Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Можно ожидать, что такой пакет «расщепнтся» прп отражении от кристалла: часть волны отразится в направлениях счетчиков С, и С,„а в направлениях Се и С, отражения не гудет. Можно ожидать, что такое «расщепление» первичной волны скажется и в других йи1аютЧийпучие явлениях. Например, энергия, переносимая отраженной к счетчику ! ! С, «частью» волны, должна в этом ~ г'« случае быть долей энергии первичного электрона. В действительности на опыте мы этого не наблюдаем, а из опыта Дэвпссона следует, что энергии падающего н отраженного электронов рбУснб!, н если счетчик регистрирует электрон, то это весь электрон, с полным электронным зарядом и всей массой.
Как мы говорили, никто еп.',е не наблюдал трети электрона. Эс!ситрон обладает волновыми свойстваип, но не ',.р;;лап является Ролной в классическом смысле: электронный волновой пакет нельзя расщепить, в противоположность классическому волково»!у пакету. 30. Возможно, .что читатель не вполне ясно представляет себе, чтб мы подразумеваем под «классической волной»; поэтому утверждение, что электрон не являелбся «классической волной», не производит па пего большого впечатления.
Говоря о «классической» волне, мы имеем в виду следующее ее свойство: квадрат модуля амплитуды волны в данный момент времени и в данной точб,е пространства определяет такие физические величины, как, например, плотность заряда пли плотность энергии. Такая идея характерна, например, для классической электромагнитной теории, где квадрат электрического и магнитного полей определяет плотность энергии.
Допустим в качестве примера, что квадрат амплитуды волны пропорционален плотности заряда. Тогда можно вычислить поток заряда в один из счетчиков, и поскольку волна «делится» между счетчиками С, и С„то мы ожидаем обнаружить счетчиком С, лишь половину электронного заряда. В действительности это утверждение верно лишь для среднего из большого числа измерений: выполнив дифракционный опыт с очень большим числом электронов, мы обнаружим, что поток заряда через счетчик С, действительно равен половине полного потока, падающего на кристалл *).
Однако каждый отдельный электрон регистрируется либо счетчиком С„ либо счетчиком С,; заряд отдельного электрона не расщепляется. На языке квантовой механики мы объясняем происходящее следующим образом. Кристалл расщепляет падающую электронную волну на две части. Одна часть распространяется в направлении счетчика С„другая — в направлении счетчика С,. Интенсивность волны в данном направлении пропорциональна квадрату модуля, амплитуды волны.
В квантовой механике интенсивность имеет смысл персии»нос»пи: величина, квадратично зависящая от амплитуды, всегда определяет вероятность какого-то процесса. Рассчитанный по квантовой теории поток через один из счетчиков пропорционален вероятности его срабатывания. Вероятностная интерпретация интенсивностей является отличительноп особенностью квантовой механики. Очевидно, что такая интерпретация противоречит духу классической волновой теории. 31. Вспомним рассуждения, приведенные в п. 47 гл. 4. Рассмотрим мысленный опыт, аналогичный опыту, показанному на рис. 29А, но огличающийся от него тем, что счетчики отнесены на очень большое расстояние от кристалла, скажем на расстояние в один световой год. Предположим, что счетчик С, отметил прохождение электрона.
На:снопе классической волновой теории трудно понять, каким образом такие физические величины, как заряд, энергия и масса, переносимые волной, могут внезапно сконцентрироваться на счетчике С„хотя до этого они были распределены по большой области пространства. Эта трудность исчезает при квантовомеханической вероятностной интерпретации, которая дает согласованное описание происходящего.
Зл, й4ы отмечали, что в дифракционном опыте, схема которого показана на рис. 29А, волна делится на две или несколько «частей». Возникает вопрос: можно ли волну, испущенную в направлении счетчика С„заставить ингерферировать с волной, испущенной в направлении счетчика С,? В случае электромагнитных волн, расщепляемых полупрозрачйым зеркалом, такая интерференция происходит.
