Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике (1185115), страница 12
Текст из файла (страница 12)
к« Р8 Х ~ с(Ее 102 ОТВЕТЫ Н РЕШЕНИЯ Воспользовавшись свойствами е-функции, произведем интегрирование по о и приведем выражение в экспоненте к виду, удобному для последующего интегрирования по и: ые(» и)= А ~ //иехр~ ' д Х 2яР г ~ „ /Ч Окончательно для функции Грина получаем: 1/а О,((, х) =-( —,."„„) '-р ( — —,', ( —,",„')'+ При /"-+О, как и следовало ожидать, это выражение переходит в функцию Грина для свободного одномерного движения.
С помощью выражения (3) можно определить изменение во времени волновой функции, заданной при 1 =- 0 ж' /им 1 ф(л, О) =-, е (яая)'/4 В результате вычислений получаем: (яаа(1+ — „)) ( 2Р(1+ — ) + — (ре+) — — ~" Г(р,+ гтр й а,) ~М. В общем случае трехмерного движения в одномерном поле с начальной волновой функцией тя,э. 1 ф(/, О)=, е ( аа)'/ (оз % З) пвгвстлновочныв соотношкния получаем имеют следующий вид: иэа ф„(х) = с„е а Н„гих), где Искомая волновая функция ф(х, т) согласно (2) . кь ф(х, 1)== ~ а„ф„(х)е л и (4) где +о» а =с с ~ Н (ах)ехр~ — ат + — — — )с~х.
(х — ла)т Грех чаля 1 ь "и ь 2 Ь 2 С целью вычисления ал воспользуем«я выражением для производящей функции полиномов Чебышева — Зрмнта е-и+ыч= ~ — Н„(т). ът ЭР (б) .мя' и! Из этого выражения следует, что распределение плотности вероятности сохраняет гауссовский вид, а центр тяжести пакета движется согласно законам классической механики равномерно-ускоренно.
Изменение размера пакета с течением времени происходит так же, как и в отсутствии поля (см. предыдущий пункт). в) Собственные функции уравнения Шредингера — — о+ — х%~ =Ео Ья ь ~мФ 2н н 2 ь лч 104 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ аа У' Легко видеть, что —" явлветсе коэффициентом при е„е и! в разложении в ряд по !.
выражения аа(х — хе)э фех азха ! 2 + л 2 ~ ехр(--)а+2!ах В результате вычисления получаем: „=с„с~/ ° ~ах + ~~~ ) )( аала Хехр1" 2 +4(а"О+Ф) хе+ — = с)а-". йат получаем: аа ф (х, С) = с ехр ~ — — (х — гЭСОЕ(ы1+ й))з — !х('„Ьа з!и (ма+ й)— 2 — — + ! (з!и 2(шс+ 3) — э!и 2о)~ . ге! ааба 2 4 В этом случае при движении не происходит расплывания волнового пакета. Центр тяжести движется по-прежнему по законам классической механики, совершая гармонические колебания с амплитудой Я и частотой ы. Из полученного выражения для 6 следует также, что средний импульс в момент времени г' равен величине Р я = щаа з!и (е1+ е), т. е. классическому импульсу частицы в осциллвторе. Выражение ехр ( — — + — ! (Вйп 2 (ма+ е) — з!и 26)) Ьо! ат!7 .
2 4 может быть ааписано как ехр — — ~ Нг). ! ! С (В й .! После подстановки этого выражении в (4) оказывается возможным произвести суммирование по и, используя снова соотношение(б). В результате вычисления, вводя обозначение 1Об й з) пегастлиовочныа соотношения 11. Рассмотрим оператор о (з) еву'пе — аХ где л — вспомогательный параметр, н найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет а(ю); "( ) =- Еецле-™ — е')ае-"Ч = (ьа (я)1. Иа Продифференцируем зто уравнение еще раз ~.(а) ~У ла(а)~ !([ба(з)]) Легко нидеть, что производная л „ равна результату н лна (а) последовательных перестановок оператора Е с оператором а(з). Представив теперь оператор еьае ь= а(1) в виде ряда Тейлора т(1) =~(О)+ — „+.
