Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Попробуем написать линейное дифференциальное уравнение (куда р явно не входит), которому удовлетворяет любая плоская волна. Поскольку оно линейно, то ему удовлетворяет любая линейная комбинация плоских волн и, как мы покажем, любая волна де Бройля, описывающая частицу с массой т, Энергия ог и импульс р частицы связаны равенством юг — р' = т*. (37Ь) Дифференцируя волновую функцию дважды по времени, имеем дг дргр(Х, (; Р) = югф(Х Г' Р).
(37с) значениями р. Поэтому любые волны де Бройля, образованные суперпозицией плоских волн, также будут ему удовлетворять. 38. Волновое уравнение (37е) известно как уравнение Клейна— Гордона. Это простейшее дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют волны де Бройля. Заметим, что электромзгнитные волны в пустом пространстве также удовлетворяют этому уравнению (для фотона и =- О). Читатель легко проверит, что не существует такого уравнения первого порядка (т, е. уравнения, содержащего лишь первые производные по независимым переменным), которому удовлетворяли бы все волны де Бройля. Искомое уравнение должно быть не меньше чем второго порядка, и причина этого в том, что связь (37Ь) между энергией и импульсом является квадратичным выражением.
Повторяем снова, ибо это очень важно: уравнение (37е) описывает распространение частицы только в пустом пространстве, т. е. далеко от всех других частиц. Аналогично, ооснородныс т равнения Максвелла, т. е. уравнения, в которых плотности тока п заряда равны нулю, описывают распространение электромапштных волн в пространстве, свободном от токов н зарядов, т. е. вдали от других частиц. 39. Суперпозиция двух плоских волн, т. е. волна ф(х, ~)=-А'ехр(сх р' — поЧ)+А" ехр(сх р" — т'г), (39а) где А' и А" — две произвольные комплексные константы, тоже удовлетворяет уравнению (37е).
Иными словами. —,",, р(», ~) — ~«ф(», ()=- — ф(~, ~). (39Ь) Рассмотрим более сложную (непрерывную) суперпозицию плоских волн, имеющую вид ф(х, ~) = ) А»(р)А(р) ехр(гх р — из~). (39с) ( О) Здесь А (р) — комплексная функция вектора р. Интеграл берется по всему трехмерному р-пространству, Величина ы зависит от р согласно (37Ь), причем а» ~ О. Иными словами, га = го (р) = )' р«+ и'.
(39б) Волновая функция ф(х, 1), определяемая (39с), также удовлетворяет дифференциальному уравнению (39Ь), Это наиболее общий вид волны де Бройля. Мы предполагаем, что функция А (р) ведет себя достаточно «разумно», так что интеграл в (39с) имеет смысл. 40. В теории интегралов Фурье доказывается следующая теорема.
Если ф(х, О) — достаточно «разумно» ведущая себя функция х и если мы определим функцию А(р) через интеграл А (р) = (2п) ' ~ А»(к)ф(х, О) ехр( — (.к р), (40а) (а) ф (х, 0) = ~ )(«(р) А (р) ехр~(гх р). (4ОЬ) Смысл и доказательство приведенной теоремы связаны с определением «разумно ведущей себя» функц), *. Мы не станем доказывать здесь эту теорему, и вообще нам не понадобится теория интеграла Фурье. Наша цель — выяснить физический смысл теоремы'и показать огромное значение интеграла Фурье в физике. 41.
Постараемся понять смысл этой теоремы. Предполож| м, что ф(х, 0) — волновая функция де Бройля для момента времени 1==0. С помощью интеграла (40а) можно сопоставить этой волновой функции амплитуду А ()я) в пространстве импульсов. Имея эту амплитуду, можно определить новую волновую фуикпию ))',(х, г) с помощью равенства ф, (х, 1) = ) г(",(и) А(р) ехр'()х р — )ю)).
(41а) ») Если мы положим в этом равенстве 1=0 и сравним его с: )4ОЬ), то увидим, что ф,(х, 0)=)р(х, 0). Новая волновая'функция удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона (39Ь)'и в «начальнь:й момент» времени 1 — 0 совпадает с волновой функцией ф(х, 0). Это зисчпт что мы получили метод для решения уравнения Клейна — Гордона, пригодный для того случая, когда начальные услееия заданы в виде функции от х в момент 1=0. 42. Рассмотрим вопрос о единственности полученного таким методом решения уравнения Клейна — Гордона. Этот метод, в соответствии с которым мы образуем функции А (р) и ф,(х, 1) из да)гяоп функции ф(х, 0), действительно дает функцию «(),(х, 1), удовлетворяющую уравнению (39Ъ).
