Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 24
Текст из файла (страница 24)
8. В инфракрасной полосе мы имеем дело с переходами в основном электронном состоянии, при которых изменяются колебательные и вращательные квантовые числа. Для частоты перехода между двумя состояниямк о', У вЂ” ло", ул имеем: и= аФ вЂ” )+,— ',17ж+7' — 7"' — Р'1 2раа Иа правил отбора для l следует 7 =У-+-1. При этом получается совокупность частот 2иФ л + ~ (У'=0 1 2, ) Отметим, что этн два' ряда частот в молекулярной спектроскопии называются соответственно Р и Я ветвью. Иа полученных выражений видно, что разность частот двух соседних линий при фиксированных о' н о" равна в см-л ае Ь йч = —— 2кс 2ясраг Момент инерции молекулы НС!гь 1= раг =, = 2,66 ° 10 г слле.
Ь -ш 2пс Ы Испольауя аначепне приведенной массы р = л1н — == 0,972л1н = 1,61 ° 10 г. 1 ° 35 -ы 1+ 35 находим расстояние между ядрами в НС1: а = у — =- 1,29 . 10 слл. — Г -з р Равновесные расстояния а в молекулах РС1 н НС! одинаковы, поскольку форма потенциальных кривых определяется 218 Ответы и Решения состоянием электронов. Отсюда следует, что ~'ос~ 1'ис2 . — 2 — — Ьчос2.= 10,7 см Дънс! Рвсз ' 9. Расстояние между двумя первыми вращательными уровнями Д» = — =41,5 сж й 22 — 2ееу— Отсюда находим: Д22 — '" = 0.0104. Д2ааа 1О. Энергия диссоциации молекулы О, равна 4,54 эе. à — а 11. Переходя к новой переменной 2= †. запишем а уравнение для радиальной функции — : х.
Лет 2нае — „,+=',, (Я вЂ” Р)2=0. С%2 йа Полагая е= ае-22"-, получим: 1 1, ея 1 2 Ха+ у+~, ' + " /у=0 е. Х 22 4 е где / на2(Д Е) 1 иаЧ1 ., 2иаЧ2 э=~/ "Ряба 2 авала ' й2)22 Полученное уравнение заменой у .= е '" г"и (е) сводится к гипергеометрическому авиа+(2е+1 —,г)и'+пи=0, решением которого является вырожденная гипергеометрическая функция и =с ( — о, 2э+ 1, л). Эта функция удовлетворяет условию обращения у в нуль при Г-++со при положительных вначениях г (дискретный спектр).
При à — + — со волновая функция должна обращаться в нуль. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы )а сводилось к полиномам, т. е. чтобы о было неотрицательным целым числом. Это условие определяет энергетический спектр Ея — й.~.+2) '4О (.+ 2)'.,д, в=4~ф~", $8) 219 молзкглл х = $ (соз ф соз у — яп ф з1п у соя О)— — т1 (соя ф з1п е+ ып ф соа у соз О)+ Ып ф ьйп О, у= 1(яп фсоя у+соя ф 51п <~созб)+ + т1( — ап ф мп в+ соя ф соя е соя О) — ".соя фяш О, я =1 з1п у яп 0 + ч соя ф з1п 0 + ь соя О. Лля того чтобы найти знд операторов )р 1„, 1~, зосполь.
д зуемся тем соображением, что оператор )1 есть )1= — 1 —, дз' где з угол, отсчитываемый в плоскости, перпендикулярной оси Ь Так как вследствие поворота системы координат Ь ть ь относительно, например, оси 0 на бесконечно малый угол пп, аначения углов изменятся, то мы можем написать, что ур измеренный в единицах й. равен .(дз д дт д дф д1 (да да+да дт+да дф/ При бесконечно малом повороте относительно оси 0 на угол йс имеем: .л.=- и' — ",'дп, г = т~'На+С' (2) л = $' яп (<р + ~йр) яп (О+ сй) + + ъ~'соя(ср+ г1<р) ьйп(0+ Ю) +Чсоз(0+ Щ. С другой стороны, подставляя (2) в (1), получаем: я = 0' з1п ф з1п О+ Ч' (соя р вп О+ соя 0 да) + +Г(соа0 — соз~авпО йс).