~~ д +.. ла (О) 1 ята (О) и выражая производные по а в точке а=0 через последовательные перестановки оператора Е с а(0)=а, получаем доказательство соотношения, приведенного в условии задачи. 12. Оператор Гамильтона выразим через операторы а и а+ (см. задачу 5 Ч 1) Н= Ьм(а'а+ 2) У(г)1 2 (о+~~~ г био и будем искать решение уравнения Шредингера 1йф(Е) = Йф(1) в виде ф (г) с (1) е«щ аьее (и а е~ 1й а а ф ( — со) 106 ответы и вешания При дифференцировании по «оператора, действующего на ф( — со), необходимо иметь в виду, что а и а+ некоммутативны: аа+ — -а а=(а, а+)= 1. Выражение для производной по времени ф=-(се"' ев ет +саа+е"' егвет" "+ +сре аев'ет +сне е~~а+ает )ф( — оо) преобразуем так, чтобы оно имело вид «те«ч еаав тч ч,«( «„э) где Π— некоторый оператор.
Рассмотрим сначала третий член в правой части равенства, определяющего ф. Замечая, что ((а+)"а) = — п(а+)" ', находим: е«а а =- 1+ па++ +...)а = «' " (аа ) 2 + — (а а)(1+.па++ + ) — (а а)е а+ Поэтому третий член можем записать н виде с«ф(а — ««) е ««ев етч «ф( — со). Аналогично преобразуем последний член +" с)е е~ а+ает "=сне (а+а+ра)е~ е" =су(ах+а — аа" -+(1а — ат)е" ее ет'"" Итак, () = с(а+а+ с (а - — сг~) а '+ с ( р + «т)) а + с — с рф и для того, чтобы удовлетворить уравнению Шредингера, мы должны потребовать, чтобы 107 б 3) пвгвстлновочныв соотношения Сравнивая коэффициенты при операторах аьа, а, а+ и сво- бодные члены, получаем систему уравнений: Т= — с" а+ сии =- 7'(1), К2Г ~ — 1ыс3= ' У(1), СС 2бя,ы е .
а — = — с — + а(3 — 1со3). с 2 Решая эти уравнения с начальными условиями а(--со) = О, р ( — оо) = О, ~ с ( — оо) ( = — 1, находим: а (Е) = ~7 (1') е~с М1', 13 (1) =- 1) (1') е-с "М = — а'(Е), 3'26~ив,) 7(1)= — ' 1 е(1)=.е о ехр — ~ сМ'Я1)е — '"'" ~й1"7(1 )е!"и" ).
Вероятность перехода из состояния ф( — сю) в л-е возбуж- денное состояние при 1 =+со К„=11сп ~~ф„ф(1)ссх~ =!нп ~ чае е~" е~ ф( — со)ссх~ . с-ь 1 Если начальное состояние было основным ф( — со) = — 6, то поскольку або =- О, легко находим: оа та+а, фо =- Фо. Далее, так как нормированные волновые функции имеют вид Фа =- — 4, (см. задачу 5 в) 5 1). (а ) ът аы а=о 108 ответы н Решения Ввиду соотношений ортогональности ~ ф„фо,г!х=сдло, получаем: %' ~=-- !НП !С(с) !2 Ф.+со л! Иа формул для а(!) н с(Г) находим: +со 2 — ~ !(!)е 'г!! =т, ! 2дрсо 2 орсо ~ =-ехр1 — - — !(г)е!"2д! =е-".
!пп ! а(с) !2 йш !с(!)!2 2-о л )р' = с-— и! ' где — (ЛО г'сс~ ! 2д!с ос а) Для у(!)=)Яе " находим: 2 2 2 лу ~ ч=.— е орсо б) Для У(!) . Уа О+' леуес2 Е-2"'. 2Ь!Оо 13. Уравнение Шредингера для осциллятора с учетом возмущающей силы имеет вид дф дя дзф р.осяха !л — =- — — — '+ — - ф — 1(!) хф, д! 2р, дле 2 Введем новую координату х, =х — 1(г), тогда дф дф Л Юс гд — = !д$ — — — — + — ры'(х,-+ Ю у У(!)(хг+ 1) ф.
