Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Волновые й тенты, т. е. ьоверхь ости по.тояино:, ь.„чы, ьредставляют собой плоскости, .-'гк плось.осси .'юьазаны тонкпмн лннгяпн 'Втрььтовь: и линия. мн показал. лучи. Опн перпендньульпяы к волиовью фронтам Мов.по счет.гь, то сои отвечают тр.,скториям фотонов. дапнюь свотьств, волновых фронтон соответств', т мнопгество траекторий, нз которых в рисунке гока ганы две Волна части ьно отрвяьается. но от:зжен. па» волив не показана, чтобы не загромождать рисунка Рис.
3В. этот Рисунок аналогичен прсгыдтпыму н слуькит для нлльост,,пя» 1ьсс.ьи,даний, прнведевпых в п. 3. Слове на линзу падает плоская волна, дча пучь (ььлн д с грь, ьорьл фотояов1 пересекаются в фокусе Сисьеме волновых фронтов соответствует мпаже тзотраектарнй. Можно обнаружить некоторые несовсрюенствз Они не связаны с опюбк ьь:и черчения и очна ьают, что пдеасьыьай линзы ке суьнествует.
Рисунок справедлив лиьпь дчя пар»ьсььаль. ной области. т е. для лучю!. иаходяпьихся в яепосредствеияой блязосль от ось* нз разлн ь- ных поверх ьюьх. разумеется. пргнсхоггнт отргкюна. Овн на рьсунке яе и ь-азапы Основываясь на зочнььх волновых уравнениях. можно показать, ЧтО ЭтОт МЕтОд даст Прибтщ убЕННОЕ РЕШЕНИЕ. МЫ раССМатрИВаЕМ прохождение через прибор сасгпоеого луча, который можно считать траекторией фотона. Какова связь этого луча с волной? В каждой своей точке луч перпендикулярен к фронту волны; в достатобно малой области пространства волна является приближенно плоской волной, и проходящий через эту область луч перпендикулярен к плоскости постоянной фазы. Таксе рассуждение позволяет связать частицу и волну.
Именно эту оптическую аналогию мы намерены использовать для формулировки волновой теории материальных частиц. Соответствующие идеи были высказаны впервые Луи де Бройлем в 1923 г.«). Мы должны отдать дань удивления и восхищения его интеллектуальной смелости. 4. Последуем за де Бройлем и допустим, что с каждой движущейся частицей связана волна. Пусть внешние силы отсутствуют и частица движется равномерно.
Обозначим энергию частицы Е, импульс р и массу т. Если с такой частицей связана волна, можно ожидать, что она будет перемещаться в том же направлении, что и сама частица. Пред- «) Ое гтгодгте д. !г. Опт!ей е1 Чпйп1й,— О. и., 1923, у. !77, Г. 507; А Тел!ение Тьеогу о1 !.1апг Опйл1й.— РЫ1. Маа., 1924, н. 47, р. 4461 кеснегсвей зпг 1й 1Ьеог!е лей Чпйп!а.— Алп. т1е Р!тув., 1925, и.
3, р. 2з. 179 ставим нашу волну комплексной волновой функцией: ф(Х, !) =А ехр (сх гс — ко!), (4а) где А — постоянная амплитуда волны; Й вЂ” волновой вектор; в— частота. Наша задача — попытаться угадать связь между параметрамп Й и со, характеризующими волну, и параметрами р, Е и ш, характеризующими частицу. Волна, описываемая волновой функцией ф(х, !), является плоской. Уравнсние плоскости постоянной фазы имеет вид (х Й вЂ” го!) =- = сон=!. Эта плоскость, а значит и волна, распространяется с 4лгзозой скоростью ву — — сей!йа.
(4Ь) На первый взгляд фазовую скорость ю) хотелось бы приравнять скорости частицы в=-рса)Е, по, подумав, мы должны сказать, что скорость частицы разумнее отождествить с аруш1овой скоростью. Именпо эта величина дает скорость распространения в пространстве сигнала нли энергии, и тем самым мы рассматриваем частицу как <сгустока, или «пакет», энергии. 5.
В томе 1)! этого курса а) мы получили следующее выражение для групповой скорости волнового пакета: дЛ ды до — = —, или о=-- — —. (5а) ~й> ' дс Ща Мы думаем, что групповая скорость о может быль скоростью частицы. Чгобы продвинуться дальше, нужно угадать зависимость частоты со от )э и Е. Допустим, что зависимость Е=!)со, справедливая для фотонов, годится и для материальных частиц. Тогда сгсо=Е = )с ) — (о~с)а Подставляя это выражение во второе из равенств (ба), получаем Интегрируя это уравнение в предположении, что й=-О, если о=О, имеем (5г() 1 — (е)с)а нли в векторной форме йй =)в. (5е) Именно это выражение было предложено де Вройлем.
6. Чтобы получить выражение Фй=р, мы сделали несколько сомнительное предположение, выраженное левой частью уравнения (5Ь). Зададимся вопросом: можно ли получить тот же результат, не прибегая к такому предположению, а исходя из общих требо- *) Крау4)орд сь. Волны.— 3-е над.— Мл Наука, 1984, гл. 3.
