Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В этом столкновении энергия частицы не меняется, но решетке передаегся импульс гу=р! — ре. Покажите, что возможные направления днфрагировавших волн определяются следующим простым условием. Компонента переданною импульса гу в направлении решетки (вертикальная компонента на рисунке) должна быть кратна величине 2ягга, где а — расстояние между штрихами.
Таким образом, вертикальная составляющая переданного импульса «квантуетсяг. 6. а) Раппа!игрим дифракцию видимого света па решетке, показанной в предыдущей задаче. Пусть постоянная решетки а равна двум длинам волн света, а угол падения волны равен 45 . Найдите все углы, под ко»прями выходит дифрагировазшие волны.
Сделайте чертеж. б) Изменим наш мысленный опыт, поместив решетку между двумя пластинамп из стекла, имеккцего показатели преломления 1,51 (крои) и 1,74 (флинт). Толщина кажаой пластины равна 5 мм. Свет падает со стороны пластины из крона. Длина волны, постоянная решетки н угол падения те же, что и в первой части этой задачи.
Найдите направления выхода дифрагировавших лучей из нашей двухслойном пластинки и сравните результат с первой частью задачи. 7. В опыте Лаан«сонэ — Джермера электроны с энергией 88 эВ падают перпендикулярно к поверхности металлического кристалла, атомы которого расположены в квадратной решетке с периодом а=2,9 А. Начертите схему, иа которой нанесены точки пересечения дифрагировавших лучей с плоскостью, параллельной поверхности кристалла н находящейся от нее на расстоянии 5 см. Чертеж должен быть в соответствующем масштабе, чтобы показать все дифрагировавшие лучи, 8.
Некогда жил физик, который выполнил описанные выше опыты дая ряда металлов. В своем отчете он написал: «С металлом А я наблюдал дифракционпую картину трехкратной симметрии, с металлом  — четырехкратной, с металлом С вЂ” питикратной, с металлом () — шестикратной». (Картина имеет и-кратнун» симметрию, если она не меняется при повороте на угол 2м/я.) Обсудите подробно этот отчет. 9. Нейтроны из реактора проходят через колонну из поликристаллического бериллия. Зто вещество выбрано потому, что оно слабо поглощает нейтроны. Оказывается, что нейтроны, вышедшие нз колонны, «холодные», их кинетическая энергия соотаетствуег температуре, меньшей 50 К, «Тепловые» нейтроны, кинетическая энергия которык отвечает комнатной температуре, сильно рассеиваются бериллием.
Можете ли вы объяснить это явление? 10. Предположим, что волновая функция ф(х, Г) является решением уравнения Клейна — Гордона для положительной частоты (масса частицы равна ш). Пусть это решение описывает частицу (волновой пакет), достаточно четко ограниченную в пространстве и движущуюся в более или менее хорошо определенном направлении. Рассмотрим функцию фо(х, 1), заданную следующим образом: фд (х, 1) = ф ( — х, Г), а) Покажите, что фд(х, 1) также является решением уравнения Клейна— Гордона для положительной частоты.
б) Волновая функция фя (х, г) отвечаег другому состоянию движения частицы. Поясните физически, как это состояние движения фа(х, 1) связано с состоянием движения, описываемым волновой функцкей ф(х, 1). (Здесь может быть высказано ясное и простое полов«ение. Подумайте сперва о «средних» траекториях в обоих случаях.) 11. Зта задача аналогична предыдущей, но труднее. Рассмотрим функцию »рт.(х, 1), заданную уславием фг (х, 1) = ф' (х, — 1), где звездочка означает комплексное сопряжение. а) Покажите, что фг(х, 1) также является решением уравнения Клейна— Гордона для положительной частоты.
б) Поясните физически, как связаны друг с другом сосшяния движения, описываемые волновыми функпиями фт (х ф и ф(х т). Дополнительная литература Существует огромная литература по теории линейных дифференцнальнык уравнений в частных производных. Читатель познакомится с ней в свое время, но сейчас мы обращаем его внимание на монографию, сыгравшую большую роль в физике: Курант Р., Гол»берт Д. Методы математической физики. Т. 1 н 2.— М.г Гостехиздат, 195!; 2-е изд.
— М.:Мир, 1964. Во втором томе рассмотрены дифференциальные уравнения в частных производных. Первый том посвящен разделам математики, особенно важным ддя физи- нов: фурье-анализу, теории матриц и векторных пространств, теории некоторых обычных лн .е!иых днфбмренцяальных уравнений. Важнейшие области математики, которые позже сыграли большую роль в придании матемапшеской строгости квантовой механике, были развиты по пи одновременно с ней. Д. Гильберт из Геттингенского университета был одним из ведущих математиков в этой области. Бесконечномерное векторное пространство, столь важное для современной формы квантовой механики, названо в его честь гильбертовым пространстом. Первоначально Гильберт не имел в виду физические применения своей теории линейных пространств, но открытие квантовой механики стимулировало дальнейшие исследования, связанные с физическими применениями.
