Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Рассматриваемая ситуация показана на рис. 1!А и 1!В. Слева на экран падает пучок электронов, каждый из которых описывается плоской волной. Экран имеет щель шириной г). Мы хотим выбрать такое значение с1, чтобы пятно на расположенном справа экране, созданное прошедшим<через щель пучком, было возможно меньше. Расстояние между обоими экранами равно 1„ *) Обычный вывод соотношения неопределенностей см. в книге: Шифф .7.
Квантовая механика. — Мп ИЛ, !957. 221 Предположим, что все электроны имеют один и тот же начальный импульс р. У электрона, проходящего через левый экран, неопределенность в положении в пространстве равна й(. Г!оэтому Рнс. 1!А. Попытка создать узнай пучок электронов, ограннчнв щелью шнрокнй пучок. падающий аа экран слева. Пучок днфрагнрует на щелн, н неопределенность Аб в угле, под которым электроны выходят нз щелн, обратно пропорциональна ее ширине А Размер пятна нв экране справа Ах-б+Е А Я ФМ~ЯЯЯ! Рнс. 11В. Зтн трн схемы показывают, как ширина пучка эавнснт от шнрнны Л входной щслн.
Заметим, «то на этна схемах длина волны элентрона меньше, чем на рнс. 11А. В случае а) пят. на нз экране велико, так как велвка входная щель. Если снльно уменьшать размер входной щели, как это показано в случае з), пятно все же остается большем за счет двфракцяя пучка. Нанменьшее пятно мы получнм. выбрав И-УгМ.
В этом случае размер пятна будет того ые порядка. Такой оптимальный выбор показан в счучае б) неопределенность в импульсе йр- —. ! (1!а) Предположим, что Ьр мало по сравнению с )у. В этом случае мы можем выразить (11а) через неопределенность ЬО в значении угла 9 (угол отсчитывается от направления первичного пучка), под которым электрон выходит из экрана, и ле — — "'- — '. Р Рб (1 1Ь) Пусть Лх измеряет размер пятна на правом экране. Величина Лх определяется двумя факторами — размером отверстия в левом экране и расширенном волны вследствие дифракции на щели (рис. 11Л).
Таким образом, (! !с) Лх й+ ЕЛО й+ Црй. Поскольку длина волны Х=2п!р, то можно записать (1!с) в виде Лх-й+и/й, (1! й) если пренебречь множителем 2п в последнем слагаемом. Здесь мы хотим оценить только порядок величины, н поскольку конечный результат имеет более удобный вид без множителя 2п, то мы его опускаем. Итак.
если величину й сделать очень малой, то второе слагаемое в (110), возникающее вследствие дифракции, станет очень большим, а если й велико, то велико первое слагаемое. Нетрудно вычислить оптимальное значение й„ для которого величина Лх, оцененная по (!!с1), проходит через минимум. Мы находим й, = $' Х1., Лх ы — — 2й„= 2Р )й .
В оптимальном случае размер пятна иа экране будет в два раза больше ширины щели. (Множитель 2 не следует понимать буквально. Вспомним, что мы оцениваем порядок величины и считаем 2п 1.) Пусть (. =1 м, а энергия электронов равна 150 эВ. Этой энергии отвечает длина волны ).-1Л, и из оценки (1! е) следует, что размер пятна на правом экране может быть порядка 0,02 мм.
Таким образом, с макроскопической точки зрения траектория электрона между двумя экранами оказывается достаточно узкой. 12. Подробное изучение условий, при которых физическую систему можно описывать законами классической физики, — интересная, но не простая задача. Иногда поступают следующим образом. Начинают г того, что решают задачу квантовомеханически, а затем полна.от 11=0, чтобы перейти к классическому пределу. Такой подход недостаточно строг. Мы не можем полагать Ф=-О, так как знаем, что в действительности Ь= — 1 (в соответствующих единицах).
Ислшннал проблема в том, чтобы показать, каким образом система, в денствнтельности управляемая законами квантовой механики (как вооб:це вга системы), кажется с достаточной точностью управляемой классическими законами. При рассмотрении этой проблемы естественно пользоваться системой единиц, в которой й=!, как было сделано в нашем примере.
Вопрос о достижении классического предела имеет много аспектов. Его нельзя исчерпать с помощью какого-либо одного утверждения. Если, например, понимать под «классическим пределомь классическую динамику частиц, то условием его достижения является ненаблюдаемость дифракционных явлений. Мы обсуждали это условие в предыдущем пункте. Чтобы волновой пакет был хорошо локализован и мы могли бы указать его траекторию (интерпретируемую как траектория частицы), линейные размеры щелей, 223 определяющих траекторию, должны быть велики по сравнению с длиной волны де Бройля.
