Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Предположим, что измерения интенсивности выполняются с помощью фотоэлемента. В этом случае интенсивность пропорциональна числу отсчетов фотоэлемента. 40. Рассмотрим предсказания классической электромагнитной теории о распределении интенсивности справа от экрана. Из нашего предположения о малости ширины щели по сравнению с длиной волны следует, что если одна из щелей закрыта, то угловое распределение рассеянного другой щелью излучения является плавной функцией угла О, Обозначим через А, амплитуду рассеянной волны при наличии лишь одной щели, верхней или нижней (рис. 39А).
Амплитуда А,=А„,(г, О) зависит от г н О, и, воспользовавшись комплексным представлением, можно написать Ав=-((г, 0) ехр( — рц?(), (40а) где г'(г, О) определяет пространственную зависимость амплитуды. В опыте, показанном на рис. 39А, дифрагировавшая волна на большом расстоянии от экрана является суммой двух волн от обеих щелей. Их амплитуды равны, но волна от нижней щели задержана по фазе на величину (4па/Х) з?п О относительно волны от верхней щели. Полная амплитуда А =((у,0) ехр( — (ц?1) ~ ехр (р — з(п01 + ехр ( — ( —" з?пО) 1 = С с =-2А,сов~~ ™ з(пО). (40Ь) Онп?енсивнос?пь дифрагировавшего излучения пропорциональна хквадрату модуля амплитуды, и соответственно а У(г,О) =) А)а=41в(г,О)соз'( — з1пО), г' 2па (40с) где (40«1) («(г, О) = 1А,Р— интенсивность от одной щели. Таким образом, интенсивность Р(», О) от двух щелей равна произведению интенсивности от одной щели на множитель 4 соз'1(2лшХ)з1пО), который возникает вследствие интерференции волн, посылаемых обеими щелями.
Заметим, что если 4 а!Х ) 1, то благодаря интерференции в некоторых направлениях интенсивность равна нулю. В других направлениях она в четыре раза больше интенсивности от одной щели. Нас интересует лишь интерференционный эффект, описываемый выражением (40с). Связь интенсивностей ( и У„заданная этим выражением, есть следствие классических волновых представлений. 41. Выше было показано, что фотон не может быть «расщеплен».
На этом основании нам могло бы показаться, что классическое выражение (40с) неверно. Вот схема наших рассуждений: фотоны не могут быть расщеплены, поэтому фотон может пройти либо через одну, либо через другую щель. Допустим, что он прошел через верхнюю щель. В этом случае существование нижней щели не может , повлиять на днфракцию фотона, и распределение интенсивностей от всех фотонов, прошедших через верхнюю щель, будет задано выражением l«(г, О). То же можно сказать и о фотонах, прошедших через нижнюю щель.
Из всего можно сделать заключение, что полная интенсивность от обеих щелей должна быть равна !*(г, О) = 2!«(г, О) ° (41а) Эта интенсивность обозначена через 7", чтобы показать, что она получена в результате отказа от классических идей, которые привели нас к выражению (40с).
Читатель должен заметить, что мы не утверждаем, что обсуждение вопроса о распределении фотона привела нас к выводу (41а); мы лишь хотели исследовать эту возможность. 42. Эксперимент самым определенным образом свидетельствует в пользу предсказания (40с), полученного на основе волновых представлений, Простой опыт дифракцип на двух щелях является прототп:.ом целого класса ицтерференционных опытов, к которым следует отнести опыты с дифракционными решетками и опыты по днфрак пп рентгеновского излучения на кристаллах. Согласно формуле (41а), волны, дифрагировавшие от обеих щелей, не пнтерферируют, и если это верно для эксперимента с двумя щелямп. то никакой интерференции в опыте с днфракционными решетками или кристаллами наблюдаться также не будет. Прежде чем отвергнуть формулу (4! а) как совершенно неверную, подумаем, можно ли считать интерференцию, описываемую формулой (40с), результатом некоторого взаимодействия между несколькими фотонами.
Если интенсивность источника света достаточно велика, то в каждый данный момент можно иметь дело с несколькими фотонами в пространстве щелей. Возникает вопрос: не является ли интерференция неким «многофотонным» эффектом? Такого рода а з««. ю 169 рассуждения могут привести нас к предположению, что предсказание (41а) справедливо для крайне слабых источников света, когда фотоны проходят через систему по одному, а предсказание (40с) имеет силу для достаточно интенсивных источников. Другими словами: верно ли, что дифракционная картина меняется от (40с) к (41а) при уменьшении интенсивности источника? На этот вопрос дается отрицательный ответ. Нет ни малейших указаний на то, что характер дифракционной картины зависит от интенсивности излучения. Не может быть сомнения, что вся совокупность дифракционных и интерференцнонных опытов подтверждает идеи, положенные в основу формулы (40с). 43.
Опыт, непосредственно относящийся к этой проблеме, был выполнен Г. Тэйлором е) в 1909 г. Г. Тэйлор фотографировал дифракционную картину от иглы, освещаемой крайне слабым источником света. В одном из его опытов время экспозиции было равно 2000 часам, т. е. близко к 3 месяцам. В этом случае интенсивность настолько мала, что в области иглы в каждый данный момент находится очень малое число фотонов. Несмотря на это, дифракционная картина оказалась столь же ясной и резкой, как и в случае сильного источника света. Точный теоретический анализ опыта Тэйлора затруднителен (в частности, потому, что условия опыта описаны недостаточно подробно), и мы не будем им заниматься.