(4) Таким образом, расстояние между колебательными уровнями уменьшается с увеличением квантового числа и. Энергия диссоциации равна Ьв 1АФ Е = — — + — ° 0 2 АД ' 13. В качестве параметров, характеризующих вращение, воаьмем углы Эйлера (О, ф, е). В этом случае координаты точки х, у, в в неподвижной системе свяааны с координатами $, и, " в подвижной системе отсчета следующим образом: 220 ОТВЕТЫ И РЕШРСИИЯ Сравнивая (3) и (4), находим: — = соа ~у, — = — Б1п ~у сф б.
дб дт Й5 ' Иа 5ГТ 51п б Поступая аналогично, имеем: — = —. Иа 51п6 ' Окончательно для 11 получаем выражение д д 51пб д1 .15 = — 1(соа ~5 — — 51п О С1п б — + — — 1. дб дт 51пб дф! Таким же образом находятся выражения двух других операторов д д созт д1 .5 = — 1 — Б1п ~у — — соа ~у с1К б —.+ — — !, дб дт 5!и б дф!' , д аг=— д'р Е,= —,1(1+ 1).
Каждый уровень вырожден (2./+1) раз по направлениям момента относительно неподвижного пространства и столько же раз по направлениям момента относительно самого тела, 12. Так как Й = —,Р+ — 11 — — — ! Р, то Е=- 1 " 1 г1 15 2А 21С А! 1 1 /1 1т = — 1(/+1)+ — ~ — — — !Д', ./,=Д !1115 1. В этом случае полная кратность вырождения уровня равна 2(21+ 1). Вырождение по направлениям момента в неподвижном пространстве остается по-прежнему равным (21+!). 18. созе Сии 1 б5/1 11 дяи — 2 —.. — — 5 — —,( — — — ~ — =Еи.
Мп50 дфдт ) 2 (С А! дтт 19. Поскольку с Р коммутируют операторы ) = — 1— д дт и 1 = — — 1 —, то собственную функцию будем искать в зиле дф ' Ф55гщ =- Йь,гм (б) селга"еелт, б 8) 221 МОЛЕКУЛА где Ме, 15 †проекц момента на неподвижную ось г н подвижную ось " соответственно. Так как ф и ~В входят в уравнение (14) симметрично, а 1тг (5, то ~МУ~ (Х рассмотрим операторы гд д г дт 50+5.1 = — 1е гт( — — тс1п0 — + —. — ), 1дб дт Мп 0 дт)' сед .
д г д~ 1- — 55 =- — те'т~ — +1сЬд0 — — — — ), (дб " дт 5ШВ дт)' (2) Легко проверить, что г (~е бгч)фал~ху=(15+1)Й вЂ” глч)фахме, т. е. выражение ()0 — 1У~)фад~ есть собственная функция, соответствующая аначешпо (й+ 1) оператора ./~. Положим й = 1, тогда имеем: (Уе — 5ЯФ ееме — = б. Последнее соотношение можно представить в виде ( ' — — — — ) — +дс1дб — — — — )"'4ееме(0)е' е е =О. д .
д 5 дб. вж 0 ьту дб д5 аж 0 д0) е55 пглг Ме †.Гспа 0 ,г +. шб (0„„,=О. Общее решение этого уравнения имеет внд (Мп О)' Йддх, =с ~"В ' ,г — ме ,г+ж,г (ч(0) =с(! — сов О) ' (1+соя О) или Поскольку функция (т должна быть конечной, то ~ МУ~ (Х Отсюда найдем обыкновенгюе дифференциальное уравнение первого порядка для определения Й,пгм ответы и Решения Для того чтобы определить функцию Пгл,тжз, рассмотрим действие на нее оператора Я+Ох).
