Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Нетрудно получить условия образования дифракционных максимумов для двухмерной ячейки. В этом случае условие (19а) должно выполняться для каждого направления решетки, т. е. для каждой линии, содержащей более одного атома. В частности, оно должно выполняться для направлений, определяющих единичную ячейку, п мы получаем условия е~'(Р» — Р«)=т~К е» (Рг Р)=тМ (20а) (Р~ (= (Р«! (20Ь) где т, и т, — целые числа. Снова можно сказать, что проекция переданного импульса на оси решетки «квантуется». Чтобы показать это с большей ясностью, зададим два вектора д, и д» в плоскости (е„е,) условиями е» «у»=й, е; ° ~у,=0, е,.«у,= О, е, ~у, =й. (20с) Написанные уравнения имеют единственное решение. Заметим, что направления векторов д, и ~у» совпадают с е, и е, лишь в случае прямоугольной решетки.
Условия (20а) теперь можно записать в виде р р т~у +т«у +»у ( 206) где т, и т« — целые числа; «у« — произвольный вектор, перпендикулярный к плоскости решетки. «Квантуются», лишь составляю- 191 щие переданного импульса в плоскости решетки (но не перпендикулярная составляющая). Они определяются условием (20Ь), означающим, что рассеяние упруго. Мы можем, таким образом, найти несколько решений уравнений (20а) и (20Ь), предположив, что первичный импульс не слишком мал (т. е. что длина волны не слишком велика). В этом случае рассеянные лучи пспускаются Г'ыс.
тод. Дчфракппагпчаи картиыс. обрааовыпю г пои обрагыои расссяпип ° ю.,гр а»в с чяер иетг 76 В от повеохыости крпсталда иикеля. йлектровьгпадаюг псрпекдвкулярыг: п»аерх- ыости кристалла Это типггчпый случай дифракпии от двухиерыой ресгет ы рис. Хси. Плоскаи сии: сипя гаверхиасти кркстччлг.
Круккя ссогыетстачюа поппи пикс. ля в по ерхиастьои ело-,йфрикпвс. иая кврюыгя обиарухгпвает аиалогичиую пря юуголь. .Гю с~ ыыстрию. ГГравил.чо ~гг ориептироваыи друг атвоюгтельво друга оба ри:Гчгкай Не .»жго:пг оаип иа ык поверыуть па йбп в строго определенных дискретных направлениях, а не по конусам, как это происходит в случае одномерной решетки. В опыте Дэвиссона и Джермера энергия электронов бьша невелика и они не проникали глубоко в кристалл.
Дифракцпя происходила на атомах, лежащих на поверхности, когда применима теория дифракции на двухмерной решетке. 21. Для трехмерной решетки е, (Р,— Ре)=тг(Ь е, (р,— Р,)=твгд, еа ° (р; — рс)=гпг.угц (21а) !Р;! =-)Ре! (2!Ь) где тт, т, и тч — целые чис;ш. По аналспш со сделанным в пре- ДЫДУЩЕМ ПУНКТЕ, ОПРЕДЕЛПМ тРИ ВЕьтОРа д„де И «та С ГОМОЩЬЮ условий и «! =Ь ва.да=О, в, гу, =О, е д =О, е, а,=й, еа.а,=О, (2! с) Е д =О, Ра А=О, Е„д,=й. Эти уравнения всегда имеют единственное решение.
Условия (2!а) можно записать в виде Ч= Р! Ра = гп Ят+ гпЛ + гпаЧ . (2Щ Переданный импульс «т «квантуется» в том смысле, что он должен быть линейной комбинацией (с целыми коэффициентами) трех 192 векторов д„д, и д„определяемых геометрией решетки. Из уравнения (2!д) следует, что возможные значения переданного импульса образуют решетку в пространстве импульсов.
Эта решетка называется обоптной решеткой кристалла. Условиям (21г() и (21Ь) невозможно удовлетворить одновременно при любом значении первичного импульса. Уравнения (21а) и (21Ь) совместно образуют четыре уравнения для определения трех составляющих конечного импульса р,. Их решение возможно лишь для соответствующим образом ориентированного кристалла. 22. Допустим теперь, что мы изучаем дпфракцню на образце, которы: состоит из очень большого числа случайно ориентированных мпкрокр~ ста,ялов. В нем всегда найдутся микрокристаллы, ориентированные так, чтобы удовлетворить уравнениям (21а) и (2!Ь) !и крайней мере приблизительно). Для такого ооразца мы имеем два условия дифракционного максимума: ! Р< — Р„! = (т,<У-, + т,й', + т,сУ, (, (22а) 1л 1=!).! (22Ь) где т„ ш, п пз,, — целые числа; ~у„ гу., и ~у, — векторы, рассмотренные в предыдущем пункте, соответствующие определенной ориен.