Этот период характерен плодотворным взаимодействием между математиками н физиками. Фон Ттейлан Н. Математические основы квантовой механики. — Мн Наука, 1964. Матричная механика рассмотрена во многих учебниках па квантовой мехзнике. В качестве вводной книги, в которой рассмотрен и применен алгебранчесшгй подход к квантовой механике, можно рекомендовать: Фсцнлнн Р...фейтон Р., Сэндс М. Фейнмановскье лекции по физике. Вып. 8 н 9. 1(нантовая механика. — Мн Мир, 1966, 1967.
В данной книге очень слабо затронута физика твердого тела. Из вводных мы рекомендуем: Китшгль Ч. Введение в физику твердого тела.— Мл Физматгиз, !962. В ней рассмотрено, в частности, строение кристаллов, теория дифракцни рентгеновских лучей, теория фононов. Представляют интерес также следующие статьи яз «Бс1еп961с Лшепсапм Оагган К. Тйе Янаи!шп Тйеогу, 1952, Магсй, р. 47. 17аггош К.
Веч!зз!оп апб С«егшег, 1948, Мау, р. 50. Ясйгбйлйег Е. ЧГЬа! Ь МаИег, 1953, Яер!., р. 52. Моглзоя Р., Моггфоп Е., Тйе ь!ец!гоп, !951, Ос!., р. 44. Сатм С. Тйе Ргшс«р1е о1 «1псег!а1п!у, !958, Лап., р. 51. ГЛАВА 6 ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ Принцип неопределенностей Гейзенберга 1. В двух предыдущих главах мы узнали, что все частицы обладают волновыми свойствами. Движущаяся частица, импульс которой равен р, ведет себя подобно волне, причем соотношение между длиной волны и импульсом частицы Л=Л'р является универсальным соотношением, справедливым для любых частиц.
Мы обращалп внимание читателя па то, что волновые свойства частицы нельзя свести к представлению о некоторой «ведущей волне», какпм-то образом связанной с классической частицей. Свойства реальной физической частицы нельзя свести к свойствам более привычных нам объектов. Волновые и корпускулярные свойства физических частиц являются различными аспектами их впутрсш|сй природы. 2. Мы показали, что состояние движения частицы может быть описано комплексной волновой функцией ф(х, 1). Для изолированной частицы эта волновая функции удовлетворяет уравнению Клеяна — Гордона с тем дополнительным условием, что в фурье-представление волновой функции входят только положительные частоты.
Мы показали, что удовлетворяющее этому условию решение можно получить, если задать решение уравнения Клейна — Гордона ф(х, О) в момент времени 1= 0 (или в любой другой произвольный момент времени). Эта начальная волновая функция совершенно произвольна, и мы имеем поэтому чрезвычайно большое разнообразие волн, соответствующих различным состояниям движения частицы. Важно представлять себе, что волна в квантовой механике не должна быть подобна сииусоидальной волне.
Такое подобие является совершенно частным случаем. Уравнение Клейна — Гордона не накладывает никаких ограничений на вид волны в данный момент, но определяет зависимость волновой функции от времени. Это ограничивает, однако, возможный характер волны для двух различных моментов времени. Волновая функция ф(х, 1,) в момент времени 1= 1, однозначно определяет волновую функцию во все другие времена и тем самым однозначно определяет состояние движения частицы. В этом смысле квантовая механика' является детерминистической теорией. 3. Рассмотрим теперь состояние движения частицы, описываемое начальной волновой функцией Ф (х, О). Что можно сказать о положении и импульсе частицы в момент времени 1=0? Мы говорили, что амплитуда волны должна быть истолкована в понятиях вероятности.
Частицу вероятнее всего обнаружить там, где амплитуда волновой функции велика. Более точно, квадрат мо- 216 дуля волновой функции в данной точке является мерой вероятности обнаружить частицу (например, с помощью «небольшого» прибора) вблизи этой точки. Если начальная волновая функция такова, что ее амплитуда равна нулю всюду за пределами малой области, то можно утверждать, что (в момент 1 =- О) частица находится в пределах этой области и ее положение известно довольно точно. С другой стороны, если начальная волновая функция распространяется на большую область, в пределах которой ее амплитуда мало меняется, то нельзя приписать частице определенное положение; ее положение в момент времени ( = 0 известно с болыпой неопределенностью. Итак, из волновых представлений естественно следует, что точное положение частицы (в данный момент) в Обпйем случае не может быть задано.
Точность, с которой известно положение частицы, зависит от ее состояния движения. Возможны волновые функции (состояния движения), которь~е определяют положение частицы с малой погрешностью, но возможны и Я, волновые функции другого типа> У определяющие положение частицы с погрешностью, не лучшей, например, светового года. 4. Аналогичные соображения справедливы и для другой переменной, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
