Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. в 4 раза больше, чем сечение упругого рассеяния на непроницаемой сфере в классической механике. 3. —;, = ~ ~~)„(21+ 1) з1гР 3, + ,Ео ат г=о асов а % ~ + дз УЕ (Е+ 1) з!п Зе Б!п Зев сов (Зеег — Зе)+ Е=О о 3 свая 3 — 1 ~т ~ Е (Е+ 1) (2Е + 1) + И 2 ~й1(2Š— 1)(2Е+3) Е-о + 2 яп Зе з)п 3~+я соз (Зе+а — Зе) ) + ° ° 3 (Е+ 1) (Е+ 2) Рлссвянив 239 ити ~Ел = — ~ ' (21+ 1) япз Вн 1 — х 45 %' о г-О О:Э ь СО5() (ЕО = — 7 (Е+ 1)51п Отз)п3ыысоз(Вр.г Ог) Зе ът О г-о СО ~ 3 созаэ — 1 4п ~т Е(1+"1) (21+ Е) Л .'З(2Е+ 1)(21+3) ш о Гьа 12е 'вч (Е+1) (Е+2) + и Ь 2!+3 "3 п3г+3 (Ог+ ~г)- 1=О 4. Радиальные функции подчиняются уравнению „+.,„ Е(Е+1) 2р,А1 л ( з даю) и должны удовлетворять условиям у (0)=О и конечности при г -ь со.
Удовлетворяюшее этим условиям решение имеет следуюгций вид: у =~гЕх(йг), где г (+2)+ Ез Из формул лля асимптотического поведения Ег()гг) находим фазы: О,=.— 2 «Л — Š— 2 )= — 2 ( ф/ (Е +- 2 ) + Еа — (Е + 2 ) ) . Независимость дг от и означает, что амплитуда рассеяния .Е(3 4) =-,'~ (3) где Д(0) не зависит от энергии рассеиваемых частиц.
Сечение рассеяния ~И = — 1Л(б) 1'г)й ооратно пропорционально энергии и характеризуется уни- версальным угловым распределением. 24О ОтвРты и Решения Поскольку при 9 -+О сумма, определяющая амплитуду рассеяния У(П) = — ~1 (21+ 1) Рг ( 5 Ы (е ' — 1! 5-5 расходится, ясно, что для вычисления Г(й) при малых и существенны большие 1. Для больших 1 имеем: ПИА — 'г= — (21+1) ГД «' откуда У(В) — ) )(21+ 1)Р,(соаб)В,ж 5Ч5А к ~ «пи А — — т Р (соя б) = — — ', 65Л Ь Г ЛЛ5 .. 0 5=о 2 5П1 —, 2 9 том случае, когда —,„, СС1. ЗИА выражение (1) для 6, справедливо при любых 1 и таким образом для всех 9 йиА .у()= —,, 2 5!П— 2 ваИА5 Э ~ — 2ЛЯЕ б.
Амплитуда рассеяния в борновском приближении имеет вид у55.„(п) = — —,. ! 555'И(г)5Ь =- — — ' ЯИА 2ЯУ ! П5л ' где 5) = й — й, ~у = 2А 51 п —. 0 ''2' Отсюда е55АА Э 5Й 241 рлссзянив В классической механике связь между углом рассеяния и прицельным параметром р имеет вид ззер згг и — Э Гз 1/ 2И (Š— (з') — ( — ) где ге — корень подкоренного выражения.
Производя интегрирование, находим: ре А 1 (зз — Э)2 ЕЭ 2и — Э" откуда езр 2гяА и — Э зЬ = — 2пр — сззй = — ' ' 2(Ь. з)Э Е 82 (2зз — Э)2 При выполнении условия — ! 8рА йя борновсиое приближение примеззилзо для всех у~лов (ср. с предыдущей задачей). В обратном предельном случае, если —,~)1 класси- 88А йзн ческое выражение применимо для не слишком малых углов 2,2 8~А ' а для меньших углов 88.4 ' справедливы результаты расчета в борновсном приближении.
