Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 20
Текст из файла (страница 20)
щами адиабатически, У к а з а н и е. Ответ. 3.0. Найти элементарную работу поляризации диэлектрика, связанную с движением зарядов, создающих поле. Р е ш е н и е. Рассмотрим систему, состоящую из плоского конденсатора, у которого пространство между обкладками заполнено диэлектриком (рис. 20). Соединим обкладки проводником и дадим бесконечно малому заряду г(9 перейти с одной пластины на другую. При этом будет совершена работа по перемещению заряда: 6А = — Лйх(9, причем Ь~р = Е(, где Š— напряженность поля, 1 — расстояние между обкладками.
Пусть заряд конденсатора будет е, а площадь обкладок — 5, тогда электрическая индукция равна При изменении заряда изменяется и индукция: с(9 Ю = —. 5 Отсюда 6А = — )ЗЕЮ. Работа, отвесенная к единице объел~а диэлекгрика, равна бА = — Ег((1. Обобщение формулы на произвольную неоднородную среду есть 0А = — ЕдО. 3.7. Вычислить эвтропию идеального газа, исходя из формулы (10.3). О т в е т. о = (С> 1и Т + )г (п У) + соп51. 3.3. Показать, что прн смешивании двух равных масс горячей и холодной воды энтропия возрастает. Теплоемкость воды считать постоянной. 3.9.
Записать основное термодннамическое равенство для системы <однородный диэлектрик в одяородном электрическом поле». 3.10. На РисУнке 21 изобРажена система, состоЯщаЯ из двУх обьемов: Ут и Уз, соединенных каналом, в котором размещена газовая турбина. В объемах находится одна и та же масса газа, но прн разных температурах Т, и Т, соответственно.
Весь Рис. 21 Рнс. 20 комплекс адиабатически изолирован. Определить мансимальную работу, которая может быть совершена после открытия канала. Газ считать идеальным. 0 т в е т. А ах= тСу (Тт+ Те 2Т)! Т = 3 ТтТз ~ Гр у,у,) — С ' '!р,+у~ ' с, ' т — число молей газа, первоначально находившееся в каждом сосуде. З.П. Показать, что машина Карно имеет максимальный КПД из всех тепловых двигателей, рабогающих в данном интервале температур. 3.12. Выразить количество теплоты, полученное системой при нагревании, через числа заполнении состояний л!, связать его с изменением энтропии.
Р е ш е н и е. При постоянных внешних параметрах квантовые состояния подсистем остаются прежними, но число подсистем в каждом состоянии изменяетсн: ЬО = "~~е!Опо причем ~чРйп! = О. Соответствующее яэменение энтропии согласно давным задачи 2.!О равно п5 = — д чч!п и!Олп Подставляя сюда значения п! найденные в задаче 2.! 1, получаем: 33 = ййха!Опм 1 Пря () = — зто соотношение переходит в известное равенство 6<) = Тг)Б.
)гТ 3.13. Используя соотношения (!2.8) н (!2.!2), выяснить поведение коэффициентов сер и Ку при Т -ь О (см. также задачу 3 3) . Глава ЪЧ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ КАНОНИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ $12. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 12.1. Уравнение состояния Р— У СТ, Мат Р Ф (12.1) где й и С вЂ” константы.
Методами термодинамики можно сделать ряд общих выводов о свойствах любых систем и связях между их термодинамическими характеристиками. Некоторые соотношения такого рода даны далее (см., например, тождества типа (12.8) или (12. 12)). Знание уравнений состояния для конкретных систем превращает подобные соотношения в частные законы, описывающие определенные тела, процессы и явления. 89 После того как выяснена природа тепловых явлений и статистический характер основных понятий и законов термодинамики, можно, отвлекаясь от микроскопического механизма явлений, изучать их феноменологически, т. е. на основе введенных термодннамических величин (см. 9 8,1) и трех начал термодинамики ($ 9, 10, 11).
В этом суть метода термодинамики как особой науки. Не все макроскопические параметры системы независимы. Говорят, что 1 есть число степеней свободы макроскопической системы, если она описывается / независимыми параметрами. Среди разнообразных связей между характеристиками системы важное место занимают уравнения состояния. Так называется любая зависимость равновесного внутреннего параметра от внешних параметров и температуры. Различают термические уравнения состояния, если задана обобщенная сила Л как функция от Х и Т, и калорическое уравнение состояния, если внутренним параметром является энергия.
