Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Условие (Аи)2 =О определит энергетический спектр задачи. Чтобы вычислить этот матричный элемент, рассмотрим матрицу З=е"=1+~А'+ А'+З .42+... +у А~+ ... 22 гЗ ЕИ 21 ф 2) пРОхОждение чеРез ЕАРьеР которое дает два корня 1,, и Л . Ввиду того, что Лг~ =- 1, мОжнО ),, представить в Виде Л = ев"', '1,2 где соки =-(е'+ — е-') сова. 1 а Если ЛлзьЛЕ, то решение, удовлетворя!ощее начальным условиям 5,2(0) =- О, 822 (0) = 1. имеет вид ~22 г(е е )' л„! л,! (лн ")е '2 О. ) ~~ Л,' условие, определяющее энергетический спектр задачи, те- перь запишется следующим образом: (Аи)22 = „Р' " = ((Лл — а) Лл — (Лв — и) Л, $ = О.
1 игк у!=а Л,— Л, Подставим в это выражение значения Ее!и и пренебрежем в формуле, определяющей сов и, е-', что эквивалентно предположению о малой величине проницаем ос ги: сов и е'сов а. При этом предположении условие, определяющее уровни энергии, приобретает простой вид 2!я (Ф+ 1) и Б!в и Это уравнение имеет следующие корни: пт, и =-— !ч+!' за исключением и =О, и, 2и.
При этол! сови имеет !лг различных значений пв сови =сов — — е.сова (и= 1, 2, ..., )л!), !ч+!- Ответы и Решения Более подробно à — ) 1р!а» соз — ~ рг(х ==-е ' соз — ' (и=1, 2, ..., М). ян ~й.) )'»'+ 1 Г -л ) 1я!з» Так как е ь малая величина, то последнее соотношение можно переписать в виде й» ь, — !я !л» вЂ” ~ рдх=я~т+ — ~+а ь соз — (3) Д!+ 1 (т=0„1, 2..) (п=1, 2, ... И). Это есть условие для определения энергетических уровней в поле »'(х). Оно очень похоже на условие квантования для поля отдельной ямы.
Из рассиотрения (3) можно заключить, что энергетический спектр в поле »г(х) представляет собой, грубо говоря, энергетический спектр отдельной ямы, все уровни которого расщеплены на М подуровней, Определим величину смещения ЬЕ»;, ь, Ь, — у' 23(Е!е! — ьг)пх+ —, — зЕ„= ( !я!л» 1! ь", =я(т+ — )+е ' соз — '(п=1, 2,..., д!), ял М Д!+ 1 откуда, вводя обозначение ь, е ~ах ~ лх "! М2 ф'„л —.и) получим: П» Г е ) !» ! х» ЬЕ = — е ~ соз — (и=1, 2, ..., Д!). д!+! 91 пРохождение чеРез БАРьеР расстояние между верхним и нижним подуровнями равно — ~ 1Р ~Л» Г Ь3 а а соз — .
М+1' 12. В области х ( — Ь по смыслу задачи имеется только уходящая в — со волна, т. е. -ь ф = = ехр —. ~ Р с1л Продолжая зто решение в область х~ Ь, получаем следую- щее выражение для волновой функции: = ~ — ~р~ )Х а К ь +а ~1 2Г Х1 — ехр — — ~ ~Р~нл+1 — соа — Рт1л + и ~ ь,! — а 2 +2ехр — ) ~Р1дх — 1 — сов — ) Рдх 1+ Ь еа +а -1-~")- ~-~"-). -а — а ь +а -"- Ф ")-~-'~ ")~ Квазистационарные уровни определятся из условия отсут- ствия приходящей из -+ со волны. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Приравнивая второй член в последнем выражении нулю получаем: откуда следует условие для определения квазистационарных дг Рис. 22. уровней Е~11 и их ширины Г ьо1 — г 2р (~'„— Ь') г1~ = 1~ + — 1 1ьь = О.
1, 2, ...) 1 ьъГ о т 1т ь 2à — ехр — — ! !р ! дх = Г, 2а а пх -ь - !!г „„-,) где 'Ж'")- = — 1Л вЂ” ехр — — ! !р!дх !+2ехр — ! !р!дх~~ )8 )~ й! )л„! а а ь 2 Г Считая ехр — — ! !р!дх малой величиной, найдем, что +а ь — ! рдх=-я11п+ — ~ — — ехр — — ! !р!г1х Ь .! '1 2/ 2 ~ А,! -а а петестлнОВОчные сООтнОшения Для коэффициента прохождения получаем следующее зна- чение: При значении Е, совпадающем с одним из квазиуровней, А)(Еен) =1. При ~ ЬЕ) < )Е„) имеем: о 1г В( „+АЕ)= + На рис.
