Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 14
Текст из файла (страница 14)
т. е. фм1 ааф11+ 2аагф(г + ()афаа ф(ма = а)ф 1+ (аО+ ~,) фза+ Мьаз, ф~ — уаф11+ 27Оф(а+ Оафеа. Или, заменяя компоненты спинора через компоненты спнно- вой функции согласно (3), получаем: ф(=а ф,+)/2аЯВ+ )1'ф „ ф =1/2 уф,+(ай+17)фа+а Фйф ф'-1 = 7'ф(+)/27~фе+О'ф 1 Подставляя в написанные соотношения значения коэффициентов з (т+Ф) О „. О а (Р-Ф) а=ез соз —. (1=-(яп — ° е' ' Π— (т — Ф) — (т+Ф) О ( 7=(яп — ° е а, о=-е з соз —,, 2' получим вырамсеиие (2).
17. Чтобы найти искомую вероятность, воспользуемся формальным приемом, который закл(очается в том, что вместо частицы с моменгом /' можно рассматривать систему, состоящую из 2/ частиц со спином '/а. Поскольку по условиям задачи проекция момента частицы равна /, то в эквивалентной системе из 2/ частиц все.частицы имеют проекцию спина на ось з, равную +'/,. Вероятность проекции спина +'/, (или — '/) на ось я' каждой такой частицы равна созе — (1или з(па — ~ (см. задачу 9 О 4). Для того чтобы 21 2/ значение проекции полного момента этих частиц на ось г' Ц МОмент кОличестВА дВижения. спин 121 было равно л2, необходимо, чтобы у+л2 частиц имели проекции на ось е +'/2, а остальные/ — лт частиц — '/2.
б 2+и Искомую вероятность ев(2н) получим, умножая (со52 — ) 2/ ., в4-" ~~5!Па — ) на число всех способов разбиения 2/ частиц на две такие группы, т. е. на... Итак, (2/)! (/+ т)! (/ — Вч) ! ' (2/)! В,(+12 а У - ю тл(гн) = . + л . (Соз — ) (5!П вЂ” ) +у Легко убедиться, что ~~~~~ ш(т) = 1. 18. Состояние системы с моментом 2' будем описывать симметрическим спинором ранга 2Л Длн решения поставлен- ~ — !- — и — — ~- .4 Рнс.
23. ной задачи нам нужно установить связь между компонентамн У+и Х-Ж Х+Ж Х-Ж ф11...122...2 1~11...1Ж...2 Из рассмотрения рис. 23 легко установить, что ,г+м л-ж 1,11! 22- 2 <У+М')! (У вЂ” Мт (Щ г~-м г-ж хХ (2)М'- М+ м ( ут+Ж- ~ (ауà — Ж'-2 (2у)! т 2 Л,н ...122... 2 «! (11!' — Ь! + )! (!+ М вЂ” ) ! (Х вЂ” А(' — 1) ! ' м 2 где и, Р, у, 3 — параметры Кейли — Клейна. 122 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Так как Тим 7 — И вЂ” ~ (.г+м) (.г- - и)1, й.ьм' 7-И' ,~~н ... гее...з ~ - .,)~(М~) — Г(У 1 м')1 (У .
лг')1 (2,г)1 и ф(М) = 1 по условию, то ф'(М') = Р"((+ М')1(У вЂ” М')1(У-+ М)1(У вЂ” М)! Х х,'» (т)~ (Р)И -Жии(и)ХЕИ-"(5)~- И' " И (Ми — М+ ъ)1(У+ М вЂ” и)1(,~ — ЛЧ~ — и)1 «-а Откуда следует, что Р (М, М)=(у+М)1(у — М)1(у+М)1(у- М)1(соя — 2) Х Х».~и — и,-.> и-,-и — ».и--и — 2 ~ ° -0 Под знаком суммы единицу, деленную на факториал от отрицательного числа, следует везде полагать равной нулю, т. е., иными словами, суммирование по и следует производить по тем значениям, которые удовлетворяют неравенствам ')~ М вЂ” М', и <У+М, и (У вЂ” М~. 20, Пайдеч сперва собственные функции оператора ахеи.
