Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 55
Текст из файла (страница 55)
для импульса. Им- ПУЛЬС И ДЛИНЯ ВОЛНЫ СВяааНЫ СООТ- тр„истаа Волина квантовой механике, НОШЕНИЕМ дЕ БрОйЛя, ПОЭТОМУ ИН. кас(правило, ие сииусокдальньав дан- ный момент времени. Пронввольная ТУИТИВНО ЯСНО ЧТО,*' НЕЛЬЗЯ ТОЧНО волна является пронавольиой фувкпней знать импульс, если плохо опреде- „',";"„'„',„"„",",„,".„",,'„„'.,' т1',;,р',"фд„',;„' „"„' лена длина волны. Чтобы указать казаса ае„'сстве'~.а~я часть.
волновой фукнпии. В обмен случае„ волновая длину волны, необходимо, чтобы ' функ, я яви~~ется коиплекснов„ волновая функция имела хотя бы некоторые свойства периодичности. Протяженная синусоидальная волна имеет определенную длину волны, но для нерегулярной волны произвольной формы понятие длины волны вообще неприменимо. Таким образом, точность определения импульса зависит от состояния движения частицы: импульс может быть определен весьма точно в одном состоянии и лишь очень грубо в другом.
Гейзенберг показал, что, хотя не существует пределов точности, с которой можно определить либо импульс, либо положение частицы, имеется принципиальный предел для точности определения этих 217 И !1~ величин в один и тот же момент времени (т. е. для данной волновой функции), Зто утверждение имеет точную математическую формулировку в виде знаменитого принципа неопределенностей Гейзенберга, сформулированного им в 1927 г.*). Мы получим этот принцип с помощью простых интуи- Р тивных соображений. 5. Начнем с волн де Бройля в одномерном пространстве.
Для простоты возьмем систему рис. еА. пример ьолиоваго дуге, для кото- ЕЛИНИП, В КОТОрой Ь=-1. В ЭТОМ аго нанятое Ланям волны не имеет смысле. ля твнаго цуге импульс определен очень СЛуЧВЕ ДЛИНа ВОЛНЫ И ИМПУЛЬС плохо. Это гйревсдливо и для всех волн, изобрвжеивых ня рнс. УА, зе исключением бУДУТСВЯЗЯНЫформуЛой Х=2П)р юг си:о волны сверху и понятия волнового вектора и импульса совпадают. с|) ((тц,|йт-,~(Г)г!! '(( ((!)и() '(()(~ф Наши рассуждения будут основаны иа графическом изображении волн. На рис. 5А изображены четыре различных волновых цуга конечной протяженности (независимой переменной ,ф является координата х).
В общем случае волновая функпня является комплексной величиной и ее графическое изображение вызывает трудности. Мы можем, однако, изобразить в отдельности вещественную и г) мнимую части волновых функций, и читатель может считать, что на рис. 5А изображена одна из них. На всех графиках показаны «прерванные» синусоидальные волны, описываемые функцией г) з(п(рх) в той области, где они рис. ВА. К отношению неопределенвастеа НЕ ИСЧЕЗаЮт. ТаКИЕ ВОЛНЫ, «ОбЛля ноординеты н импульсе. Тамно определенное пологкг пге требует короткого нуте резанные» с обоих концов, раволн.
Точно и вестныв импУльс требует Зумсстея, НЕ яндяЮтся ИСТИННО протя кеиного дуга синусоидельных волн Обе требсвеннн исключеют друг друге. о! СниуСОидаЛЬНЫМИ, ПОЭТО»|у ОТВРПолсжение апрелеч *во плахо: импульс определен хорошо: б! положение определено ЧВЮЩВЯ ИМ ДЛИНа ВОЛНЬ| (И ИМ- пульс) не может быть точно опженис определена харашо: импульс определен плохо; М потоженве определено очень рсдЕЛЕНВ; ТОЧНЫМ ЗНЯЧЕНИям этих величин отвечает «чистая» синусоида, простирающаяся от — Оп до + о. в] Не|зепбегл !Гг. ()Ьег г!еп апис!гап!!Снеп 1пнаи г!ег Чпап!еп!!геоге!!сьев К!Пенза!Ис ппа |!ес!таино.— Ев.