Тем не менее несомненно, что в его опыте интенсивность света была столь мала, что если бы характер днфракционной картины менялся при уменьшении числа фотонов, то это было бы замечено. 1чак мы сказали, ни малейших следов такого явления обнаружено не было. ь, ' Необходймо подчеркнуть, что наша уверенность в том, что дифракцнонная картина возникает не от «взаимодействия» большого числа фотонов, покоится не на одних лишь опытах Тэйлора. Она опирается на большое число других интерференционных опытов, которые можно понять только на основе волновой теории, независимо от интенсивности излучения, с которой эти опыты выполнены.
44. Попытаемся. теперь изложить основы простой теории, дающей возможность понять рассмотренные выше экспериментальные факты. 1) Почти монохроматическое излучение с частотой ге, испускаемое источником света, можно представлять себе состоящим из «пакетов излучению, которые мы называем фотонами. 2) Распространение фотонов в пространстве правильно описывается максвеллоискими уравнениями классической электромагнитной теории. В этом описании каждый фотон считается классическим цугом волн, определенным векторными полями Е (г, 1) и В(г, 1), которые удовлетворяют уравнениям Максвелла с граничными условиями, вытекающими из рассматриваемой задачи.
Волна, падающая на полупрозрачное зеркало или на экран с двумя *) Таугог 6. Д 1п1ег1егепсе Рг!пяеа гч!!Ь Рееые 1.!дв1.— Ргос. Сагпьг. Р)И!. Яос., 1909, ч. !5, р. 1!4. 170 щелями, действительно <расщепляетсяз на две волны, которые могут интерферировать друг с другом, как этого требует классическая теория. 3) Неправильно интерпретировать сумму квадратов амплитуд Е и В как плотность энергии в пространстве, в котором движется фотон. От этой идеи, принадлежащей классической физике, необходимо отказаться.
Вместо этого каждую величину, квадратично зависящую от амплитуды волны, следует интерпретировать как величину, пропорциональную вероятности какого-то процесса. Например, интеграл от суммы квадратов амплитуд Е и В по некоторой конечной области пространства пе равен энергии, вносимой фотоном в эту область. Он пропорционален вероятности обнаружить в этой области фотон, если мы попытаемся «пойматьз его с помощью, например, фотоэлемента, Аналогично, вычисленный в классической теории поток излучения через щель в экране следует интерпретировать в новой теории как величину, пропорциональную вероятности того, что фотон будет обнаружен, если мы поместим непосредственно за щелью фотоэлемент, 4) Если где-то в пространстве мы зарегистрировали фотон (например, с помощью фотоэлемента), то энергия, переданная детектирующему устройству, всегда равна Ь<з.
Поскольку вероятность обнаружить фотон пропорциональна сумме квадратов амплитуд Е и В, то мы приходим к выводу, что классическая плотность энергии, проинтегрированная по области, равна произведению энергии фотона на вероятность нахождения фотона в этой области. Таким образом, в случае стационарного источника света, испускающего большое число фотонов, средняя энергия в данной области равна энергии, вычисленной по классической теории. ' 45. Итак, мы отказались от классической электромагнитной теории. Новые идеи заключаются в том, что величины, квадратично зависящие от амплитуд электромагнитного поля, интерпретируются как вероятносьш. Мы можем продолжать применять к распространению фотонов в пространстве уравнения Максвелла, ио классически вычисляемые плотность энергии или ее поток интерпретируются нами по-новому — как средние значения, наблюдаемые с очень большим числом фотонов. Поэтому в тех опытах, где мы измеряем средние значения и ие пытаемся наблюдать отдельные фотоны, классическая теория вполне справедлива.
С другой стороны, при паблюдснии отдельных фотонов, например с помощью фотоэлемента, становится очевидной ограниченность классической теории. 46. Рассмотрим теперь, как в свете новых идей объяснить наблюдаемые экспериментальные факты. Обратимся к примеру, обсуждавшемуся в п. 36. Там наблюдался фотоэффект на различных расстояниях от стационарного источника света. Предположим, что мы имеем дело с почти монохроматическим источником, испускающим в среднем М фотонов за единицу времени с частотой <з. Фотоэлемент расположен на фиксированном расстоянии от источника и связан со счетчиком так, что можно считать"число фотонов, упавших на фотоэлемент. м з<«, и« Ш Рассмотрим теперь фотон, испущенный источником.
Вго: ожно считать цугом волн конечной протяженности, распространяющимся по всем направлениям и несущим энергию, равную Ьез. Пользуясь классической теорией, вычислим полный поток энергии Е,. который придет к фотоэлементу с нашим цугом волн. Эта энергия является малой частью, 4=Е,гуга, всей излученной энергии. Однако' в кашей новой интерпретации величины, зависящие квадратпчно ог амплитуды волны, определяют верояшнолпь того, что фотон достигнет фотоэлемента. (Для простоты предположим, что эффегл пвиость нашего фотоэлемента равна 100еуе. В этом случае о равно вероятности срабатывания счетчика при испускании фотона нстсчш;ьом,) 11евозможно предсказать, будет ли данньш испущеннын источником фотон зарегистрирован фотоэлементом, но можно )тверждать, что вероятность регистрации равна д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