!80 х. Ф вЂ” огг = — го' Г' = ' — (тсе) гс)г!'. (7а) Величину 1' можно выразить через х, ! и скорость — тг, с которой нештрихованная система движется относительно штрихованной. Связь между этими величинами дается преобрззованием Лоренца. рассмотренным в томе 1 нашего курса *): г — х огсх (7Ь) !' 1 — (о,гс)а Подставляя это выражение в (7а), получаем (~~агй) (х аю' — г) х й — ог(= )р! — (а)с)а Полученное равенство справедливо для любых х и 1. Поэтому о!= (7б) 'Гс 1 — (сг'с) х 7г= (7е) *) Киттеле Ч., ))айт У., Рудермон М.
Механика.— 3-е иад.— Мо Наука, 1983, гл. 11. (7с) 181 ванин релятивистской инвариантности? Используем эту возможность и убедихгся, что уравнения (5Ь) и (бг)) согласуются со специальной гезг пей относительности. !1, е:кде всего следует выяснить, как меняются величины й и го при преобразованиях Лоренца. Допустим, что в неииприхованной гиггиеме волновая функция ф(х, 1) задана выражением (4а). Эта и,е волна в итгрихованной системе, движущейся со сноростью тг отно: . ельно нештриховапной системы, будет иметь вид г('(х', 1') = А' ехр(гх' 7г' — го!'1'), (ба) где А ' — постоянная амплитуда, которая может быть и нс равна А, Доп ,г,гхг, что штрихованная система является гнете.пой покоя нзпгхг .
частицы. В этой системе )г' — О, )т' =О и Е'=те'-'. Если пре:ожить, далее, что выражение (5Ь) справедливо для системы понг . то поткчимг ы .=гас ггг, 7.;- лз:г волны в данной системе определена вырамгением х и-- н, и мы допустим, что эта величина является инвар1гантохн если в штрихованной системе в точке х' в момент времени 1' фаза имеет "анное значение, то она сохранит его в соответствующей точк х и В соотВетствую1ций момент Врюгени 1 нештрихОВзнной спет~мы. Это предположение следует из периодической структуры Волны. Если фаза двух пространственно-временных точек отличается на целое число 2л в одной системе координат, то фазы той иге волны должны отличаться на то же число 2я в любой системе координат.
Отсюда следует, что фазы в штрихованной и нештрнхованной системах могут лишь отличаться на постоянную величину. Эта величина может быть включена в отношение А,'А', и, таким образом, инвариантом становится сама фаза. Сделав это предположение н выбоав штрггхованную систему координат в качестве системы покоя частицы, гслгчаем С другой стороны, и есть скорость частицы в нештрихованной системе координат, так как в штрихоаанной системе частица покоится.
Таким образом, энергия Е и импульс )з частицы в нештрихованной системе равны (7() 'г' ! — (-'!'-')' 1 — ( "~р Объединяя выражения (76) — (7(), имеем Е ве 6а, и = йй. (78) Мы подтвердили формулу (5е) и видим, что выражение (5Ь), введенное нами в качестве догадки, справедливо в общем случае, если оно справедливо в системе покоя.
Наш ход рассуждений показал, что соотношения (7я) находятся в согласии со специальной теориеи относительности. Действительно, мы получили их, исходя из требования релятивистской инва риантности фазы. 8. Следуя за идеями де Бройля, мы пришли к гипотезе, что с движущейся частицей связана волна, характеризуемая волновым вектором й, который определяется импульсом частицы: р=йв, Таким образом, длина волны, связанная с частицей, определяется вы- ражением 6 2л Л= — = —.
р д ' (8а) Это выражение известно под названием длины волны де Бройля для материальной частицы. Заметим, что оно справедливо и для фотона. Чтобы выяснить, как длина волны де Бройля зависит от параметров движущейся частицы, запишем выражение (8а) в виде ф'Т:(~~~) в (8Ь) ~ив о/с Мы видим, что Л уменьшается с возрастанием скорости о. При данной скорости о длина волны обратно пропорциональна массе частицы я. 9. Если Е означает полную энергию частицы, то Йс ьс/е (9а) р Е~ — т~с~ р 1 — (тсуЕ)' Поскольку это выражение следует из (9а) при тс'/Е=О, оно приближенно справедливо в крайнем релятивистском пределе, когда скорость частицы о очень близка к с, или, иначе говоря, когда полная энергия частицы много больше энергии покоя.
$Ю Это выражение показывает, что при данной массе и длина волны Л уменьшается с возрастанием энергии Е. При"заданной полной энергии Е длина волны Л растет с ростом массы т. При данной энергии наименьшую длину волны де Бройля имеет безмассовая частица: (9Ь) Если Т вЂ” кинетическая энергия частицы, то Е=Т+тс'. (9с) Подставляя это выражение для Е в (9а), получаем ). — . (9д) У Т(Т+2тс~) 7 йтТ 1' 1-1-Т12тс~ При данной массе покоя т длина волны Х уменьшается с возрастанием кинетической энергии Т.
При заданной кинетической энергии Т длина волны Х уменьшается при увеличении массы т. В предельном случае, когда скорость частицы очень мала по сравнению с с, отношение Т(тс' становится очень мало. Полагая в выражении (98) это отношение равным нулю, получаем следующее выражение для длины волны в нерелятивистском приближении: Х АД~2тТ Ытс. (9е) Мы могли бы, конечно, получить его и непосредственно из (8а).
10. Теперь следует выяснить, в какой степени идея де Бройля о существовании волн материи согласуется с опытом. Прежде всего нам следует убсдиться в том, что эта идея не противоречит установившимся понятиям макроскопической физики. Рассмотрим частицу, которая мала с макроскопической точки зрения. Допустим, например, что масса частицы т = !О ' г и что частица движется со скоростью и=1 см!с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