22 изображено поведение Т1(Е) вблизи квазиуровня. $ 3. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. РАСПЛЫВАНИЕ ПАКЕТОВ 1. Рассмотрим сначала случай дискретного набора волновых функций фп Средние значения операторов А и В в состоянии, характериауемом функцией ф (ф = ~~~~ Наг), равны А == ~ а'.Асеал, сл В = — ~~~~ ~а;Вглпа. Составим неотрицательную величину /(Л) = ~, (~~~~(Аеа+1ЛВса) нл~ ~..,'~(АО+1ЛВО)а~ » О (здесь ),— действительный параметр). Собирая члены с одинаковыми степенями Л и пользуясь эрмнтовостью операторов А н В(АО,—— ААОВг =В„;), находим: У(Л) = ~н ~НААНАяа + 1Лаь (АА;Вп — ВЕНАН) аг+ г,е,г +ЛгаАВагВнаг) = — Аг+ЛС+ЛЯВг.
Здесь С вЂ” эрмитовский оператор С = — (А — ВА). Т 94 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Квадратичная форма У(Х) является неотрицательной и, таким 2 Ъ2 образом. 4АЕВ2 ~~~С) . Замечая, что операторы ЬА = А — А и ЬВ= — В удовлетворяют тому же соотношению коммутации, что А и В получаем: ~/(бА)2 (,,В)2> !с! Доназательство этого соотношения для непрерывного набора можно провести аналогичным способом. Выражение ,~О,)=~((А+иВ)У'<(А+~ЛВ)ф) т, где ),— действительное число, является неотрицательным и может быть преобразовано следующим образом: У()) ==- Х ((Аф)' — й(Вф)') (Аф+ВВИ дт = = ~ (ф*А2ф+а).ф*(АВ.— ВА)ф+).26*В26) дт. Действительно, в силу эрмитовости оператора А ~ (Аф*)одт = — 1 ф*Аодт.
Последую2цая часть доназательства проводится тан же, как и ранее. — й2 дР 2. (ад>' РВ)2.:: — ' 4 дл~ 3. Энергия осцнллятора в стационарном состоянии (р2 Лхз, р~ А.Ф е= ~ф(х)~ — + — ) ф(х)2(х= — + —; (2и 2)' 2Р 2 так как Р =(р — р)2+(р)2 =(бр)2+(р)2 х2 =(Ьх)2+(х)2 х= О, пвгвстлновочныв соотношвния то (ь| )' д (ах)з 2А 2 Из соотношения неопределенностей (Ьр)з ° (Ьх)з ~~ — следует 4 + 2 йн(д')в Выражение в правой части принимает минимальное значение при й Г 1 (бл)з = — аг, 2~ 1.Л прн этом й Гл й Е ыы 2 Г И lл где ш= у ††час осциллятора. 4.
В рассматриваемом случае можно пренебречь экранированием поля ядра другими электронами. Энергия К-электрона рз уез Е= — — —. 2н г й Поскольку р —, где г — размер области локалиаации г' йя лез Š— — — —. (1) 2лгз г Это выражение принимает минимальное аначенне при йз л г = — = †(а = 0,529 10 ем в радиус первой орбиты уезн у Бора).
При этом энергия уо Š— — — — =- — Ле ° 13,5 лз. 2 Ь2 Если учесть релятивистские поправки на изменение массы, то выражение (1) примет вид Е~~ (1?с'+сере) "— — — рвет > сзйз ~Рз хез Ответы и Решения Отсюда находим значение энергии Е)~ ~:, се ((1 — аеЛЕУД вЂ” 1~, где а = — ~ 6. Пусть размер области локализации первого и второго электрона г, и ге. Тогда импульсы электронов на основании соотношения неопределенностей соответственно равны Ь и Р— Р Г2 ' "' Г 2 так что кинетическая энергия порядка величины %(Ф вЂ” '.) Потенциальная энергия взаимодейстзия электронов с ядром заряда е равна — хее ( — + — ) и энергия взаимодействия электронов между собой порядка ея Для того чтобы найти энергию основвого состояГ2+Г2 ' ния, найдем минимум полной энергии Е(г„ге) = — — + — — Ле'1 — + — )+ 2и ~ г г )~ 2'2 гя) г2+гя Минимум осушествляется при значениях йя 1 г =г = —, 2 2 2 — — ' 4 Таким образом, энергия основного состояния иона с двумя электронами и зарядом ядра У равна Š— '(Х вЂ” —,) 1 2 = — 2 (У- — '— ) 1су, йу= — —,, =13,5 эв.
