Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1В Внк. !Уаа И. И. Гюнькнвн. В. Д. Крквнвнквв ОтВеты и Рашансся Так как шаровые функции 1; равны 1', = —; )'со — — ьс — сов 9; У = огс — яп Во!о, то дифференциальное сечение запишется в виде Ао — =А+Всозб !-Ссозоб, Ж где коэффициенты А, В, С равны А =-4-! !ао! +!ссс! +!рс! —.(асрс+асс!с)); В = 4 !2(аеас+аеас)+(ао3с+аоус)); С 4 с!ас ! +(а с +асрс)с Чтобы выразить коэффициенты А, В, С через фазы, вос- пользуемся тождествами !ее' — 1 !з =-4 знрх; (еосе — 1)(е-есэ — 1)+(е-ос* — 1)(ее!э — 1) = =- 4 (з!ссо х+ з!по у — япо(х — у)!.
Тогда: А (Р+ Р+) = япз Вой+ япо (В;!+ — Ь" ,); В(р+, ро) =За!поф+2 з!поВЧс +япоЬЭ — 2 з!пе сЬч — Ь'в ! — япо Йчс — В'/с т; (2) ( о с+) ( о с-,с' С (р+, р+) = 3 12 э! по Ьч + я по Ьч — з!по (Ьч — Ву ) ! . ) Указанным способом легко подсчитать коэффициенты А, В, С для реакций (р-, р-) и (р-, по). Приведем лишь окончательные результаты: А(р, р )= — яп ВоО+ з!п Воа з!п (В~! Ц)+ + — зсп (Вссс — Ьс*) — — зсп (Всс — Ьс) ) + + — яп (Ь1' — В,о)+ — яп (Ь,!' — Вс')+ + — з!п (Ьс' — Вс+) — — з!п (Вс+ — Вс!4); Рассеянии В(р-.
р-) = 5!п'В",~'+2 яп'Вд+ — 5!пи 31»++ 4 .5»д ! .2«Ь 2 5»1«2 .119««1«1 + — 51п В, + — 5!п Ь,'+ — 5!п В, — — 51П (В,* — В,+)— З -' З вЂ” З вЂ” 9 — — 5!Пз Я' — Ь~+) — — я пз (Ьед — 3,»«)— 9 9 — — 5!и (30' — 31 ) — — 51п (Ле — В1+) — — 5!и (35 — 31+)— — — яп (Ьеэ — 31!') — — 51П (Ье'« — В',Д ); С (р-, р ) = 2 яп 3)1+ + 4 я п~ 31+ -~- 5! п~ 311' -)- + 2 яп' В',1' — — 51п'(В,~+ — 31~+)— 3 — — 5!п (31+ — 31 ) — — 51п (31+ — В1 )— — ! 51П (ВД вЂ” В!«) — — 5!п (31«+ — 31»- )» А(р-, пе)= 2 (5!пз(ф В'.д) ) 5!Пе(311» ф) ~ — ! 5 (ад — 37')+ 5!п'(а" — ф)-( ! 5!п (В',1.
31л)). В(Р, пе) = — ) — 25!»» (В~' — ЬЛ)+ 2 ~ш~(3~9 — Ь',!')— 9 — яп (319 — В,!')+5!Пе(359« — Ь',!') ) + 2 5!п (Ьзл — 31~+) — 2 5!п (В;!»' — Ь'"+) +5!п (Ьеу — 31») — 51п (Вы — 31«))» С(р-, ие) = 2 )5!п'(В,",— Ь*;)+5! ~(Вй — 1п (Ьу+ — В,' )+ яп'(В',1*, — 31 ) Яп'(37', ВЧ И. (4) Полученные результаты имеют большое значение при изучении углового распределения рассея1ая и-мезонов на протонах. Экспериментально можно проверить формулу (1) и определить коэффициенты А, В, С для реакций (р", р+), ответы н Решения т' 0'2 9=~ / для з.=:= — '/.
