Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 53
Текст из файла (страница 53)
С первого взгляда это кажется непонятным; утверждение, что состояние (движения) частицы описывается вектором в комплексном векторном пространстве, может показаться лишь новой формулировкой принпипа суперпозиции, которому удовлетворяет решение волнового уравнения. При дальнейшем изучении квантовой физики мы поймем, однако, сколь велико значение этой идеи. Например, благодаря тому, что волновые функции образуют векторное пространство, можно упростить многие практические вычислительные задачи.
Для векторного пространства вычислительные х.етоды являются, по существу, алгебраическими, поэтому становятся важными алгебраические аспекты решений дифференциальных уравнений. Следует заметить, что алгебраические методы имеют 210 большое преимущество (в смысле экономии вычислений) перед прямым решением дифференциальных уравнений, особенно для задач, характеризующихся специальными симметриями. В этой книге мы не сможем привести соответствующие примеры, тем це менее важно обратить внимание на указанное обстоятельство: кажущаяся весь~а абстрактной теория векторных пространств ведет к большому упрощению решений ряда практических задач.
Одним из аспектов такого упрощения является упрощение обозначений. (Вопрос обозначений нельзя считать второстепенным. Неудачные обозначения мог) т затруднить, а удачные облегчить решение задачи.) 53. Матричная механика Гейзенберга является примером такой формулировки квантовой механики, в которой главное внимание .уделено векторному аспекту теории, а волновые уравнения играют второстепенную роль. На первый взгляд кажется, что между теорией Гейзенберга н волновыми теориями, примером которых является волновая механика Шредингера, существует большое различие.
В действительности же они совершенно эквивалентны и ведут к тем же самым физическим следствиям. Онн имеют общую основу, которой является теория абстрактного векторного пространства. Мы не будем рассматривать теорию Гейзенберга, так как читатель еще не обладает достаточной математической подготовкой и не знает теории матриц, к тому же мы не хотим перегружать книгу отступлениями. Первая работа Вернера Гейзенберга по квантовой механике относится к 1925 г.*).
В этой работе матричная механика не была сформулирована в явной форме. В то время Гейзенберг еще не понимал, что его математический аппарат имеет матричное представление. Связь его теории с теорией матриц была вскоре выяснена в работе Макса Бориа и Паскуаля Иордана, имевшей большое значение **). 54. Читатель может заметить, что исторически матричная механика предшнсптовала волновой механике Шредингера. Нет сомнения, что если бы историческая последовательность открытий была обратной, то вскоре за волновой механикой Шредингера появилась бы и матричная механика как другая формулировка волновой теории. Однако этого не произошло.
Действительная последовательность открытий в настоящее время кажется почти невероятной, так как матричная механика была одним из наиболее удивительных свершений в физической теории. Физическая эквивалентность матричной и волновой механик была показана Шредингером в 1925 г. ***). з) Неиельегд %'. ВЬег Чоап1епщеогецзсЛе !Лпбепщпй !Ппета1ысьсг ппд гпесЬап!зсЬег ВеыеЬнпкеп.— 2з. 1. РЬуз., 1925, ч. ЗЗ, р. 879. *") Вогл М., Хогг)ал Р.
2нг чоап1ептесьап!Л, 1.— Хз. 1. РЬуз., 1925, ч. 34, р. 858. Дальнейшее развитие прннпнпов квантовой механики произведено згнмп авторами н Гейзенбергом в работе: Вогл М., Оеиельегй %'., 7огг)ал Р. 2пг г3пап1епгпесьаппо Н.— 2з. 1. РЬуз., 1926, ч. 35, р. 557. з ° ь) Бсагойляег Е. Вьег дав гГегьа!1п)з бег Не)зепЬегк-Вогп-Зогдапзсьеп Г3пап!ептесьап)Ь зп бег те!пеп.— Апп. б. РЬуз., 1926, ч.
79, р. 734, 211 Задачи 1. Разрешаащач сила микроскопа определяет предел возможности рассыотреть с с~о помощью детали исследуемого объекта. Можно выразить разрешающую силу через наименьшее расстояние между двумя точиами объекта, при котором онн еще видны как две отдельнь«е точки. В оптическом микроскопе максимально возможное разрешение ограничена длиной волны используемого для освещения света: невозможно рассмотреть детали объекта, размеры которого л«ного меньше длины волны.
Значительно унеличить разрешающую силу позволяет электронный мик!юсьап. Вместо стеклянных линз в нем используются электрические и магнитные поля соответствующей конфигурации. Рассмотрим типичный электронный микроскоп, в катаром освещение объекта производится пучком электронов с энергиеп 50 к»В. Сравните максимальную разрешающую силу такого электрояного мик:;скопа н аптйческага микроскопа. Сне!уст зачл«ть, что и действительности разрешающая сила, достижимая в мпкг:снопе (электронном или оптическом), зависит от особенностей его констрткиип —, .шстностп от угла, под которым свет, рассеянный объектом, попадзег з микраск ' .
Па техшшсскчм причинам этот угол гораздо меньсы для электронного »шщъзскопа. нежели для оп~нивского, поэтому разрешающая сила электронного мик, ссчопз гораздо ниже максимальнага теоретического значения. Несмотря на это, разрешающая сила электронного инкроскопз во многа рзз больше, чем у оп. тичсского. 2. Рассмотрим газообразный гелий при комнатной температуре. Гелий — одина»очный газ, и средняя энергия его атомов при температуре Т равна Ее=(З!2УЙ'.