1 Р2е 2 вя Сравнение с опытными данными показывает хорошее согласие, если принять при этом во внимание чрезвычайную простоту расчета. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ Ве++ 6+++ с++++ — 6 !25 — 5,807 Еа „а йу — 1,125 Еэ и а 7!У -105 — 15,12 -- 14,56 — 28!2 — 45 !2 — 27,3! — 44,06 --66,!2 — 64,8 Среднее значение Р в состоянии о1 дискретного спектра Р =-' — ~ 5'(Йг — й) )г(т. !н 5 В силу самосопряженностн Н !и р = — ~ ( Й'У ° г ) !— о!'гй Д е!т. Л Так как для стационарного состояния йф = Е.!,. Н'ф' = Еф*, окончательно получим: Р=О. 9. Волновая функция ф(х, г) свободной частицы определяется через ф(х, О) следующим образом: !7(х г)= ч ~ О(Р)е"РЦРх — 2 г)~ "Р где 1 — ! — а ° р а(р)= — „~ ф(х, 0)е " е!х= (2аЬ)'ь 1 4!р„-р!ж !7(х)е " е/х.
(2аЦ'В,/ Звк. !УБО. И. И. !'олалаан, В. Д. Крнвченаав 6. Не могут. 7. Р— среднее значение импульса частицы. 8. Для доказательства воспользуемся Операторным соотношением, которое справедливо, если гамильтониан не зависит явно от времени и нет магнитного поля Р = — (Нг — гН), !и 5 ответы и вешания Функция а(Р) заметно отличается от нуля только при тех значениях Р, для которых выполнено соотношение !Рв Р! д Так как при выполнении этого соотношения осциллирующий М~~.;Фи множитель е " мало изменяется при изменении х в области — р(х(+р, то ф(х, «) можно приближенно представить в виде яз†à ф(х, «) — — „ь ~ а(р)ехр ~ — ~Рх — Р «)» р«Р (2яЬ) Ь 3 1л~ или .хР» — (Р;-- —," «)» Рр +р ф(х, «) —,.
— » а(Р+Рр)Х (йлй)ьз ХехР»+ЯР(х — "- ) — Я» Р. Иа последнего соотношения следует, что волновая функция 6(х, «) будет заметно отлична от нуля лишь тогда, когда осциллирующий множитель ехр ~ — р~~х — «) — — «»» !л(.( и « а мало изменяется при изменении Р в пределах — — ( Р ( 6 а ( + — . Следовательно, размер волнового пакета в мо- Ь ' мент « по порядку равен й« рр — "+ —.. 2пр ' 10. Для решения задачи необходимо определить волновую функцию «(х, «), удовлетворяющую уравнению Шредингера «й — '= Нф дф д« (1) 5 31 ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ и при г = 0 принимающую заданное значение ф (х, 0) Если Н не зависит явно От времени, уравнение (1) имеет решения .Нн ф„(х, г) =ф„(х) е (2) где ф„(х) — не зависящие от времени собственные функции оператора Й Йф„(х) = — Е„ф„(х), Найдем коэффициенты разложения ф(х, О) по системе фунн- ции ф„(х), ф(х, 0)= —,) а„ф„(х), а„= — / ф„'(х)ф(х, 0)сКх.
Нн "1 — 1л" г Функция ~а„ф„(х) е л удовлетворяет уравнению (1) и при 1=0 совпадает с ф(х, 0). Таким образом, ° нк ф (х. г) = —,,"~~ аиф„(к) е или ф(х, Г) =-. :~ 0~((, х)фД, О)д$, причем е ~с6. )=Хф,*,6)ф„(х) ' Итак, для решения поставленной задачи достаточно вычислить функцию Грина О,(1, х) и воспользоваться уравнением (3). а) В случае свободного движения собственные функции з — рй (г) =- —, е ", Е„=-— Р (2 й)т* " 2Р и соотнетствующая функция Грина ф 3) 101 пегестАНОВОчные соотно|пения При Г~~т линейные размеры пакета увеличиваются пропорционально времени г| ь,— — Е на рассмотрим несколько конкретных примеров.
Для электрона, локализованного вначале в области 3 1О см т имеет порядок 1О а сел. Для «классической» частицы р = 1 г 3 = 1О см находим т = 10'т сек— 3 млрд. лет. б) Волновые функции при одномерном движении частицы в однородном поле (г= — Ех имеют вид (см. аадачу!3 $ 1) ~~ е(е-"а) Е ф,(х)=А ~ е с(л, д=(х+ — )а, где а=~ — ", ), А= Вычислим функцию Грина +' .нс Ос(1, х) == ~ ИЕе г (' (3)ф (х)=— л О (з ')+'(» «е) где «1 =- (с -+ —;) а. Произведем сначала интегрирование по Е +с» .|е .«' 0,(Ь. х)= — А' Ц с(исМе а ' * )с' + ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