6. Для радиальной функции имеем уравнение Х"+М(Е+(Усе ')Х=О Х + — Х + 4пе( 2 + ') Х =- О 18 зяк. !ззе. и. и, гвяяянян, В. д. ярнввямквв Введем обозначения яяз = — , 2ззЕ )й * зависимой переменной выберем чающегося при атом уравнении ее= —, и в начестве не2рзУв Эв Э=Е 2н. РЕШЕНИЯМИ ПОЛУ- 242 отввты и Рвшвния являются бесселевы функции мнимого порядка Х=У22 и(2ах(). Условие обращения Х в нуль при г=-О, т.
е. при (=1, приводит с точностью до нормировочной постоянной к выражению Х а У ь»22(2ах)./222»(2ах2»»» — /хаа»(2ах) / 2аи(2ах$). (1) Асимптотический вид функции Х при г-+со ($ — 20) 2аИ!»а» е — 2аИ 12 а» Х=-./ 2 д,(2ах) 1,(2 +1 е '2" — УхаИ(2ах)1,( 2 + а'2». Коэффициенты при е-'"" и ее"" можно рассматривать как функции комплексного Ь. Если их обозначить через и(/2) и Ь(Ь), то, как нетрудно убедиться, выполняются соотношения а( — /2) =- — Ь(Ь). а'(Ь) = — Ь(Ь) (при взятии комплексно-сопряженной величины Ь не заменяется на /2*).
Запишем асимптотическое выражение у в виде Х = А (е-ш'-ы — е'"" »2) =-- — 2/А сап (Ьг+ ае). Фаза рассеяния ае определяется из соотношения 222 222»( ~х) ( Л + ) — »аИ!»а» ./ Бди (2ах) 1' ( — 2аИ + 1) Связанному состоянию соответствует чисто мнимое значение /2=1/2„(в этом случае энергии отрицательна). Лля Ьа > О коэффициент при е '"'= е"а" в первом слагаемом асимптотического выражения для Х должен обращаться в нуль. Таким обрааом, либо /х„вв(2ох)= —.О, либо 1 =- О. Из второго условия следует: 1'(2ааа + 1) 2а/га+ 1 =.- — и (л = — О, 1, 2,,), т.
е. А~а„йх(л+!)2 2И зяаа однако при этом индексы бесселевых функций становятся ЦЕЛЫМИ ЧИСЛаМИ И, таК КаК ./2(Х)=.(. - !)"./ 2(К), Дза РЕШЕ- ф Ц гассвянив ния оказываются линейно зависимыми и волновая функция (1) обращается тождественно в нуль. Поэтому полученные уровни энергии являются фиктивными. Первое условие дает истинный дискретный спектр задачи: йаах .(газ (2ах) = О, Еа = — — ". Таким образом, нули выражения ео" 1"1 лежат на мнимой оси и, помимо значений (за, соответствующих дискретным уровням (2), содержит лищнне нули.
(ал Р ло аоло ~мпо — + —.~ 2 ~~4 б) ~(а = 1'З о е ач з Щ 464ао (7ои ( — „.-,), 16нхЦо ао (и (аз+за)о" 64а ИМ7о 16И + 12аоао -1 3а4 3 64 ао (аз+ 4ао)~ (2) 9. а) Вычисляем атомный формфактор для водорода ае 1' 1аа— 1 Р(д)= ~его" п(г)Ж= —.,~ е а ~И= (=- да о =- †, †боровск радиус). аео Отсюда находим дифференциальное сечение г(а =- 4а' (8+ 4ааз)о Г 6 1 (4+ ~оаа)4 '1 2 / ,(о ~~6 —. 2)1 з(п ) (ц и полное сечение (га ~~ 1, 16* аа- 7лоао+ 18еоао -1.
