Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В физике очень часто говорят о плоских волнах. При этом молчаливо предполагают, что волна является приближенно плоской: оиа похожа на плоскую волну в очень большой части пространства. 45. Любая волновая функция, описывающая состояние (движения) частицы с массой т, удовлетворяет уравнению Клейна— Гордона (39Ь). Положив т =- О, получим уравнение, которому удовлетворяют электрические и магнитные векторные поля.
Уравнение Клейна --. Гордона не идентично уравнениям Максвелла, н об этом не следует забывать. Можно ли считать, что в уравнениях Максвелла содержится болыпе, чем в уравнении Клепка — Гордона? На этот вопрос ответим утвердительно. Уравнекпч .": .снелла описывают такое явление, как поляризация фотона. Состояние движения фотона не определено полностью, если известны энергия и импульс.
Остается еще поляризация. Для каждого значения импульса мы имеем у фотона два линейно независимых сосзояния поляризации. Ими могут быть, например, состояния лево;", и правой круговой поляризаций. Возникает вопрос:может ли и материальная ча.тица находиться в различных состояниях поляризации? Ответ заключается в тоз., что некоторые частицы могут быть поляризованы, а другие пег. Примерами частиц, не обладающих поляризацией, являются пионы и а-частицы.
Электроны, протоны и нейтроны "- примеры частиц. которые можно поляризовать. У этих последних имеется внутренний момент импульса, называемый спинож. Различные ориентации спина соответствуют разным состояниям поляризации. Пионы и а- частицы спина не имеют; в их системе покоя нет ничего, что указывало бы направление. Эти частицы сфернчсски симметричны. Чтобы описать состояние поляризации частицы с ненулевым спином, нужно, кроме переменных х и й им ть новую переменную, отвечающую спину.
Поэтому волновое уравнение для частиц со спином, например для электронов, протонов и нейтронов, должно быть более сложным, чем уравнение Клейна -- Гордона (39Ь), но тем не менее волновая функция этих частицбудет также удовлетворять уравнению Клейна — Гордона. Можно сказать, что это уравнение описывает пространственно-временные свойства частицы, не обращая внимания на спин. Мы не будем здесь рассматривать квантовомеханическне методы описания спина. Они в значительной мере аналогичны описанию поляризации электромагнитных волн. 46. В заключение этой части главы перепишем волновое уравнение (39Ь) в системе единиц СГС (или СИ). При этом в нем появятся 207 константы гг и с и оно примет внд —,.
— „г1 (х, 1) — у'ф(х, 1) = — ( — „) ф(х, 1). (46а) Воспользовавшись соображениями размерности, читатель может проверить правильность этого уравнения. Заметим, что каждый член уравнения имеет размерность (волновая функция)!(длина)', Дополнительная тема: векторное пространство физических состояний *) 47. Рассмотрим с новой точки зрения принцип суперцозиции, применимость которого к волнам материи была нашим главным предположением. : Обозначим через ЯГ совокупность всех волновых функций, представляющих возможные физические состояния частицы с массой пк Пусть ни одна нз них не равна нулю.
Присоединим к этой совокупности новую волновую функпию, которая равна нулю для всех координат и всех значений времени. Новую совокупность обозначим Я. Она обладает следующими свойствами. 1) Есчп г(г, и гре — две волновые функции из совокупности Я то сумма грг+гре также принадлежит этой совокупности. 2) Если ф принадлежит Я, а с — любое комплексное число, то функция сф также принадлежит Ж Прпнц',ггг суперпозцции волновых функций утверждает следующее: ес ш ги и фе -- две имеющие физический смысл волновые фупкцгш, а с, и се — два люоых комплексных числа, то функция г)г = сггр,+сегр, (47 а) также являегся имеющей физический смысл волновой функцией прн условии, что она не обращается тождественно в нуль.
4Я. Совокупность ур обладает характерными свойствами абстрактного математического объекта, называемого абстрактным комплексньси а кгп ггриьг.гг гростоанствозг. Перечислим постулаты, на которых основано существование таких объектов. Лггнеггное комплексное векторное пространство Я~ является совокупностью элементов (называемых векторами), которые обладают следгюгпими свойствами. 1) Из любых двух векторов гр, и ф, в Я можно образовать единствеииьп вектор гр, принадлежащий Я, который называется суммой гр, и фе и обозначается гр=гр,+ф,.
