое полученной формулой. По условию У."' по В случае атома натрия ЛЕГе=0,0583сн-'= 1,962.10 "евра; так как ро —— 0,922 ° 10 ~ гаусс ° снв, то напряженность оЯУ по порядку должна быть равна М' — 600 гаусс.
Рассмотрим предельные случаи. а) В случае малых полей, т. е. при чей'е дЕ, для энергии получаем следующие выражения: Е = — Еэ+ — тг, жив 1 1+— 2 199 атом 57. Собственные нормированные функции атома водорода в невовмущенном состоянии имеют вид (см. задачу 20 э 4) д... М ~'+ ю~ ут-*;. - —,~ )(1) Й„ысв,, (Ч 7+1 — щф б.~. Ь,ма.-~д 'тягу=1.
~~на.= Л 'т' ц-.=а-;, 1 Энергия определяется двумя квантовыми числами д, г'. В присутствии однородного электрического поля (б =- Й» — — О, о,= $) ~„ по-прежнему остается константой движения, а орбитальный момент перестает быть интегралом движения. Матричные элементы оператора возмущения () = емя для переходов между состояниями с различными значениями тт равны нулю. Равны нулю танн~е диагональные элементы оператора К т.
е. / и',яп,пт= у ~и* ли гН. (2) Ъ'а, =1',а — — егя ~ ) и ли+ Не = а =1' *- 1 гвй„,у Э (г) й„, ~е ~„(г) Нг * ' ' " 2 УЗ (7+1) Х Ь О+лгт)0 — т~+1)Х Х ~ У;,и, ..дУ,.а...эсо.б 1а — ~'(У вЂ”,)(+.,+1)Х у Х ~ ) ~-~,',ю ьч,~ ячч и .~.юдсовЬ~И~ ° (3) Поэтому для определения расщепления необходимо вычислить матричные элементы )), соответствующие переходу из состояния и, /, т~, 1=у+'/а в состояние и, у, т~, 1 = — 1 в '/ю Искомый матричный элемент равен 2 00 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Проинтегрируем сперва по углам. На основании формулы Г(г+ т+ ц (1 — т+ ц йу, (и, 9)=-~ „...
у„,„(й, „.)+ / (1+ )( — т) + 2' (21+ 1) (2! — Ц ~г- ь получаем, что выражение в фигурной скобке в (3) равно 1 2У7О+ Ц ((г+-т)) Ц вЂ” 4+ 1) — .(.1-+ .+1) 0 т2)) = ту 2'У()+ Ц Производя далее интегрирование по г, имеем: — -2 л ~/ и' — (1+-~-) . Таким образом, для матричного элемента возмущения (3) окончательно получаем: ~/ л2 (/ + ) тле~ 1 22 1 2Ы 4 У(У+ Ц Искомую поправку к энергии находим из решения векового уравнения: 1 22 =- О, 2 =- -+-)г 3 е- 4 При заданном л терм сг'=-л — '/2 в электрическом полене расщепляется, так как он не вырожден относительно квантового числа 1 (1 имеет фиксированное значение 1 = г' — '/ =- = л — 1). Все остальные термы тонкой структуры распадаются на 2/+ 1 равноотстоящих уровней т( = — г', ... +Л. 201 атом 2 Л11 (В1 1З1) д2 — 8п при 1вг= 1вп м( + —.,')(+ 1) ! г ( 2) 4 ~ 1 12 811 при т1=т +' пм (г + — ) (1 + 1) 2) 1ю1 (1'1)гь1 =1 1 и = т — — или наоборот, 0 во всех остальных случаях, гм, 1чя 1 3 11 2 1™1 Зл (" 1) (1 1Л1) 2 2 2 2 (22)„, ,г, 1 ~8„,1,8, .
1мг В случае и = 2 энергия состояний с квантовыми числами 1= 1, лг = т1+ гл, =-+-в~а () = а/ ) в электрическом поле не изменяется. Смещение этого уровня вследствие учета ~'1 ея и 1гя равно — ат. ед. (см. задачу 10 ф 7). 128 59. В рассматриваемом случае спин-орбитальное взаимодействие )г„ релятивистская поправка на изменение массь1 112 и энергия электрона во внещнем однородном электрическом поле 11,= †Рл †вели одного и того же порядка. Поэтому мы будем рассматривать их сумму как малое возмущение исходной системы.