Вопрос в том, нет ли других решений дифференциального уравнения (39Ь), которые в момент 1= 0 совпадают с функцией ф(х, 0)? Такое решение существует. Дифференциальному уравнению (39Ь) удовлетворяет также волновая функция вида ф'(х, 1) = ехр(сх.р+иоГ), о= игр«+)и'. Это решение мы называем «решением для отрицательной частоты», чтобы отличить его от «решения для положительной частоты», заданного выражением (37а). Мы исключаем из рассмотрения решения с отрипательнсй частотой по физическим соображениям. Они не годятся для частиц с положительной энергией (т. е.
с положительной частотой). Однако ясно, что любому решению уравнения (39Ь) для положительной ч астоты соответствует решение для того же импульса р, но отрицательной частоты, и уравнение Клейна — Гордона имеет поэтому в два раза больше решений, чем нам нужно. Происходит это потому, что уравнение (37Ь) имеет два решения ы для каждого р: одно положительное, а другое отрицательное. Только положительное 20$ р<шение имеет физический смысл: энергия частицы — величина положительная.
Таким образом, уравнение Клейна — Гордона (39Ь) не определяет полностью волну де Бройля.Мы присоединим к нему условие, требуюшее исключения решений с отрицательной частотой (отрицательной энергией). С этим ограничением можно показать, что каждое решение уравнения (39Ь) однозначно определяется значением этого решения при ( — --О. Таков ответ на поставленный нами вопрос, но мы не будем заниматься доказательством этой теоремы 43. Наиболее важный вывод из наших рассуждений заключается в том, что каждая имеющая физический смысл волновая функция де Бройля ф(к, () может быть представлена в форме (41а). Здесь а шлпгуда Л (р) однозначно определяется равенством (40а) по ь «лновой функции в некоторый определенный момент времени, например при 1=-0. Таким образом, любая волна мзтерии может быть поедставлена в виде суперпозиции плоских волн.
Если угодно, мы мои.ем считать это нашим основным предположением, что несколько снижает значение уравнения Клейна -- Гордона. Оно ие больше чем красивое дифференциальное уравнение, которому удовлетворя от физически приемлемые волновые функции. 44. Соответствующим выбором амплитуды А (р) в импульсном пространстве интеграла Фурье (39с) [или (41а)1 мы можем образовать волновые пакеты, которые будут в данный момент приближенно локализованы в некоторой ограниченной области пространства.
Такие волновые пакеты будут обладать заметным значением лишь в этой области пространства, а за ее пределами при |хЬ стремяшемся к бесконечности, быстро уменыпаться до нулевого значения. Волновой пакет с такими свойствами соответствует частице, положе:п1е которой приблизительно ограничено определенной областью пространства. Ясно, что все исследуемые частицы могут быть описаны такими волновыми функциями. Мы предполагаем, конечно, что частицу легче всего обнаружить (если мы наблюдаем ее с помощью счетчика) в той области пространства, где значение волновой Функции велико.
Такое предположение находится в согласии с нашей кваптовомеханической интерпретацией квадрата модуля амплитуды как вероятности некоторого процесса. Пока что нам достаточно понимать, что «частицу легче всего найти там, где амплитуда волновой функции велика». Позже мы рассмотрим частный случай волновых функций, для которых можно будет указать точный рецепт вычисления вероятности обнаружить частицу в данной области пространства.
Уже сейчас можно сказать, что частица в любом реальном эксперименте не может быть описана простой плоской волной. У такой волны квадрат модуля амплитуды есть величина постоянная, не зависящая ни от х, ни от г, и вероятность найти частицу в любой области с единичным объемом одна и та же, т.
е. не зависит от положения этой области. Поскольку все пространство образовано бесконечно большим числом таких единичных областей, то вероятность нахо кдения частицы в любой из них равна нулю. Вероятность 206 нахождения частицы в пределах любой конечной области также равна нулю, и это лишено физического смысла. Таким образом, строго монохроматических волн быть не может.
Возможно, однако, что в произвольно большой области пространства волну приближенно можно считать плоской волной с постоянной амплитудой. За пределами этой области амплитуда должна падать до нуля. Если данная область включает и ту часть пространства, где происходит исследуемое нами явление, можно считать волновую функцию идеализированной плоской волной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