л"ак как Л, Я+ Ц) й)тлтж =(тт — 1) Я+ тХч) йазжз, то (4 + 11ч) (4атжз =. аа(4а .тж . (4) Подставляя в (4) явный вид оператора (7;+т'.7ч) из (1), приходим к уравнению пел„д з — м, лтз + лш з (аатжз = 1ал()л-тхжт' которое после введения переменной х = созб принимает вид ттР т (х) тлг т — ттх )т 1 — хз + Ратж (х) = — талРЕ .т,тж (х), ах )~ 1 — х" где Рктжз (х) =- Йь~~ (атс соз х). Положив (з — жз) (а+И,т) Ретж, =(1 — х) а (1+х) а пложт, (б) найдем простое соотношение для определения оатж е" азж,т ' = — — 1а~тпл-т,тж . (6) Ранее найденные функции Рттж (см. (3)), лтожно переписать в виде (б) (,т — зг,т) (хежз) Ритм (х) =(1 — х) ' (1+х) ' оззагт* где через оттж мы обозначим выражение з-жт т+ ж,т оттжт (х) = с (1 — х) (1 + х) .
(7) Из (7) и реккурентного соотношения (б) вытекает, что пели =с' — — -((1 — х) т(1+х) " "). ,т (и ут-л й 8) 223 молвкэлл Следовательно, Фгене(О, ф, !)= г-ж~ аз~,у =сел"е ~г" (1 — созб) ' (1 +сов О) ' Х )( ( О) ((1 сог О) 1 (1 + соя О) при Ме = О эти обобщенные сферические функции переходят, как и следовало ожидать, в обычные сферические функции и представляют собой волновые функции ротатора: 1 Ее-г Фжго(О, с~)=сегвт ь е а (в!пге О) жпь О (и сов ОУг 20. Ны — Е Нш Н „ Н,о и, Нос Е Но- Н-го Н-ь Ны — Е О Н, О Нос Е О О И,,— Е Так как Н, г — — Нго то имеем: (Н вЂ” Е)(Нгг+Ег — 2НыŠ— Н,,) = О, откуда Е = 2 (А+В)' Е'= 2'(С+А)' Е = 2'(В+С)' Йы =++ -) (Р(1+ 1) — ~г~+ —, Ог/! !т Ьгег 41А В) 2с " Наг+я =- Не ьг в = = — ~ — — — )7 (l — й)(.l — 1г — 1)(1+!с+1)(1+4+2) Ог/! !ъ 21.
Лля асимметрического волчка вырождение по направлениям момента относителыю неподвижного пространства все еше остается. Вырождение относительно квантового числа л полностью снимается, таи что данному 1 соответствует (22+ 1) различных уровней. В случае у= 1 уровни энергии определятся иэ решения секулярного уравнения вида ОТВЕТЫ И РЕШЕ|ШЯ ьл — Ртт 5|п 0 ) з 4.с Гз — р' — соз 0 е 3 Фа=о, ь — Р "на 5|В 0 45 Гз — 1ть — Ей' (СО5 т+ | СО5 0 ь! П ь1ь) в~ 16' (,у З вЂ” т/ — соя тив 0 с (Ф|с=|„5+ +Фа=-с, ) /з — 1,ь —, е — й (сое ь1 — | соя 0 5|п ь|ь) и 16 /з — — еьв (сов 0 соя т + | 5|п т) пи 16 Гз — — мп05|п т и 8 с(Фа=с, ьл— — Фе- — |, )) — ту — е — Ф( — со5 0 соз 0+15|и т) сс т 16 .ь'= К+ 1, К, К вЂ” 1. 24.
Расщепление терна обусловлено взаимодействием спин в спин, Для определения искомого расщепления необходимо оператор взаимодействия спин †сп а(Зп)е усреднить по вращательному состоянию. При данном К квантовое число ь' принимает значения 225 ф 8) МОЛЕКУЛА Отличные от нуля матричные элементы (пЗ) имеют вид * к-г,т=к ° к У=к Г к+1 (пЯ), д и — — (п8)., = ав ° К 1,т=К К .1=К Г К (п8)к г.=к= Мке У=к= Ч' 2К+ 1 ' як — ..к 1,=к, ГК+2 (Ы)кн = -- ( й)к =, т' 2К+3 ' (.8) ": — -'= М"-';-'-'= „' " ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