При вычислении исходим из состояний, в которых имеют вполне определенные значения орбитальный момент 1., его проекция л11 и проекция спина та на направление электрического поля (ось я). Вычисляя матричные элементы величин 11„У2 и 1'2, имеем (в ат. ед.): 202 отввты и Рвшания Расщепление уровня, квантовые числа которого л=2, 1 т= - —, находится из решения секулярного уравнения 2' — — 3 — Ео! 3 )Г2 О 3 ~/'2 —,' 3 Л"" — Зà Π—.ЗР— — 6 — Е аа где ЗЗ = — — ат. ед. есть расщепление тонкой структуры 32 уровня и=2 в отсутствии внешнего поля.
Введем в это ,Х1] , (О уравнение величину е, связанную с а' соотношением Е !1 / 11 = е — — 3 !т — — 3 представляет энергию центра тяжести 4 т 4 Еп)+Еп)+ Н(1! 11 трех энергетических уровней = — — Ь, по- 3 4 лучаем: или ез — е~ЗЗа+9Ра) — 23в = О. Решаем последнее уравнение в случае слабых полей (Р ~~3) и в случае сильных полей (Р)~З). В первом случае полу- чаем: е,= — 3 — 1/ ЗР— —, — ~Я а = — е+ 1/ ЗР' — —, еа — — 26+-2 =. Во втором: 1 Ьа ! аа е = — — Зг'' — — — + — —, 2 г"+йгэ' 2 аа еа = 9 де' 1аа 1 аз е = Зг''+ — — + — —.
2Р 9И й 71 2аЗ лтом 60. Среднее значение полной энергии равно — ~ фо (1+да) Йфо(1+Ли) ет Н— (1) ф*,фе(1+Л.> н С помощью интегрирования по частям приведем числитель к более удобной форме. Оператор кинетической энергии электронов имеет вид гам ' г=а где и — чиоло электронов, а о; †операт Лапласа, действ)тощий на координаты 1-го электрона. (Расчет производим в атомной системе единиц.) Запишем выражение для среднего значения кинетической энергии в симметричной относительно ',:е и фе форме 7 ==- — — ~~ — ) (фо(1+Ли)Ь;(1+Ли)фе+ + фе(1+)п) бг(1 + Лп) фа'1 г1тВыполняя дифференцирование под знаком интеграла, получим: 7=- — 2 ~1 2 ~ 1фе(1+Л )'Ме+ в=1 + фо (1+ Лн)а 11афо+ 2Лфофо(1+ Лп) ~ЛФ+ + 2Л(1+Ли) Р;(фа)е) таи'1 Ит.
(2) Преобразуем два последние члена. Для этого рассмотрим тождество Рг (феф(1 + Ли) т;и1 = = фефе (1+Ли) Ьви+(1-+Ли) уг(фефе) т,и-+1фоф(увп)~. (3) При интегрировании тождества (3) по всему конфигурационному пространству имеем: ) (ф„ф (1+Ли)рви+(1 + Ли) рв(феф )рти) Ит= 1 1 фев (Ч,и)2 Д (4) 204 отпиты и РашРния Подставляя (4) в (2), получим:  — — — (бо(1+ Ли)'б;ео+ Чо (1+)и)' бо (О) ~1'+ 2=1 и +'-,",~ ~ 'Чо(Ч;) ". Оператор Гамильтона Н равен Н= — Но+и= Т+(Г+и.
Учитывая коммутативность )г с (1+-Ли), выражение (1) представим в следующей форме: о — ~ (1+1 ) ЙФФО+ФОНЕо)«+2 ~~~~~ ~ ФФО(уо ) Л' Й=Е о+ (1+ 1'и) Фо Фо П2 Так как Нофо=Ео)о, то 'Ои(1-)-Ли)ОРОЛО+ — «~~ ~ ЕО~РО(уои)) и Й=ЕО+ (1+ Ли)24'„ро по Ло ж2 (и) -~-2Л (ио)во+ Ло (ио)со+ — Д ( (Чги)2)оо 2 1 2-2 о+ 1 + 21. (и)оо + Ло (ио) Оо (б) Г 2 Г1~ 2~ где (и) = ~ )ОиЧО г(т. (и ) о = ) фои фо 212 и т. д.