Термодинамика сама по себе не позволяет установить явный вид этих соотношений. Онн находятся опытным путем либо выводятся методами статистической физики. Так, для наиболее изученной системы — идеального газа — и экспериментально, и теоретически обнаружено, что 12.2. Термодинамические потенциалы или характеристические функции Благодаря наличию уравнений состояния открывается возможность выбрать в качестве независимых переменных ~ любых параметров системы. При определенном выборе независимых переменных всегда существуют функции состояния системы, которые оказываются удобными для изучения тех или иных процессов. Такие термодинамические функции называются термодинамическими потенциалами или характеристическими функциями, если они удовлетворяют следующим требованиям: — это должна быть аддитивная и однозначная функция состояния системы; — при определенном выборе независимых переменных ее производные имеют простой и ясный физический смысл; — убыль термодинамического потенциала в некоторых условиях определяет работу системы; — при некоторых условиях термодинамическая функция имеет экстремум в состоянии равновесия.
Чаще других употребляются на практике пять характеристических функций: это уже рассмотренные ранее внутренняя энергия и и энтропия Я, тепловая функция или энтальпия и=и+и, (12.2) свободная энергия р=и — 3Т (12.3) и термодинамический потенциал Гиббса о= и — 3Т+ Р). (12.4) Однозначность и аддитивность энтальпии, свободной энергии и потенциала Гиббса следуктг из однозначности и аддитивности энергии и энтропии системы. Рассмотрим подробнее свойства функций (!2.3) и (12.4) для системы с тремя степенями свободы, которая имеет два внешних параметра: объем У и некоторую величину ) (это может быть, например, площадь поверхности или электрическая индукция и т.
д.), !2.3. Свободная энергия Свободная энергия будет характеристической функцией, если в качестве независимых переменных взять Т, Уи Х. Запишемдвумяспособами полный дифференциал Р (Т, У, Х). Содной стороны, ЙР = ~ — ) йт+ ( — ) гЬ'+ ( — ) Ю, (12.5) а с другой стороны, если исходить нз определения этой функции н основного термодинамического равенства (!О.!2), то 90 НР = — ЫТ вЂ” Рг(Р— ЛЮ. Из сравнения формул (!2.5) и (12.6) следует: З= — ( — "); Р- — ( — '"); Л= — ( — ") Вычислим вторые производные: (12.61 (12.7) Вторая производная по объему определяет нзотермическую сжимае- мооть системы Смешанная производная второго порядка вычисляется двумя спосо- бами: и а!Р ( — БЫТ вЂ” Рг('г' — ЛИХ.
Если в произвольном процессе начальное и конечное состояния равно- 9! Поскольку результат не должен зависеть от порядка дифференциро- вания, имеет место тождество (12.8) Очевидно, что подобные тождества отражают некоторые закономерно- сти, присущиелюбымсистемам, а потому они важны для приложений термодинамики. При изотермическом процессе пТ = О и дР = — Рг('г' — Л Ю = — 6А, т. е. убыль свободной энергии равна работе. При изотермо-изохори- ческих процессах, когда г(Т = О, г(У = О, г(Р = — 6Аон (12.9) и убыль свободной энергии равна работе немеханичееких сил, сопря- женных параметру 1.. Для необратимых процессов йУ ( ТйЗ вЂ” РН~ — Л~й 12.4.
Термодинамическнй потенциал Гиббса и другие термодинамические функции Для изучения процессов, описываемых независимыми переменными Т, Р и Х, применим термодинамический потенциал Гиббса. Полный дифференциал этой функции, определяемой соотношением (12.4), равен дО = ( †) йТ + ( †) бР + ~ †) сЕЛ или аа= (и Т1К З(Т+ Р(Р ИР. На основании первого и второго начал термодинамики г(И = ТМБ — РгЯ вЂ” ЛНХ. Следовательно, дб = — 56Т + (4(Р— ЛЮ. Отсюда 3= — ( — ); Ъ'=( — ); Л= — ( — ) . (12.10) При вычислении вторых производных получаем формулы дчз жх 1 д'0 р ага — Т г,х у зри (12.11) весны, то в этих состояниях свободная энергия имеет определенное значение.
Разность конечного и начального значений равна Рз — Рз = Аобр~ где А, р — работа обратимого изотермнческого перехода. Для произвольного изотермического процесса Р, — Р, ( — А Это означает, что убыль свободной энергии определяет максимальную изотермическую работу системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