Л)ы ожидаем того же и для волн де Бройля. Иными словами, увидим лн мы интерференционные явления, если каким-нибудь образом отклоним волну, идущую в направлении к С,, и «смешаем» ее с волной, идущей в направлении к С,? На этот вопрос следует дать положнтельнып ответ. Мы будем наблюдать интерференцию. Но следует признать, разумеется, что практически выполнение такого опыта с электронами нелегкое дело.
Впрочем, нам и нет необходимости выполнять этот опыт, потому что дифракция электронов на кристалле сама по себе служит исчерпывающим доказательством существования интерференционных явлений. Каждый атом кристалла, «освещенный» приходящей электроннои волной, есть источник дифрагировавших волн, и сово- «) На практике это может оказаться неверным, но для прост оты рассуждений мы предполагаем, что электрон может пройти либо в счетчик С, либо в счетчик С«. купность этих волн образует наблюдаемую с помощью кристалла дифракционную картину. Что означает «совокупность волн образует»? Под словом «образует» мы понимаем сложение амплитуд отдельных волн, в результате чего получается полная амплитуда волны, исходящей из кристалла. Квадрат этой результирующей амплитуды представляет собой интенсивность — величину, определяющую отклик детектора.
33. В и. 39 — 42 гл. 4 мы обсуждали дифракцию фотонов на двух щелях. Предположим, что такой же опыт производится с электронами. Схема устройства показана на рпс. ЗЗА, который идентичен рис. 39А гл. 4. В обоих случаях рассуждения совершенно идентичны и интенсивность 7(г, О), наблюдаемая на расстоя- лг' ниах, больших цо сравнению с ла' расстоянием между щелями, равна ' 2яа -а ~ [ (г, О)= 47а (г, О) соя* ( — ' з!п О), (, л (33а) рмс. ззя. воозражаамыя опыт; янфракгде 7~(г, О) — интенсивность и ' р н лаги на з а э т р .
сгнои паагорнат рнс. ЗЗА гл. Ч, стем при одной открытой щели. За- лишь различием. что источник сааза Б висимость интенсивности от угла О может быть определена счетчиками. Она пропорциональна скорости счета, если опыт выполняется с помощью пучка электронов.
Опыт, полностью аналогичный этому упрощенному мысленному опыту, был выполнен и подтвердил предсказания, следующие из формулы (33а) *). 34. Чтобы наблюдать интерференционные явления, следует открыть обе щели, тогда каждый электрон сможет пройти через любую из них. Чтобы быть уверенным в том, что электрон прошел через данную щель, следует закрыть другую, но прн этом мы, конечно, не сможем наблюдать дифракцию от двух щелей. Поместив счетчики непосредственно за щелями, мы можем сказать, через какую щель прошел электрон, но мы нарушим интерференционную картину.
Скорость счета в обоих счетчиках будет одинаковой. От одного электрона 'может сработать один и только один счетчик. Регистрируемый электрон несет полный заряд и всю энергию первичного электрона. Нельзя предсказать заранее, какой из обоих счетчиков сработает, но можно вычислить и предсказать вероят- *) М511епз1емз бо 1?ййег О.
Веоьа«51ппяеп ппб Меззппйеп ап В1рг1ыпа-1п1ег1егепзеп гпп Е1еК1гопепше11еп.— Ез. 1. РЬуз., 1956, ч. 145, р. 377; см. также: СаатЬегз 17. О. 5сЬ|11 о1 ап Е1ес1гоп 1п1ег1егепсе Раыегп Ьу Епс!озеб Мадпецс Р1пя.— РЬуз. Ееч., 1960, ч. 5, р. 3. В последней работе сообщается об очень интересном явлении, не рассматриваемом в этой книге. Читатель может изучить его самостоятельно.
201 т заи. зяг ность регистрации, найдя интенсивность волны, прошедшей через щель. Читатель должен вернуться к рассуждениям п. 48 гл. 4, где было показано, что при дифракции от двух щелей невозможно указать, через какую именно щель прошел фотон. Те же рассуждения применимы и к электронам. Нельзя создать прибор. который указал бы, через какую именно щель прошел электрон, не нарушив картину дифракции от двух щелей.