2' ЫП Если вначале протон имел з, = '/2, то амплитуда рассеяния запишется в виде /;л =У"„„а+/„.,2 и если вначале "з,= — '/, то амплптула рассеяния / ... =у,,„а+ /а-з. (2) (р . р ), (р . ае). Тогда шесть неизвестных фаз 32~*, 3д', 3,~.'„, 3,~', 32~ю 621 определяются из девяти уравнений (2), (3), (4), которые оказываются совместными.
Однако вычисленные фазы обладают неоднозначностью двоякого рода: во-первых, вследствие того, что в уравнения (2), (3), (4) входят квадраты синусов фаз и разносте11 фаз, последние определяются с точностью до знака; во-вторых, имеется несколько различных наборов фаз, удовлетворяющих опытным данным. Из них лучше других согласуется с экспериментом решение Ферми. в котором наибольшей вклад в рассеяние вносит фаза 6,~-",, проходящая через 90" при знергии мезона Еж!95 Мзв в лабораторной системе координат, а фазы 32'. 3/+, 3а малы. Имеется ряд дополнительных критериев, позволяющих устранить указанные неоднозначности. Знаки фаз можно определить из соображений, основывающихся на принципе причинности, а также из опытов, специально учитывающих кулоновское взаимодействие.
В выборе правильного решения могли бы помочь опыты по поляризации нуклонов отдачи, но в настоящее время они еще не поставлены. Ожидаемые величины поляризаций для реакци11 (ре, ре), (р-, р — ), (р-, ае) определяются в следующей задаче. 27. Рассмотрим подробно реакцию (р+, ре). Пусть спиновые функции протона: 9 9] Рассеянии Здесь /,„, /за — амплитуды рассеяния без переориентации спина и /'„г, /В,— с переориентацией спина. Амплитуды у",„ и у', определяются из формул (б) задачи 23 99 как коэффициенты при столбцал~ / и~ /„причем берутся только 8 и Р-волны ./..= — ~ У + — (2 +~)У,~, 1/я 1 1 И '1 )/З /, В =- — 1à — ф, — а,) Уп, (3) (4) где пе, аы ~, даны в задаче 2б и 9.
Пользуясь выражениями для функций Паули при лг/ — — '/з, легко получить: ув.= и 1' з("г Увв /аа' Если считать, что и-мезоны рассеиваются в плоскости хх, то полярный угол о = О, и следовательно: /ю Ува' Так как вначале протоны не были поляризованы, то из формул (!) и (5) следует, что н после рассеяния они останутся неполяризованнымп вдоль осн х.
Можно показать, что после рассеяииня поляризация протонов в плоскости хх огсутствует. Действительно. спнновые функции протона тя и Вл. соответствующие проекциям спина'/з и — '/з на ось г', проведенную в плоскости хл под углом О к оси л, имеют вид (см. задачу 19 9 4), Тогда амплитуда рассеяния на протоне с з = — — '/з (см. (2) ) /,л — — — /~„а+ /,„9. (5) ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Тогда .уу =у..а+у.,~= =(у соз — — ) з 51п — ) та+(У 51п — + у соз — ) 31', у, = — г,за+у'„,р=— = — (г 51п — +1дзсО5 2) уз+ (у соз — — 1„5 51п — ) Вм т.
е. поляризации в любом направлении в плоскости хг нет. Однако протоны будут поляризованы вдоль оси у, перпендикулярной плоскости рассеяния. Чтобы найти величину поляризации, выразим ); и г, через спнновые собственные функции соответствующие направлению спина вдоль и против оси у. Тогда У,,,— К. ~АЕ) Т+ — К.