Операция образования суммы двух векторов удовлетворяет цравнлам: а) г)г,+г)г,=г)г, +г)г, для любых двух фг и ф, из .9~; б) Чг+(гре-~оре)=(фг-гре)+фи для любых трех векторов гро гр, и гре из,.~; в) в совокупности .Ясуществует единственный вектор, называемый пулевым, который обладает следующим свойством; 4г+О= гр для любых г)г из Я. ь) При перном чтении можно пропустить. 200 2) Рассмотрим вектор ф из Я~и любое комплексное число с. В Я существует единственный вектор сф, называемый произведением вектора «р на скаляр с. Операция умножения вектора на скаляр (комплексное число) удовлетворяет правилам: а) (с,с,)ф=с,(с ф) для всех векторов ф и любых двух скаляров с,ис,; б) (с,+с,)ф=с,ф+с,ф для любого вектора ф и любых двух скаля- ровс,ис,; в) с(ф,+ф<)=сф,+оф» для любых двух векторов ф, и ф, и любого скаляра с; г) для скаляра 1 мы имеем 1 ф=-ф.
Этн постулаты определяют абстрактное линейное векторное пространство в поле комплексных чисел. Последняя фраза означает, что скаляры, на которые умножаются векторы, являютсл комплексными числами. Если мы ограничим значения этих скаляров вещественными числами, то получим определение линеиного векторного пространства в поле вещественных чисел. Для краткости говорят; «комплексиое векторное пространство» и <вещесзвенное векторное пространство». Примером хорошо знакомого читателю вещественного векторного пространства является трехмерное евклидово <физическое пространство». 49.
Постулат (1а) является переместитсльным законом сложения, а постулат (1б) — ассоциативным законом; постулат (! в) гово рит о существовании и единственности нулевого вектора; псстула (2а) является ассоциативным законом умножения, а постулаты (2б) и (2в) — - распределительными законами для умножения на скаляр; постулат (2г) говорит о том, что умножение «единицы» на вектор дает тот же вектор.
Из этих постулатов следует множество почти очевидных следствий, например, таких: 0'ф = О, ( — 1) ф -г ф = — О, ( — с) ф = — (сф) и т, и Мы не будем перечислять здесь все тривиальные теоремы, надеясь, что читатель сам способен это сделать. В чем значение введенного понятия об абстрактном комплексном векторном пространстве? Дело в том, что прн изучении математических теорий мы постоянно встречаемся с различными совокупностями элементов, которые, помимо других возможных свойств, обладают еще свойством удовлетворять всем аксиомам, относящимся к абстрактному комплексному векторному пространству.
Когда мы встречаемся с таким пространством, нет необходимости каждый раз рассматривать его свойства; зная перечисленные аксиомы, можно просто применить нх к любой новой совокупности. 50. Теперь можно понять, что совокупность Я всех физически допустимых волновых функций совместно с волновой функцией, тождественно равной нулю, образует конкретное комплексное векторное пространство. Это пространство конкретно, потому что его векторы являются определенными комплексными функциями пространства и времени. Сравнивая постулаты п.
48 со свойствами со- вокупности волновых функций, перечисленными в и. 47, мы видим. что перечень постулатов занимает больше места. Однако большая часть этих постулатов абстрактного векторного пространства трпвиалыю выполняется совокупностью конкретных волновых функций. б1. Заметим, что, определяя абстрактное комплексное векторное пространство, мы ничего не говорили о его размерности: оно могло быть конечно- или бесконечномерным. Уделим этому вопросу некотор е внимание. Совокупность М некторов ф„ 1ре, ..., ф, в комплексном векторном пространстве Я является линейно независимой, если равенство (51а) удовлетворяется лишь" при с,=с.=-...=-си=О. В противном случае век|,ры линейно зависимы.
К: чплексное векторное пространство имеет размерность Л', если в этом пространстве можно определить совокупность Л' линейно независимых векторов, но нельзя определить большее число таких векторов. Векторное пространство бесконечномерно, если для любого целого Л' можно найти Л' линейно независимых векторов. Векторное пространство Я всех физически разумных волн де Брайля является бесконечномерным: имеется бесконечно большое число линейно независимых волновых функций. б2, Лбы имели дело с решениями уравнения Клейна — Гордона, по теп~рь можно сказать, что совокупность решений любого линейного дифференциального уравнения образует 1комплексное) векторное пространство.
В рамках квантовой механики существующие в природе частицы могут быть описаны различными типами дифференциальных уравнений. Совокупность физически приемлемых решений этих уравнений всегда образует векторное пространство. Можно выразить это иначе. Чтобы описать частицы данного типа, необходимо ввести комплексное некторное пространство и связать вектор этого пространства с возможным состоянием (движения) частшшь Зто великая идея, и лежит она в основе математической теории квантовой физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