12 3 (Лзаа+ 1)' Условие применимости бориовского приближения принимает в данном случае внд 244 Ответы и Решения поэтому последняя формула упрощается Ул зл (2) б) Для атома гелия распределение плотности электронов, найденное с помощью вариационного расчета, имеет следующий вид: 23 2 1П 7а лаз ' 27 Дифференциальное и полное сечение упругого рассеяния на атоме гелия в этом приближении имеет тот же вид, что н для рассеяния на атоме водорода.
Нужно лишь в формулах (1) и (2) заменить а на Ь и ввести общий множитель ла=4. В частности, 28л 0= —, ° злл ' где г1+га й=,, р=к~ — Фы При замене г, на га функция 1~(Ю), описывающая движение центра тяжести, очевидно, не меняется. Таким образом, волновая функция относительного движения двух частиц должна быть четной ф(р) =ф( — р) в том случае, если суммарный спин 5 четен, и нечетной Ф(р) = — Ф( — р) если спин 5 нечетен. 1О. Волновая функция системы из двух одинаковых частиц имеет вид произведения орбитальной и спиновой функций. Независимо от того, является лн спин частиц целым или полуцелым, четному суммарному спину соответствует симметричная орбитальная волновая функция, а нечетному— антисимметричная.
После перехода к системе центра инерции и отделения переменной центра тяжести орбитальная волновая функция принимает вид 245 Рлссвянив Невозмущенную волновую функцию можно записать в виде ф(р)=е~М+е 'М, (1) если 5 в четное, и ф (р) = е'юч — е ще (2) если Я вЂ нечетн. В результате взаимодействия частиц возникает рассеянная волна — е'лг, где Ь вЂ уг между Р(Ь) св г Йе и направлением, в котором разлетаются частицы в системе центра цнерции. Амплитуду рассеяния можно выразить через амплитуду рассеяния частицы с массой. равной приведенной массе обеих частиц в поле У(г). Действительно, ф(р) удовлетворяет уравнению ~ — — (А„+ Юа) — (У(р) ~ Ф(р) = О. Если падающей волне е~":г соответствует у(В) га — ег"г, то для падающей волны (1) г Ре(Ь) = 1(и)+ 1(п — Ь) (спин четен), рассеянная а для (2) Г, (9) = У(9) — г'(я — 9) (спин нечетен).
изе =-1У(П)+У(, — 9) Р. кХа = — ) ((9) — ((я — Ь) ~а. Амплитуда у(п) выражается через фазы рассеяния Ь, по формуле У(9) == — У(21+ 1) Р, (соз й)(е~ т — 11. 2И .й.4 г-в Принимая во внимание, что Р~(соз(я — 9)) = Р~( — сов й)=( — 1)~Р~(соа9), Вероятность рассеяния одной из частиц в телесном угле дЯ (при атом другая частица движется в противоположном направлении). отнесенная к плотности падающего потока: 246 ответы и Решения находим: Ро(П)=4 Х (21+1)р,( ° 'Игме — 1Ь четные 4 4 (й) = — —. ~» (21+ 1) Р (соз й) 1еамю - — 1).
нечетные 4 1(ля медленных частиц наибольший вклад в рассеяние вносят малые 1. В случае четного суммарного спина сечение (как и при рассеянии различных частиц) сферически симметрично и не обра4цается в нуль при й-+О. Если же суммарный спин нечетный, то сечение определяется членом с 1=- 1.
Поскольку 64 лмч 4 для малых волновых чисел и, сечение обращается в нуль как Еа (при Е-+О) и имеет угловую зависимость — созаб. !1. В случае кулоновского поля амплитуда рассеянияе) -4-"-'"1'+ л) г" (6) = — е 2ЛЯ а4па— е 2 Г(1 — — ') Х/ Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, находим дифференциальное сечение рассеяния в случае четного спина 41ао —— — 1Пп)+ г (и — й) 1а 4414 = /2 61 2 соа ~ — 1п 1й — 44 1 а! Я4 — СОае — и! Па — Соаа— 2 2 2 2 Эта формула дает сечение рассеяния а-частиц, у которых спин равен нулю. В случае двух злектронов возможно состояние с суммарным спином 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
