Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда дифференциальное сечение 1 =-1Х(п) — Х( — 6)Г= 2сое( — 1п4а — ) $ 4А44 а ) а,в а ~ а!Яе — СОЯ4 —, Мпа — „соеа — ! 2 ' 2 ' 2 ' 2 *) В кулоновских единицах. й 9! Рассеяние 1 3 ~Й Иер + ~Ь 4 4 1 1 1 =4. Э+ ! Б!Пз — соз 2 2 -!-'""-) ~ 2 Э Л 2 Э Э з1па — созз— 2 2 Последний интерференцнонный член в фигурных скобках характерен для рассеяния тождественных частиц.
При Ь-+О формула для 0а должна переходить в классическую формулу Резерфорда, которая для системы центра инерции имеет вид Переход к этой формуле происходит необычно. При ез выполнении условия †«» 1, когда применимо классическое Эп рассмотрение, интерференциониый член, имеюшнй в обычных единицах вид /2сл Э З соз ! — !и !я — ) ' 1Ьо 2) а!па — созз— аЭ Э 2 2 Если рассеиваюгциеся электроны не поляризованы, то возможны три значения проекции суммарного спина вдоль некоторого направления ас 5, =О, 5,=1, К,=- — 1 и два значения полного спина 5==0 и Я= 1. Вероятность каж- 1 1 1 дого из значений проекций Ю'., =- — .
Юе †††, Ю вЂ” з=-4 ° о=2' +' 4' Значения 5, ==-+ 1 или 5, = — 1 соответствуют непременно полному спину 8=1. Поскольку различные значения проекции для о = 1 равновероятны, то вероятность 5, =- О при 1 полном спине 1, так же как и для Я =- +- 1, равиа — . е 4' Таким образом, вероятность того, что полный спин Я О, 1 1 3 равна тле — — = —, а аероятность 5=1 равна —. По- 4 4' 4 ' этому для неполяризованных пучков электроноз отняты н Решения быстро осциллирует. Таким образом, квантовое дифференциальное сечение для строго фиксированного Р существенно отличается от классического даже для больших значееа ний —. Однако при усреднении по небольшому интервалу во йп углов Ю вЂ” интерфереиционный член обращается в нуль ет и квантовая формула переходит в классическую.
12. Среднее значение оператора (й„п ) в состоянии, характери- зуемом спинозой функцией равно (а„йв) = созе р — яп' ~). Таким образом, для сечения рассеяния находим выражение е =. я ( 3('+ (~ — ((„' — ф соз 23 ) или е еттьпл + еОяпГл (ет! илл есйиГя) ~ ! 3 т, л 1,,„„соя25 В случае неполяриаованного пучка нейтронов сечение равно у!ичл+ Ееиьгл 3, ! 4 4 поскольку соз2!! = О. 13. Спиновое состояние нейтрона и протона до взаимодействия описывается функцией Эту функцию разложим по спиновым функциям синглетного 250 ответы и Рвшвния где 2р †уг между направлениями суммарного спина двух протонов и спина нейтрона. Если пучок нейтронов не поляризован, то среднее значение сов 23 по смешанному ансамблю равно нулю и ео примет вид вето == я ( (у + Эу)а+ 2(уа — ()в ), а отношение сечений будет равно — == !+2 1Б.
Радиальные функции, удовлетворяющие граничному условию ул(а)=0, выражаются следующим образом через бесселевы функции: ул — — г' г ~3 ! а(ла).)гьч,(лг) — Лььч,(ла)Я ! л(аг)!. Из формул для асимптотического поведения бесселевых функций находим фазы рассеяния Отсюда полное сечение упругого рассеяния С 2 .г,, „(ла) а = — „' У„(21-) 1), + '", — 2яаа. 17. На больших расстояниях от мишени (мишень состоит из скалярных частиц) волновая функция падающих частиц имеет вид "" ~о) =Ъ-,2~ ч '(2'+ !) (О) ~'г(-зй)Х 3-в ~ -1(ь. - "—,') 1(л - '~) ~ Разложил~ функцию ( т!Рг(созй) по собственным функциям /1! 251 Рлссеяннв оператора А В результате разложения получим: ( ) Р,(соэ М) = " ( ) Уьт(й) = г- 21 1(~ +~ Здесь через '1'1" н Ч7 мы обозначили функции Паули (см.