С этой целью запишем оператор у в матричной форме Так как 1 = — ( —, то, уравнение, определяюшее собственд дт' 124 отняты и вешания Примем во внимание свойства шаровых функций (Еьп + 11з) 1 вп = У(1+ т + 1) (1 — т) Уй (1.— 11,) У.=М(1 — +1)(1+ ) У ... Тогда из написанного матричного соотношения следует, что й, и йз должны удовлетворять двум однородным уравнениям ~1(1+ 1) — 1(1+ 1)+ +-~й, +~/(1+ — ) — й,=о. 1/ (1+ —,')' — 'й,+~1(1+- 1) — Ю+ 1) — +-,'~й,=0. й„=у Е+ — + тй(), й =ф' 1 — + — й(г). 1 Г 1 Таким образом, ь у 1+т+ —, 1 2 21+ ! \и — \» 1 1 — т+— ! пь-ь-»1» 2, ...), ьь/(1, 1 =Е+ — н!) = й (г) 1 (1==0, 1 аналогична при /=1 — '/а имеем: 1 1 — ла +— 2 1 ьпь- ' 21 + 1, п|- ь» 1+и+ —, 1 2 21+ ! 3, ...). ф, г'=-1 — —, т) =-й(г) 2' (1 1,2 Множитель добавлен из соображения нормировки.
1 Тг21+ ! Из условия совместности этих уравнений следует, что / может быть равно либо 1+ '/, либо 1 в '/ . Полагая, что 1=1+'/а, получаем: Вероятность У=! — Чя ! =1+ Чя Проекция Орб. и. вл — Г)я Проекция спина Чя 1 ! — т+— 2 1+т+— 1 2 21+ 1 Проеяцяя орб. м. т+ lа Проекция спина — 1я 1 1+лв+— 2 1 ! — ив+в 2 2!+ 1 2!+ 1 — 2т! 1„() =1+ Чя) =2 —,( 1 ля(1 = + Чя) — 21+ 1(! — 1 — Ч) — - л (Г=1 — Ч,)=— 2т(!+1) — . вл 2!+1 ' в 2!+ 1 22.
Собственные функции оператора проекции спина на направление т), Ф находим из соотношения (а. В( Гв Й соа Ф -+ аз я( п (в) ебп Ф + а, соя (т) ~ ) = ~ откуда следует, что а яш (те'~ — р соя Й = 8. а Из (1) находим отношение —: — =с(в.— е-! . а (в е 2 (2) 1 С друсои стороввм, из явнОГО Вида функции ф ~1, / =1+ 2 т) 1 и вв((1„! — 1 — —, лв~ находим. а Гвт;,(а т) ! В а 1 у „„(а, т) "Р'яя'*(сояв) 2 4) момвнт количвствд движкния. спин 125 момент количвствл движения, спин (И чем в первом случае проекция спина на ось л равна 1, а во втором — 1.
Найденные функции будут также собственными функциями оператора а,ва. 24. Волновая функция системы чт(А, М) имеет вид суммы произведений функций отдельных частиц й.(1 м) фо)е(~~ ) с~фи)ф 1 с ф0),1~!)~ здесь нижний значок у волновых функций указывает значение проекции момента. 1(оэффициенты с; должны быть определены из условия .РЧ (У, М) = — .ЦУ + 1) Т (Л М). (1) Волновые функции первой частицы удобно записать в виде У= О,;,т= 1, ~<>,= О При такой записи волновых функций оператор 1, будет иметь вид трехрядных матриц О 1, 1,„= ~ 1 О 1„=ООО а для оператора .Р получим: .Р = 1е-4- 1а+ 21 1 = где 1м+' 11и~ 1- = 1х ~1я. 1(1+ 1)+ 2+ 21а, )Г2 1 О у' 2 1 О 1(1+1)-+2 у'21т ф' 2 1т 1(1+1)+2--.21, 128 отвяты н гвшвния Воспользовавшись свойствами операторов 1+ и 1 (ьф =3/(1+и+ 1Н( — )ф (Ф =й1+шП( — ш+1)Ф- находим, что из условия (1) следуют два уравнения: [/(/-[- 1) — 1(1 -]- 1) — 2М] с< = '[/2 У(1+ М) (1 — М + 1) со [.У(У+ 1) — 1(1+ 1)+2М] с, = '$/ 2 [/(1+ М -[- 1) (1 — п<) со (третье уравнение удовлетворяется тождественно).