дт дх 2 дх2 Таким образом, окончательно для У',,е получаем распределе- ние Пуассона: !ой % З) пвввстлновочныв соотношения Если положить то для ~у получим уравнение дт до дат 1 И вЂ” =- — — -+ — р~о хр+(ф+ рш 1 — у) х,у — (р, дт 2р дх~ 2 где б — функция Лагранжа б= — р! — — рш Р+У(~)1. ВпоЯ 2 2 2 2 слепнем выражении член (р4+ род( — У) х,р равен нулю, потому что 1, как функция времени, удовлетворяет классическому уравнению движения осциллятора под действием возмущающей силы рс-1- ршо( = Д1).
Если ввести еше новую функцию у следующим образом 9=х'*Р!т~~о) "Фу"" "7." у' ГР о совпадаюгцес с уравнением движения свободного осциллятора дг й дд !й — "=- — — —,, + 'у. дг 2р дх~ 2 Таким образом, волновую функцию осциллятора. подверженного действию возмущающей силы, можно представить в виде 6(х, К) = т (х — 1(1), !) екр ( ~ 1(х — 1)+ — ~ 1. д1 ). Ь 14. Будем искать решение уравнения Шредингера дф До д-'ф род(Г) И вЂ” = — — — '+ дг 2р дхо 2 х о, в виде ф(х, !) = / О(х, 1; х', т)6(х', с)Их'.
Легко показать, что функция Грина 0(х, 1; х', т) должна удовлетворять уравнению (!) и начальному условию !пп 6(х, 1; х', т) =3(х--х'), (2) 8.+ о-~-о 11О ответы и гашения Подставляя (3) в (1), получаем уравнения, определяющие а, Ь, с ая — — — еа(С), ня а — — Ь, н (4) Решение системы уравнений (4) имеет вид Ф ..ы „1'„„р, У сопз1 1 Г 2' Х где л есть решение уравнения я = — ва(1) К.
Попытаемся подбором постоянных интеграции удовлетворить начальному условию (2). С этой целью возьмем одно из возможных выражений для В-функции 3(х — х')= 11шт~/ —. ' ехр1 '" (х — х')а» (6) , Г 2якй(С вЂ” т) ~26(à — т) (см. задачу 1Оа) э 3). Для того чтобы выражение (3) переходило при 1-ь т в (6), необходимо и достаточно, чтобы У.=О, л =-1 при 1= т, Ь =- — =, их~ Х ' с=И!п2+рх ,а У у Ф где У вЂ” решение уравнения г' = — оР(1) У, удовлетворяющее начальным условиям У -1, 1'=О при 1=т. Заметим, что так как лу — 1'л, = 1, то Попытаемся удовлетворить этим двум условиям, полагая О(х, 1; х', т) ехр~ — (а(г)хе+26(г)х+с(г))~.
(3) пегестановочныв соотногпвння Таким образом, для функции Грина поставленной задачи получаем выражение следуюшего вида: 0(х, г; х', т)=ф/ ~~ ехр( 2а~~ (ЬР— 2хх'+Ух') ~. В случае, когда и =- сопз1, имеем: 1 У= — з(пм(С вЂ” е), 1'=совы(С вЂ” т), ь н функция Грина в этом случае равна 0(х, г; х', т) = — р ехр 1 фло (соз в (1 — т) ха— 2яаГ Мп ы(г — т) 1 26 з!и е (à — т) — 2хх'+сов в(г — т) х' )).
1б. )/ совам+ — мпяес Нтез 1 аа (х — ~') соз (юг + а) )я ) р', ехр аааз созе г+ —,, а~па Г науй где х + — =с)е и. гуо 0 В случае, когда а= у —, получается результат заР~ а дачи 10 в) 2 3. 16. О(.,1;, )=- ехр1 ~ (с(х — с)а — 2(х — 1)х'+ Гх' )+ Ф' 2кйУ 1 2лУ + — ', ц~)( — ~)+Я ~ж~1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