задачу 20 $4). Подставляя (2) в (1), имеем: В результате взаимодействия изменится только расходяеаь» щаяся волна— г Так как при любом законе взаимодействия этих частиц у~, Р и еаа будут интегралами движения (см. задачу 39 э 4), то изменение в общем случае будет различно для состояний с различными квантовыми числами /, 1. Для рассеянной волны получим выражение следующего вида: 252 отввты и вешания или еВг Г'е т~ 1 г И Л~ )Г21.1 1 г=-а Х ((,') Гм((В+ 1) ( ~,+ — 1)+1( 1,. — 1)1+ (,) )'м ( ~; — 1;)~.
Отсюда видно, что переориентация спина частицы может произойти в том случае, когда т~+ ть тй . Выразим сечение рассеяния через ~+ и т1-. Дифференциальное сечение рассеяния с изменением поляризации аЪ, равно 4 Ът / т 11+ 1) (~а = — р„~г (т1+ — т1 ) У сИ, г-о а сечение Ива без изменения поляризации равно Когда относительная скорость частиц не велика, нужно принимать во внимание рассеяния только 5- и Р-волн (~41+ — 1~ ~(1, 1т1- — 1~<~1, если 1~ 1). В этом случае 1 4е = — (тв — тв ) з1ва й с1~, 1 4лг аея —,1соз11(2т1; +тч — 1)+ Че — 1 ~ аЯ. 1 Из выражения для Нс, видно, что частицы.
изменившие ориентацию спина, рассеиваются главным образом в направлении, перпендикулярном оси а. 19. Поскольку )т' > 3., то можно применять квазиклассические соображения. В ядро попадают все частицы с 1 ( —, И 9 9] Рлссиянив следовательно, тя — — -0 для 1(--, Л Х' гс та =-1 для 1> —. )' Подставляя значение тя в выражение для полных сечений а„=- иХз .~, (21+ 1) (1 — ~ тл ~'), е, = пХз ~ (21+ 1) ) 1 — ть )е, имеем: л х ае = а, = и)1 .~, (21+ 1) иКа. 1=о Таким образом„полное сечение з =а„+о равно удвоенному геометрическому сечению ядра. 20.
Во всех трех случаях распределение изотропно. 21. Собственные функции оператора У, для системы мезон — нуклон записываются как всевозможные произведения функций ~у и 6. При этом, о относится к различным зарядовым состояниям мезона (иь, ~ум у ), а ф — нуклона ()л, („). Всего таких функций будет шесть: (Р ) =;лог 1 Уя =:— 2 0' )=-:Тз'Ь 3 У= —— 2 (р-)=~ ф„ 1 1 2 (ля ) =- у„фя 2 (а ') ==1 6И 3 2 (и ) = тлея 1 т' ==.---— 2 Здесь (р') обозначает функцию системы, составленной нз из -мезона и протона; (и') — функцию, составленную из и+-мезона и нейтрона и т.
д. Эти функции, вообще говоря, не являются собственными функциями оператора квадрата полного изотопического спина системы Р. Собственные функции Р, одновременно принадлежащие заданному У,, будут линейными комбинациями из вышенаписанных функций, взятых с козффицнентами Клебша — Жордана.
254 отняты и Рвшвния 1 ш 2 1 ш =— 2 У+-М+— 1 2 2)+ 1 1 !' — М +— 2)+ ! 1 у =-.!+— 2 У+М+ —, 2 1 2)+ 1 1 У=/ — —, 2 В нашем случае М =1„! =-1, ш'=-т,. Пользуясь этой таблицей, получаем собственные функции Фт~ операторов Р и ),: Ф,ь — — (1т+) ч =Ф з(~')+Ф з(" )' Ф 'ч,= — ь' — (р )+ ь' — ( ) -з1'3 Ф!'*а=(и ), !г з (" )+У з (" ) Ф,= — — 1~ — (р )+ у —.(и ). -а — 1/ 3 У 3 Отсюда легко выразить собственные функции системы ме- зон — нуклон через собственные функции Р и У,.
Они оказы- ваются равными: (Р ) =Ф*;, (л+)=- ~ — Фч,'+ ~ — Ф,';, Г Ф , Г „ ,„,, Г Ф , Г (р-) = ~~ — ФЪ~ -- у — Ф ~ чи (л-) = Ф '"т„. Коэффициенты Клебша — Жордана для и'=-+ г/а имеют вид (см. задачу 20 э 4) Ф 91 Рлссвянив 22. Разложение падаюшей волны имеет вид ф = ееы !1 ) Ь(и — е!) Ь(п — т ) = 11 ! ~о) ! в е11 Мп (гт — — ) -г, '(2В+ )Р(со О)(,,) (- —.!)И вЂ”.) 23 1-о е1 з!и (Й" — — ) =2~'и ~!'„~!ис,'ф,т!!у'й+1у!е~ —,') — 2, (!) 1-з г где Сга — коэффициенты Клебша — Жордана, определяемые г. из таблицы (2) Г! 7а 2 3 . Здесь мы учли, чго (см. задачу 2!) 3 (н — и!) О(и — т,) = ~, Сг~'мРг ~. е л Введем функции Паули для т1= "/а (см.