тации решетки. Написанные уравнения имеют решение. и мы видим, что дифрагировавшие лучи распространяются по конусам, оси которых совпадают с направлением приходящей волны. На рпс. 14А показана схема дифракционного опыта, основанного на рассмотренной теории. Прп работе с рентгеновским излучением образец часто представляет собой тонкую пудру, состоящую из большого числа очень малых микрокристаллов. Дифракционная картина на рпс. !4С получена именно с таким образцом. Дуги иа снимке представляют собой пересечения конусов 1определенных условпямп (22а) и (22Ь)) с поверхностью фотопленки.
Легко понять, что если образец слишком мал (в том смысле, что он не содержит достаточно большого числа кристаллов), то распределение дпфрагировавших лучей по поверхности конуса может оказаться весьма неравномерным. Вместо непрерывных дуг илн окружностей мы увидим на фотографии отдельные точки. Это явление прекрасно иллюстрируется фотографиямп, приведенными на рпс. 22А и 22С, которые следует сравнить с рнс. 14В; на них показана дифракция электронов с энергией 100 кэВ на кристаллах олова, В этом случае электронные волны полностью проникают в небольшие кристаллы.
В качестве прибора для изучения дифракции бкш использован электронный микроскоп. Фотографии образцов, показанные на рис. 22В и 220, были получены с тем же микроскопом. Существует лишь одна постоянная Планка 23. Этот заголовок, вероятно, удивит читателя. Постоянная Планка единственна по определению. Что же в этом удивительного и что нетривиального хочет этим сказать автор? 193 ' люгз ог днбр кю и чюг тргп! гв, получспные четодом, схсчаюгчсюкв гг бг.. ч иным па рпс ! !Л.
11 !згзс .".'.', лыш „и внд чюпсни, рассматриваемой в элсктроя ыи !югроскоп (О пл! соответствует (ЫО А(, й1..шень со~тонг, как п в случае рис 1!В, и: пебззь~ их кпнстаэлов бело-о опояз. осамдс~псыт. на тоикуго плепну ЮО. Верные пятна о.ее ге:з: крнсталлзи (стю спь. по!сргн ( г пзьс, т от ориент,шня кристаллов!, светлые пяте ~ о в., тву. ют том ойлаггх в пю.л . ' С, ю...
рыс были тенеты кристаллами, исчсзнувг:".: ! прои осе п пмгтевлснг я чш!.г»; Сргз гпй размер кристаллов близок к бйй (. Для г 'чения д, ".и зкцвоннаг о («г: э, оь э.:,гоог св был ограничен сравнительно неоо::ьшс . стью ьзип:пп Р с1 .т:,гч и ю псг,:э н.г;ппой в и 22, мы гадим на снкчке отг«г..;-4. гогки. г: ге!, ьо пх нгггеггсивоо намного иеныпе Рнс. 22С. Рис. 220.
Свнмкн ( получепь! тэьвч зке образом. как и рис. 22А и 22В. В давнем случае зп шснь (рнс. 22В( «остоит нз меиыпих кристаллов (средний размер около 200 А) и в гоздаииндийгракциоипой к ртины угаствует гораздо большее их число. Кольца нядиы отчетливее. но нидивидуалюгые тачки еще хорошо различимы. Снимки нв рис.
22А и 22С следует сравнить с рис. 11В, на котором отдслгвые точки вообще не видны, так как снимок ва рис. !4В получен с электронным пучком, проходягцнм через значительно большую часть поверхности пленки. В этом случае следует ожидать резко очерченных колец, так как в мишени одинаково харошо представлены все ориентации кристаллов. Для снимков на рис. 14В, 22А и 22С энергия элект- ронов равна 1ОО кэВ, что отвечает длине волны 0,04А Абсолютно нетривиально то, что в физике не возникает необходимости в других постоянных «типа постоянной Планка».
Рассмотрим соотношение де Бройля, написав его в виде (23а) где р — импульс частицы; >. — длина волны де Бройля. Обе зти величины можно измерить независимо и, имея пару значений (?, р), определить постоянную Планка 6. Замечательным зксперил<ен>пальныл< фактом является то, что для любых частиц мы получаем одно и то же значение постоячной Планка. й)ы схюгли вывести соотношение де Бройля, исходя из некоторых очень простых идей.
Подвергнем теперь критическому рассмотреншо основы этого вывода. 24. В п. 3 — 5 мы предполагали, что с каждой материальной частицей связана волна и что ее групповая скорость равна скорости частицы. 1(роме того, мы предполагали, что описание частицы-волны должно удовлетворять принципам специальной теории относительности. Это означает, что связь волнового вектора (и частоты) волны с импульсом (и энергией) частицы должна быть одной и топ же в любой инерциальной системе. Исходя из этих идей, мы получили соотношения Е= ив, р=АФ, (24а) где Š— энергия; р — импульс; в — частота; Й вЂ” волновой вектор; Ь вЂ” константа, определяемая из равенства Е, = тс» = 7<в, (24Ь) через энергию покоя Е, н «частоту покоя» в,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