Это выражение позволяет найти среднюю скорость (и импульс) атомов гелия. а) Вычис:ште средшою скорость (в сантиметрах в секунду) атомов гелия. б) Вычислите (з сантиметрах) длину волны де Бройля для этой средней скорости. Сравните ючияу волны со средним расстоянием между агавами газа. (Предположим, чта давление ранна ! атм, и определим среднее расстояние по известной плотности.) Мшкно ожидать, что квантовые эффекты играют роль, если длина волны де Бройля будет больше среднего рассгояния.
Классическое описание годится в противоп ложном случае. В классическом представлении газ — это некое количество «биллиардных п»аров», непрерывно стзлкива»ощихся друг с другом, тогда как с точки зРения квантовой механики газ есть совокупность взаимодействующих волн Поэтому интересно выполнить указанное сравнение для различных температтр. в! Плотность жидкого гелия равна окало 0,15 г)см». Температура сжиження гелия при атмосферном давлении являегся наиннзшей достижимой температурой.
По аналогии с задачей б) сравните длину волны де Бройля со средним расстоянием между молекулами при температуре 0,0! К. г». Выполните то же сравнение длины волны де Бройля и среднего расстояния для электронного «газа» в куске меди. Существуют модели металла, в которых электроны рассматрнзаюття как газ, заполняющий объем металла, подобно тому как а.
омы гелия заполняют сосуд. Допустим, что в кристаллической решетке меди на каждый атом приходится один свободный электрон. В этом случае расстояние между атомами равно среднему расстоянию между электронами. 4. Рассмотрим трехмерную задачу о касаи падении частицы на плоскость, разделяющую области Я, и Я». Допустим, что в большей части областей Яг и Е потенциальная энергия частицы постоянна и равна )гт и У» соответственно. В области, примыкающей к границе раздела, потенциал быстро меняется ат Р, до )г». Таким образом, в областях Яг и Р» на частицу не действуют никакие силы, но вблизи поверхности раздела она испытывает большую силу, пернендикулярну~о к поверхности, Пусть полная энергия частицы равна Е, причем Е>)гг н Е>рю Траектория частицы будет испытывать «преломление» на границе раздела, и мы рассмотрим эта преломление с классической и квантовомеханической точек зрения.
а) Получите закан преломления с помощью классической механики. В этом случае при прохождении через поверхность раздела изменяется нормальная компонента импульса частицы, но касательная к поверхности компонента остается неизменной. Закан сохранения энергии дает нам импульс н области йзт, если мы знаем нмнульс в области йгг, что позволяет найти закон преломления. б) Получите закон преломления с помощью волновой механики н покажите, что он совпадает с классическим результатом. Вам нужно найти связь между энергией Е.
пмг) льсом )т. частотой <» и волновым вектором й частипы. Наши предыдущие рассуждения в тексте откосились к области, для которой потенциал равен нулю, и в лаююм случае ие годятся. Подумайте, как нужно дополнить теорию в нашем случае. Здесь возникают следуюпхне вопросы: будет лн частота одинаковой по обе стороны поверхности? Будет ли непрерывна тангенцвальная составляющая волновпго вектора вблизи поверхности) Всегда лп верны соотношения р.=йй и Е=йшр Вы знаете ответы на зти вопросы: классвческнй закон преломления, полученный в эздьче э), должен быть верен. Таким образом, вам известен результат, который дц.мза дать кван~оная теория в этом случае.
в) Согласно классической динамике частица не может быть отражена на поверхности раздела; возможно только яре гожзенггг. Свет. падающий на гговерхпость разделэ двгх диэлектриков, преломляется н отражается. Что будет происходить в квант юг ггеханическогй теории, т. е, в слу гас реальных частиц? 5. Рассмотрим днфракггнонную решетку, ггокггззгггг) ю на рис) пке к чтой задаче. Так я гш«тка состоит из большого числа тонких парад.гельиых царапин, нанесенных га плоской поверхности (стекло, металл, пласп к и т. и.) на равном расстоянии друг от друга. Лля простоты рассмотрим двухмерную зада г!. Пусть падзюгцач яз решетку плоская волна распрострзиястся в направлении. которое лежит ь пл.
гкосгн чертежа (перпендикулярной к пгоскости решетки! 1гееегеегее 1 ! ! к задаче 3. Схеиатпчгски показзпяая дкфракпяояпся решетка. ггмпульс падшощей ка решетку полям ге зяачея вектором р. Расстояяие между соседними пприхачи решеткп равно а. цгграаа поь аао простое геометрическое построеяие,гозаоляюгкес яайга капраалекия дифракпиоаяых максимуиоя. Коиечиьгй импульс определяется пересечением окружности.
ра диус которогг равен модулю импульса. с сеиейстаои параллельных ляикй. соотаегстаующих разрешеяяым зкачгкиям аертпкалькой состазляющей переданного решетке импульса Паказагпыс ., Гпсгяг.с еектары соответствуют десяти яозможпым конечным иипульсаи. яклю- чая яачалыгый Пусть частота (энергия) волны равна ш, а волновой вектор (импульс) равен РП Найдите возможные направления днфрагировавших волн и покажите, что это ожно сделать такам образом. Частица с импульсом р! сталкивается с решеткой. ,!осле столкновения ее импульс будет ра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