Разложим второй член в (б) в ряд, отбросив члены с (и )„,, (и)зонт.д. Йля добавки к энергии бЕ получим приближенное выражение вида ЛЕ (и),о+ 2Л(ио)оо 2Л(иЬ+ 2'„Е ((Ч и)') . (б) 2-2 Определим значение варнаиионного параметра Л нз условия — = 2 (ио)оо — 2 (и)оо+ Л ~~)„((Чои)2) оо — — О, 2бб Ф 7] атом откуда для Л получаем значение Л = 2 и (и) — (и ) 1 ~ ((у~и)з)ее 4=1 Подставляя Л в (б), получим искомое соотношение ЬЕ ж(и) — 2 Х ((у~и)з)м (7) 6$. Если атол» находится в однородном электрическом поле, напряженность которого $, и поле направлено по оси л, то оператор возмущения и=- — й~~~ а; = — йа.
1=1 Матричный элемент (и) „равен нулю. На основании формулы (7) предыдущей задачи имеем 2б,((") ) где и†число электронов. Отсюда следует, что коэффициент поляризуемости равен 4 ((лз)щ)з (аа) = — (га)оо —— — — ~ е и'г~ г(г = 1 1 14я Г 3 ее 3 и о Необходимо отметить, что эта формула, полученная путем введения только одного вариационного параметра )„ представляет удовлетворительное приближение лишь для атома водорода и гелия.
В случае атомов с несколькими электронными оболочками деформации оболочек будут не одинаковы. Следовательно, в вариацнонном методе для получения более удовлетворительного результата мы должны для каждой электронной оболочки ввести свой вариационный параметр Л. Для атома водорода 206 отлиты и гашения и, следовательно, В системе ССРЕ а = 4 ат.
ед. а = 4 ( —,) смз. Экспериментальное значение е„„ = 1,00074, Сравнительно большое различие между вычисленным значением и экспериментальным объясняется главным образом тем, что мы пользовались грубой аппроксимацией для невозллущениой функции. 62. а) — 1 (27'+ 1)л очи -+ аг'(,/+1)нс 1 — ~/(27'+1)лУ'л+ — л( ' — (7+ — ) ) 6' ("=Й) (см. задачи 87, 59 9 7)", б) где е определяется из решения уравнения третьей степени ез:,2~ел — е(ЗР+ 9сэ —,лл) ='2РЗ вЂ” 2Р = О. Здесь 1л =2 — егс:, л =ей( — л), 8 =08.(1; ). Для атома гелия волновую функцию основного состояния возьмем в пиле фр — — — е л44 л а, где Л„44 = — (см. задачу 14 9 7).
лэеф -я арл] 27 И 16 Произведя вычисления, получим: лл лл а = 0,98 ат. ед. или а = 0,98 1 —,) сиз. ) -. Для найденного значения а величина дйэлектрической постоянной гелия при нормальных условиях будет равна е = 1,00049. 207 лтолч В случае сильных полей (Ь~(Р 6«К~~) е =ч-ч3 — ЗР—— 1 9Г~3 2 9Р"'Т-Згчч 23 3 ег =' — 9 на рг — г ег = ~ г+ 3г + 2 9Р-ь 3 3 е (см.
аадачу 59 9 7). 63. Направим ось л вдоль направления магнитного поля, а ось х вдоль электрического поля. Тогда для оператора потенциальной энергии электрона в этих полях получим - =,— '",(1,+2ег) Уб'+ейх. Последнее выражение будем рассматривать как малое возмущение, характеризуя невозмущенное стационарное состояние квантовыми числами и, 1, нч, а(т и г — проекции орбитального и спинового моментов на ось л). Отличные от нуля матричные элементы х имеют вид Ч вЂ” ч,т Ч,чг-ч 3 / (нг — чг)(1 — т+1)(7 — т) — — л и $' (21-(- 1) (21 — П Л т ч ч, гг — ч 3 /(пг — (г)(1+т — 1)(1+т) хч-ч, т-ч=(х)ч. т 4 Ф' (27+1)(21 — 1) Рассыотриъч случай а=2. Пусть для определенности проек- ел ция спина на ось л равна + ч/г. Введем обозначения ч3 = — сЖ 3 2)ге Т = — евши. Матрица оператора возмущения в этих обо- е' 2 значениях имеет стедующий внд: 23 О О -- 7 О чч ΠΠΠΠΠ— Т О т Р Нумерация состояний производится в порядке убывания 1 и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