Решая эти уравнения. получаем для с(А М): с е<(1+1 М)со(1+1 М)с<(1+ 1М) с1(1, М) со(1, М) с,(1, М) с<(1 — 1, М) со(1 — 1, М) с,(1 — 1, М) 1г/ ° - 2/ <1+ЛЦН+М+Ц 2/<<ММ+Ци — М-1 Ц <1-Л<Ц< — М+Ц )ГЛ+Цк+Ц У' (М+.Ц<1+Ц 2 (2< + 1) (1+ Ц <1+м)н — м+ц м 1/«+М+ЦП вЂ” М) 21(1.<- Ц 2.1(<Ч ц СЧ <1-> Ц <1-м)ы — м+ц 2/р-<м)п — м) 2/(<мм)н+и+ц Ы(21+0 Г 1<21+0 21(М+Ц В силу ортогональности этой матрицы обратная к ней совпадает с транспоннрованной, и поэтому каждая из функций Ф<'тм'-» уо 'тм (-19ы21 выражается в виде линейной , (Ц 1<и, <Ц Ме), <Ц, <г) комбинации )Р(1]-1, М), Ч:(1, М), <Х'(1 — 1, М) с коэффициентами, стоящими в столбцах этой матрицы. 29.
р =р„=о. ря™([2 (91+ля)+ 1 (К1 1"2) /(/ [ 1) ) 1) 1 /1(/1+1) — /2(22+1)1 30. — 0,24. 31, — 1,91. 32. а) 0,879. б) 0,5, в) 0,689, г) 0,810. 33. Вес с) волны равен 0„04. 1 !в 34. а) — — г', б) — г-'. Обратить внимание на различие <О ' 20 в знаке квадрупольного момента в состояниях 'Р, н аР<. 39, Состояние с определенным значением /())2 есть интеграл движения) может быть сконструировано из состояний 129 центРАтьно симмятРичное поле с Е.=-.! — '/е, !, =-.!+ '!т.
Преобразование инверсии (х — а — х, у — + — у, г — м — г) осггвляет неизменным оператор Гамильтона замкнутой системы (четность является интегралом движения). Четность состояний с !.= —,! — '/т и 2= У+'/т различна. Из этого вытекает, что в состоянии с заданным значением l орбитальный момент Г., соответствуюгций относительному движению частиц, имеет вполне определенное значение. 40. Спин а-частицы и спин ядра В равен нулю, поэтому !.-орбитальный момент относительного движения системы а-частицы плюс ядро-продукт равен единице. Следовательно, эта система будет находиться в нечетном состоянии(а-частица четна), тогда кзк исходное ядро было четным. 42.
Не может. $5. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОЕ ПОЛЕ 1. Заменой !тм! =- ™ — уравнение для !!м! приводится к виду Дт м Г йа!(!+1)) Это уравнение совпадает формально с уравнением ГИредингера для одномерного движения в области О (г (со с эффективным потенциалом ('аяя (г) ==- Е~' (г)+ йе! (! + 1) Поскольку ук! = гйа! обраацзется при г =- О в нуль, то можно принять, чго (7=+::о прн г (О для этой одномерной задачи.
2. В уравнение для 2=йг ум+ ~(-,-'-,(Š— — и(г)) — „., ~ 2 = О !2и, ! (!+!)1 делаем подстановку 9 2= Ае где А и 3 †действительн функции. Зак. !ТЗО. Н. Н. Гакаамаа. В д. Кркаааакаа 1ЗО отяяты и Ращения Приравнивая пулю отдельно действительную и мнимую части уравнения, получаем: 2А'Я'+,апА =: О, ,а йьаА" . да( (1 + 1) Б' — — —.= 2р(Š— (1(г)) — — —, А ть (1) (2) 1.1з первого уравнения находим: сопа1 А:= = —. )гу Второе уравнение решаем приближенно, считая Ьа малой величиной. При этом надо, однако, иметь в виду, что прн переходе к классической механике (Ь вЂ « 0) следует считать, что И конечно, так как Ы представляет собою момент в классической механике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