1. Р!тув. !927, у. 43, р. 172. 218 Обращаясь к рис. 5А, замечаем, что чем точнее известно положение частицы, тем хуже мы знаем ее импульс. Обозначим неопределенность в положении х через Ах. В качестве грубой меры неопределенности положения можно принять длину волнового цуга; если он состоит из и полных волн, то Ах п).=--2пп(р, (5а) где д — длина волны. Однако ясно, что чем больше число полных колебаний в волновом цуге, тем точнее известна длина волны. В ка- честве грубой меры относительной неопределенности для длины волны можно принять величину ал ар и и д р (5Ь) где Ар",,— неопределенность в импульсе (поскольку Х=2п(р, то АЛ~Л=Лр(р). Из (5а) и (5Ь) получаем следующее утверждение о порядке величины произведения Ах Ар: Ах Ар 1.
Мы опустили множитель 2п, так как нас интересует лишь оценка порядка величины. Наше определение Ах и Ар не точное, а лишь качественное, поэтому и результат лишь качественный. 6. Выражение (5с) является соотношением неопределенностей. для частного случая волн, показанных на рис. 5А, Соотношение неопределенностей, справедливое для общего случая любых волн, имеет форму неравенства.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим волну другого типа, показанную На рнС. 6А. ОЧЕВИЛНО, ЧтО у ЗтОй нне'аадано столь же каохо, «ая и для иао. браженного яа рнс, бл, о. В данном случае ВОЛНЫ ПрнбЛИЗИТЕЛЬНО Та ЖЕ плохо определен я импульс, во всяком случае гораадо хуже. чен на рис. Бд, о. СоотноНЕОПрсдЕЛЕННОСТЬ В ПОЛОЖЕННИ, тление иеопределенностея имеет вид нерааен- ЧТО И у ВОЛНЫ и) На рИС. 5А, НО ства; можно представить себе волну, для «отороя неопределенность как положения. НСОПРЕДЕЛЕННОСТЬ В ИМПУЛЬСЕ (В так и импульса проиаеольно велика длине волны) здесь значительно больше. Поэтому более правильное выражение принципа неопределенностей имеет вид Ах Ар~ 1. (ба). Ах„йр„лэ1, а= 1, 2, 3. (7а~, л19 Это то же самое соотношение неопределенностей, которое мы весьма кратко обсуждали в гл. 1.
7. Рассмотрим теперь волны в трехмерном пространстве. Заметны, прежде всего, что все сказанное об одномерной волне применимо к каждой координагеотдеаьно. Таким образом, если х„и р„(а=1, 2, 3) — декартовы координаты н импульсы частицы, то С другой стороны, частица может быть весьма точно локализована в просп>ранстее, скажем, в направлении 1, а ее импульс может быть известен с большой точностью для направления 2. Читатель должен вообразить волновой пакет, стянутый в узкую область, параллельную оси 2, но далеко распространившийся вдоль этой оси.
В этом случае координата к, частицы известна точно. В направлении оси 2 мы можем иметь почти периодическую волну, распространившуюся на большое расстояние, а это означает точное знание импульса р.. При этом точность определения координаты х, частицы никак не ограничена точностью определения компоненты импульса р,, а это означает, что в общем случае Лх„Лра) 0 для я~-'>'.
(7Ь) Неравенства (7а) и (7Ь) явля>отея соотношениями неопределенностей для волн (частиц) в трехмерном пространстве. 8, Чтобы развить этн идеи. вернемся к представлепшо пропзвольнои волны в виде суперпозиции плоских волн: ф (т, О) —.= )г д» ( г) А (7>) охр и:н о!, (8а) где А (Р) = (2 ) " 1 гр (х) Ф (х, О[ а .Р( — 'х 7>, (8Ь) ( ) Мы обсуждали это представление в и. 39 — 44 гл. 5, где было сказано, что из любого из этих выражений следует другое.