+(1'«з) 3* + ~ — (~-+ Отсюда получаем: В'.Р— ! У вЂ” (у„е Р; К вЂ” ~У,,+ 1У,а Р. (б) где 1Р' н В' †вероятнос того, что спин после рассеяния будет направлен соответственно параллельно или анти- параллельно оси у. Заметим, что формулы (6) справедливы независимо от первоначального значения е, протона. Подставляя в (б) выражения (3) н (4) для у„, и )'„., получим: Ве ~а +(2а1+31)созб:,1(31 — а1)51п6',а, или В'е — ~(е ' — — !)+(2е 1-1 — 3+е ' )созб:т — 1-1(Р 1+ р 1-)51лй~ . ф 9) РАссзяник Подобным же образом получим для реакцид ~р-, р-) и Ср, ) »»»'» ф~ (р- р.-) ~~е "»» 3 ) 2е 'О /+ з»-'а »ч» я и» з»»у» +~2е ' " — 9+4е '++е ' + 2е '-/соя б-+- я»~2» яй» ама 2»»а» -с~е '++2е '" — е '- — 2е '-/соз6~", » а'~а~ зм» з»мч ям» а»чЪ ~ +~2е '~ — 2е»++е ' — — е '-)соя б ч.» аи~' Зй»~ 244~» й'» 1 -)~,е '+ — е '+ — е ' — +е '-)з!пЮ~.
ПРИЛОЖЕНИЕ ! Ряд задач квантовой механики решается в квазиклассическом приближении. Но квазиклассическое решение справедливо лишь в области, достаточно удаленной от точки поворота, которая определяется условием: Ъ'(х) == Е. Так как квазикласснка дает решения лишь справа и слева Рнс. 32. 1 а . ( =з1л — ~ рдх+— — ~ б,! х 6,= 1 и ! — -л ~ !л14л (21Й для х 'а, (1) для х ~ а. (2) Для потенциальнон функции Ъ'(х), показанной на рис. 33, от точки поворота, необходимо асшить» их в этой точне, чтобы получить решение во всем пространстве.
Если потенциальная функция Ъ'(х) вблизк точки поворота ведет себя, как показано на рис. 32, сшитое решение имеет вид пгиложвния решением будет . !'1Г я — вш — ~! рс!х+- для х~а, (1') е — — ) !я!ае Г ! 2 )г1р! для х с. а (2') (см. Ландау и Лифшиц, Квантовая механика, Гостехиздат, !948). Пользуясь этим, найдем такое решение одномерного уравнения Шредингера 1,в ль) — — — +-1'(х) Ф = ЕФ, 2а аМ которое слева от точки возврата (см. рис. 32) переходит в квааиклассическое решение вида х вй" !'р Для этого необходимо найти другое решение, линейно не- зависимое по отношению к указанному решению (1), (2). Будем искать его в виде ! 11 Г сов — ~! рдх+— у р для хс.а, (3) — „) !ю!а "г" !р! для х > а.
(4) 1 !1 = —, =сопя!. фв Ув! г!апишем определитель Бронского для нашего случая. Для определения с воспользуемся тем, что для уравнения Шредингера 270 приложения используя решения (1) н (3) 1 . 1 Г )р / п~ — 51п — ~,0пх+ — — соз — ~ р их +в О а соз --1 п<2х+ — ' — з1п — ~ раях+†(Дифференцирование достаточно производить по аргументам ~т('Чр) тригонометрических функций, поскольку — ~( 1.) пх Аналогичным образом получим, что в области х~ а, т. е. для решений (2) и (4), определитель Вронского Из условия 1Г(х <" а) = Уг'(х ~ а) находим, что с = 1. Искомое рещение получаем как линейную комбинацию функций ф, и фз: г1— ф=(ф -1ф,)е Окончательно имеем: С ) ре* для х Са, для х~ а.
Теперь найдем такое решение одномерного уравнения Шре- дингера йз ез,~ — — — '+-Ъ' (х) ф = Еф, 2И зле 1 л — е 1 )!Л! Г Г К |р)а~х в — ' — ) ) р! сш а у— а, л3 а 2 У(р1 ПРИЛОЖЕНИЯ которое слева от точки возврата 1см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