Классической динамикой не ис черпывается, однако, «классический предел». Важно также выяснить условия применимости классической электромагнитной теории. Они отнюдь не сводятся к отсутствию дифракционных явлений, а заключаются в том, чтобы отдельные фотоны не проявляли себя как чагтицы. Мы не станем больше заниматься вопросом о класси ческом пределе. Для дальнейшего достаточно грубых качественных представлений. Читатель должен сам обдумать этот вопрос.
Наш и рассуждения показывают, что условия осуществления «классического предела» зависят от рассматриваемой системы, и это обстоятельство нельзя забывать. 13. В качестве нового примера плодотворного применения соотношения неопределенностей попытаемся оценить с его помощью энергию связи атома водорода. Мы обещали сделать это в п. 26 гл. 2. Воспользуемся системой единиц СГС, в которой соотношение неопределенностей имеет вид Лх Лр ~Ь. (13а) Допустим, что классическое выражение для полной энергии этектрона в электростатическом поле протона да еа Е= — —— (13Ь) 2т г имеет смысл и в квантовой механике.
Переменная р х арактеризует импульс в электронной волне, а переменная г являет ся некоторой «координатой положения» для волны. Первый член в (13Ь) всегда положителен, второй — отрицателен. В основном состоянии системы энергия имеет мин имальное из возможных значений. Мы знаем, что она должна быть отрицательной, в противном случае не будет связанного состояния.
В классической теории, выбрав орбиту электрона достаточно м алого радиуса, можно обеспечить сколь угодно малое значение э н оргии связи. Для такого состояния неопределенность в положении будет мала, и из квантовомеханического принципа неопределенн остей немедленно следует, что в этом состоянии должна быть вел ика неопределенность в значении импульса, что означает, что ве личина рае2п» велика. Иными словами, сделав подходящим выбором малого г потенциальную энергию большой (и отрицательной), мы голучим большое значение кинетической энергии, и если последня я «перевесит», то значение полной энергии будет большим.
С другой стороны, взяв малое значение р, мы будем иметь небольшую кинет ическую энергию, но тогда г будет велико и отрицательная потенц иальная энергия мала. Легко понять, что существует некое оптим альное значение радиуса, для которого полная энергия принимает минимальное значение. 14. Чтобы увидеть, каким образом «баланс» между кинетической и потенциальной энергией приводит к установлению связанного состояния, сделаем некоторые грубые приближения. Заменим не- 224 определенность в положении на радиус г, а неопределенность в импульсе на сам импульс р и перепишем соотношение неопределенностей в виде гр 6. (14а) Для определенности предположим, что ГР = 1». (14Ь) Воспользуемся теперь равенством (14Ь), чтобы исключить г из выражения (1ЗЬ) для полной энергии.
Получаем р' езр Е= —, (14о) вш ф Полная энергия имеет минимум в точке р=р„которую мы получим, приравняв нулю производную дЕ1др: (14б) Го=П1зйее ИМЕЕМ (14е) Решая это уравнение относительно р, и полагая р, = езт1П, г, = Нз/езт, а также ро аэро е гп а з Е= — — — = — — = — Р„. иш ф 2фв (141) Сравним этот результат со значением энергии, полученным в п. 23 гл.
2. Мы видим, что оба результата совпадают. То же следует сказать и о радиусе гш совпадающем со зг ° 'зат =0,53 10 ' см. 15. Разумеется, совпадение наших грубых оценок с точным значением энергии связи нужно считать «случайным». ф Важно лишь то, что мы получили верный У порядок величины как для энергии свя- Рнс.
1ЗА. Если электрон локализован в небольшой области около ядра, неопределенность его положения нала. В этом случае велика неопределенность импульса, что означает больпгую кинетическую энергию элскз рона Его потенцналызая энергия при этом будет отрицательной и большой по модулю Рис. 1зй. Чтобы кинетическая внергия бмла небольшой, электрону должна быть доступна значительная область пространства. У электрона должва быть большая неопределенность в положении. В этом сиучае его среднее расстояние от ядра велико и потенциальная энергия мала по, 'модулю.
Основное состояние определяется компромиссом, прн котором полная энергия имеет н-именьшее возможное значевиев допускаемое принципом неопределенности зи, так и для размера атома и что, основываясь на волновых представлениях, можно понять, почему атомный электрон не падает на ядро. Структура атома является результатом компромисса. Энергия основного состояния — это наименьшая энергия, при которой возможно существование атома. и она является суммой двух слагаемых противополом ного знака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