задачу 17 9 9): и разложим по ннм Г!р~ ): /11 I!1 ! У„( ) = — — ()/'1+ 1Уге+~7У„-). (З) ~о) ) ч-+! ответи и вешания где и :,' обозначает конечное состояние нуклона. Тогда, полагая: У =-У';3( — ч) 3(п — е.)+ +У; 3( — а) 3(п-+т). получим: где О а, для требуемых в задаче реакций даны в следуют щей таблипе: р — > ла Р -'Р Подставляя зги значения 0 '~, в (4), окончательно полу- 1 Реакция Р+ б% та 7 ~ 1 3 2 3 ) 2 3 ~М 2 3 Рлссаяние чаем ОР 8/ 1(р+, р ) — ~~~„1')г7+ 1УДе '+ — 1~.+ г-о +)/7Уг (е г- — 1)~, Др-, р-)= ® )~~'гу'Т+1Уо+(е ~++.2е г' — 3,/+ г о +ЯУг (е г' +2е®~- — 3)», Лр ° но)= 3 Хг)г/+1Уг ~е + — е т,/+ г о +ЯУг (е ~- — е Г-у).
(б) Реакция р+ -~р+ 3/2 1/2 2/3 / ЦЗ 1 )г2/3 ~ — )~2/3 ро -+ и+ 2/3 ! <1) 2гв ЦЗ ! — Ц2 ЦЗ 6 Цй — 1/2 ~ 1' 2/3 ~ — )г 2гЗ ! „о,.р- У 2/3 ~ — 1 "2/3 — Ц2 ~ 2/3 — 3/2 1/3 ло,. ло ь„ 24. Таблица коэффициентов О о~ для всех вовможных Е ко реакций мевонов с нуклонами имеет вид отняты и гвшвния Так как фазы не зависят от г', в силу гипотезы об изотопнческой инвариантности, то из таблицы (1) и формулы (4) задачи 23 $ 9 непосредственно следует; 1) У(р'.
р") =У(~ ° ). 2) у(р-, р )=у(п+, и+), 3) у(ро, и+) =- У(п+, ро) = Я(р-, ио) =.Дио, р-). 4) Про, ро) =Ппо, ио), Выражения для первых трех амплитуд даны в задаче 23, Из таблицы (1) легко видеть, что у(ро ро) ~ (г(р+ р+) ).у(~- Пользуясь таблицей (1), получаем: 1) У(р+, р+)= — $(п-, и-)=У""lч 2) /'(р-, р-)=У(п+р п+) = — (У'"а+2~41, 3) У(ро. и+)=Я(и.", ро)= 3 =$(р п')=Х~Ф* р )= — У" — У -1 4) Яро, ро) =У(по по) (2~чъ+~ л) 26. дифференциальное сечение рассеяния: — =1Яа. где иЖ=з1пбдбоЪ. па иы Полное сечение рассеяния: 2» й =У У! Лев!и Ь ЛЬДА, о о Подставляя свода амплитуды рассеяния указанных реакций, найденные в задаче 23 и учтя ортонормированность функций 261 Рлссвяпив Паули получаем: е (Р+, 122) = — ~)»(1+ 1) я!22 а"/, +12!ва 29, » 2-2 '(Р Р) = за2 ~~~~ »(1+ 1) Х 2=2 +1»2!ппВ~ +22!цкВЧ вЂ” — а!па(йчк ач' Е, О (Р ~ ПО) = 1»(1+ !) ащ2 (йтв — аок )+ 1 22П2 (~тн у )» 2-2 26.
Дадим подробное решение для реакции (р+, Р+). Амплитуда рассеяния для 8- и Р-воли имеет вид (см. задачу 23 9 9): У(Р+. Р+) = —, »ао)'о + 3 2 а, У,++ р,1', », где ао е о — 1; а,=.е '+ — 1; рк=е ' — — 1. Тогда дифферепциальлюе сечеиие рассеяния для 5- и Р-воли равно (здесь учтены явные выражевия для функций Паули (см. задачу 22 5 9)) — „,; =! уш!'» !'+ )гз +» У,.»'»4» "»'-+».'- »'+2( 9:+'.~,)»+ + 2» уы»' »», »'+» 9, »' — (,ч,*+ ",ч,)».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