Допустим теперь, что функция А (р) локализована в очень узкой области пространства импульсов. Это означает, что А (т>) велика лишь в непосредственной близости к некой точке р= — р», а повсюду в другом месте мала. Для простоты можно даже считать А (и ) исчезая>и(е .малой всюду, за исключением узкоч области около р,, Обращаясь к интегралу (8а), мы интуитивно о>кидаем, что функция ф(х,0) не будет ограничена малой областью пространства, а будет иметь вид приближенно плоской волны с импульсом р,.
Действительно, рассмотрим крайний случай, когда ширина области, где А (о) отличая от нуля, стягивается к нулю. [Прп переходе к такому пределу амплитуда А(р) должна возрастать, в про>ианом случае интеграл, дающий значение >[>(т, О), обратится в нуль 1 Читатель видит, что чем лучше локали»евана функция А (7»), тем шире область функции ф(х,0). Существует, однако, замечательная симметрия между уравнениями (8а) и (8Ь), из которой следует, что чем лучше локализована функция >[>(х, О), тем более размыта функция А (р).
Если функция ф(х, О) корон>о локализована, т. е. исчезает за пределами узкой области вблизи значения т„то положение частицы хорошо определено. В этом случае плохо определен ее импульс, как это можно видеть из формулы (8а). 9. Зтп идеи допускают более точное выражение, и можно связать степень «концентрации» функции А (р) со степенью «концентрации» функции ч>(х, О). Результатом является соотношение неопределенностей: точность определения положения обратно пропорцпональ- 220 на точности определения координаты..Мы обещали читателю, что в этой книге он не будет иметь дела с теорией интеграла Фурье, поэтому лишены возможности произвести строгий вывод соотношения неопределенностей"'). Нашей целью было лишь качественное понимание этого соотношения. Как мы видим, сама идея предельно проста.
Если положение частицы задано точно, волновой цуг должен быть очень коротким. Но это условие несовместимо с точным знанием импульса, когда волновой цуг должен содержать бочьшое число полных периодов синусоидальной волны. Из волнового описания частпць! немедленно следует, что ее положение и импульс нельзя одновремсняо определить с неограниченной точностью.
Вернемся к краткому рассмотрению физического значения соотношений неопределенностей в п. 20---26 гл. 1. Теперь должно бы гь совершенно ясно, что эти соотношения не связаны с неучитываемыми «воз лущениями», которые наши измерительные приборы вносят в классическое движение классической частицы.
Смысл соотношений неопределенностей в том, что они устанавливают пределы, за которымп классические идеи перестают действовать. Для квантовомеханической частицы (волнового пакета) такие понятия, как одновременно измеренные гпочног положение частицы и тонное значение импульса, просто не имеют смысла. 10. Прп каких условиях электрон можно считать классической частицей, подобной заряженному <биллиардному шару»? Эти условия аналогичны условиям справедливости геометрической, или лучевой, оптики: линейные размеры прибора, через который проходит частица.
должны быть гораздо больше длины волны. В противном случае мы будем наблюдать характерные для волн дифракционные явления. Обозначим через с) линейный размер прибора, которым может быть диаметр линзы или ширина щели, а через К вЂ” дебройлевскую длину волны частицы. Чтобы классическое описание было достаточно точным, необходимо, чтобы с~~>);. Так как 1=2п)р, то это соотношение можно записать в форме !10а) В системе единиц СГС написанное соотношение имеет внд с)рз й. Это тот же критерий, который мы обсуждали в п. 20 — 20 гл. 1, 11. Для иллюстрации применений соотношения неопределенностей попробуем выяснить, с какой точностью можно задать классическую траекторию в частном случае электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