35. Несколько слов о терминологии. Обсуждая открытие волн де Бройля, мы говорили о «волнах, связанных с частицей», Это выражение нельзя считать удачным, ибо оно звучит так, будто бы мы имеем классическую частицу, каким-то образом движущуюся вместе с волной. Некоторые называют волну де Бройля «ведущей волной», но и это не лучше. Волна де Бройля не является волной, движущейся вместе с классической частицей и «ведущей» ее.
Волна де Бройля и частица — это один и топг же объект. Ничего другого нет. Реальность заключается в том, что частицы, созданные природой, имеют свойства волны. Если мы хотим подчеркнуть эту реальность, то говорим о дебройлсвской волне электрона, но этот термин является синонимом слова «электроны Извинением за использование плохих терминов на предыдущих страницах служит предварительный и отчасти исторический характер изложения. Этим оправдано, например, такое выражение, как <волна, связанная с частицей».
Теперь пришло время уточнить терминслаю» . Вернемся к опыту с двумя щелями. В этом опыте пет ничего, что указывало бы на классическую частицу, проходящую через одну нз щелей и «управляемую» волной, проходящей через обе щели. Иначе говоря: наше описание происходящего нп в чем не выиграет от такой идеи. Достаточно рассмотреть одну лишь волну совместно с квантовомеханической интерпретацией интенсивностей как вероятностей. Всякие разговоры о «скрытой» частице не имеют смысла. Они были бы обоснованы, если бы мы имели экспериментальные доказательства, что такая частица имеет свойства. не объясняемые квантовой механикой. Таких указаний нет, и мь. должны отказаться от идеи о классической частице, ведомой волной.
Волновое уравнение и принцип суперпозиции 36. Теперь мы постараемся привести доводы в пользу дифференциального уравнения, описывающего распространение волн материи в пустом пространстве и известного как уравнение Клейна — Гордона. Мы рассмотрим идеи, па которых оно покоится. Наиболее общей идеей является предположение, что волновое уравнение, описывающее единичную частицу с массой и, должно быть линейным дифференциальным уравнением. Это означает, что решения такого уравнения удовлетворяют принципу спперпозпции: любая линейная комбинация двух решений также является решением.
Кроме того, мы предполагаем, что каждое решение уравнения, удовлетворяющее некоторым разумным условиям, соответ- 202 Дифференцируя ее дважды по координате х,, получим д д,'Ф(х 1' Р)= — Ю(х Г р) '1 (37с1) м аналогично по координатам х, и хг. Принимая во внимание (37Ь), получаем дг —,г гр(х, 1; Р) — уф(х, Г; Р) = — тггг(х. г; Р), (37е) где через Уг обозначен оператор Лапласа дг дг дг угуЂ = — + — + —. дкг дхг дхг 1 г г (371) 'Уравнение (37е) и есть то, что мы ищем.
Мы видим, что ему удовлетворяют все плоские волны вида (37а), т. е. волны с любыми згг. мт воз ствует, по крайней мере в принципе, определенной физической ситуации. Эти предположения имеют далеко идущие физические следствия. Амплитуды волн материи могут складываться, подобно амплитудам электромагнитного поля.
(Уравнения Максвелла также линейные дифференциальные уравнения.) Читатель мог заметить, что прн рассмотрении дифракции волн материн от атомов на поверхности кристалла или от двух щелей мы неявно предполагали линейность. Так,мы складывали амплитуды волн от каждой щели, чтобы получить результирующую амплитуду, Мы увидим, что эта операция является следствием общего физического принципа. 37. Попьпаемся теперь найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяли бы любью волны материи, описывающие частицу с массой т. Начнем с дифференциального уравнения, которому удовлетворяют все плоские волны: ф(х, 1; р) —. ехр ((х р — Йо1). (37а) Мы пользуемся системой единиц, в которой гг=с=1, и обозначаем импульс (равный волновому вектору) через р, а энергию (равную частоте) — через ю. Каждая такая плоская волна задается (с точностью до постоянного множителя, определяющего амплитудуволны) импульсом р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
