Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Обозначим через Я, теплоту, полученную системой при изотермическом теплоту, отданную ею при изотермическом что 14, ) 0 и Я, == 0.) Тогда из нераве 01 Е, — — — (О. тг т, Рис. 11 Рис. 12 процессе! — 2, а через Яр— процессе 3-4. (Заметим, яства Клаузиуса получаем: (10.8) По определению КПД тепловой машины, работающей по произвольно- му циклу, равен Ч=— А (10.9) 0 где А — работа цикла, а 1г — полученная теплота. Для машины Карно Ч= 0 — Е, е, Из выражений (10.8) и (10.9) следует теорема Карно: или ~' ~' ( (10.10) Оиа может быть выражена словесно в виде двух положений: КПЙ 73 всех равновесных машин Карно од!таков и зависит только от температуры нагревателя и холодильника; КПД неравновесной машинь1 Карно всегда меньше КП "д равновесной лгашины Карно, работаюи!ей в том жг интервале температур.
Теорема Карно, в свою очередь, может рассматриваться в качестве исходного положения термодинамики. Исторически Клаузиус пришел к установлению понития энтропии и второму началу термодинамики на основе рассмотренных выше двух полозкеннй о переходе теплоты в работу и направлении теплопередачи.
Для полноты картины рассмотрим згот подход. Для доказательства первой части теоремы Карно возьмем систему из днух обратимых машин Карно с общим нагревателем и холодильником (рис. !2). Пусть маши. на 1 совершает цикл в прямом направлении, П вЂ” в обратном. Машина П теперь работает как холодильное устройство, забирая теплоту у холодильниха и отдавая нагревателю. Подберем режим так, чтобы за цикл нагреватель отдавал на работу машины 1 теплоту От и столько же от машины П получал. В результате однократного действия обеих машин состояние нагревателя не изменится, холодильник отдасз теплоту (Я вЂ” Оз], будет совершена работа (Л вЂ” А') пад внешними телами.
Если (С! — 1( ) > О, то (А — А'] > О, так как А — А' = (1гт — !) ) — (Π— О') =— = Π— Оз. СЛЕДОВатЕЛЬНО, ИМЕЕТ МЕСТО НЕКОИПЕНСИРОВаННЫй ПЕРЕХОД тЕПЛОтЫ В работу. Допустим, что (!]з — Яз) ( О. Тогда (А — Л'] < О. Если прв этом машина П совершит цикл в прямом направлении, а машина 1 — в обратном, мы снова полу. чим полное превращение теплоты в работу. Поэтому единственно правильно. !3' = (Гз и А = А'. Однако тогда КПД обеих машин одинаков (но = т]з).
Пусть теперь первая машина Карно необратима, а вторая — по.прежнсму обра. тима. йокажем, что т], ~ з)а. Пусть машина 1 действует по прямому циклу, а маши. на П вЂ” по обратному. Опять-таки, если (!)з — 1га) > О, то (А — Л') > О, и будет нарушено второе начало термодинамики.
Поэзому возможно лишь (Π— 11 ) а 0 и, э 2 соответственно, А' ~ А. Отсюда Вг ж: з!з. Элементарный расчет обратимого цикла Карно с идеальным газом в начестве рабочего вещества дает КПДп = тт — т, Снова приходим к теореме Карно (!О.!0). Количество теплоты (]т и Яа в формуле (!0.8) можно рассматривать как алгебраические величины, (Тогда они могут принимать как положительные, так и от а- тельные зчачения.] о отиошеаию к рабочему телу Ог > 0 и (Гз ч. О, Тогда теорема П Карно может быль записана так: Ог + (]е т, — Т, или, после простых преобразований, в виде неравенства Из рисунка !3 видно, что произвольный круговой процесс можво приближенно заменить совокупностью циклов Карно, для которой справедливо (!ОЛ !) ;гТ, т1, Сла~ аемые, относящиеся к внутренним участ- кам изотсрн, взаимно компенсируют друг дру- Рис.
13 га,так как каждый из участков проходится один раз в прямом, а другой раз в обратном направлении. При дроблении на бесконечно малые циклы Карво сумма (1О .11) в пределе перейдет в интеграл Клаузиуса (1ОЛ). Дли обратимого цикла (см. рис. 10) 3 1 Отсюда 1еи 1Ь)З т. е. иатеграл не зависит от пути интегрирования. Поэтому подннтегральное выра. жение есть полный дифференциал некоторой функции, которую Клаузиус назвал витропией. В общем случае из (1О.11) следует (10.7) . 10.6. Основное термодинамнческое равенство-неравенство. Максимальная работа процессов Используя формулу первого начала термодинамики (9.6) и формулу для изменения энтропии системы (10.3), получим: с(У = Тг(Б — 6А.
(10.12) Это соотношение называют основным термодинамическим равенством. Оно применимо к равновесным процессам, ибо только для них справедливо (10.3). Для неравновесных процессов изменение энтропии выражается неравенством (10.6) и основное термодинамическое равенство обобщается: с((/ ( Тг(3 — 6А.
(10. 13) Равенство относится к равновесным процессам, а неравенство — к не- равновесным. Основное термодинамическое равенство-неравенство является объединением первого и второго начал термодинамики. Оно представляет собой важнейшее соотношение этой науки, лежащее в основе всех ее приложений.
Из (10.13) следует неравенство бА ( Тг(Б — г((7, т. е, работа, совершаемая системой в обратимом процессе, больше работы, совершаемой при необратимом процессе (если начальные и конечные состояния совпадают), или работа произвольного процесса при равных условиях будет меньше или равна работе при равновесном процессе. Это положение часто называют принципом максимальной работы. Из теоремы Карно следует, что оно справедливо и при круговых процессах.
Рассмотрим практически важный случай непериодической машины, находящейся в тепловом и механическом контакте с термостатом. Пусть система находится в некоторой среде, которая играет роль термостата. Ышкду средой и системой имеет 75 место обмен теплотой и работой. Комплекс асреда + система» считается адиабатически изолированным и имеет постоянный объем. Кроме него инеется третье тело, над которым система совершает работу, но не передает ему теплоту. Размеры термостата предполагаются нас~олько большими, что ври любых изменениях состояния системы в нем сохраняются постоянными давление Р, и температура Т,.
Пусть исследуемая система совершила переход из начального состояния в нонечное, совершив работу 6А. Эта работа равна убыли энергии комплекса: 6А = — ю(Е', Изменение энергии комплекса складывается из изменения энергии системы а(Е и среды г(Е;. 6А = — ю(Š— а(Е» (10.14) Допустим, что при совершении процесса среда находилась в равновесии. Тогда по основному термодинамическому равенству ДЕ» = Тою)5» — РаПУ».
При постоянном объеме комплекса где а)У вЂ” изменение объема системы. Кроме того, учитывая теплоизолированность комплекса и аддитивность энтропии, можно записать: ю(5' Ъ О, ю(5' = »15а + а)5, (1О. 16) где а(5' — изменение энтропии всего комплекса системы, ю(5ю — термостата, ю)5— системй. С помэщью (10.16) из (10.14) получаем; 6А ~ — ю(Š— Рою(У вЂ” Тою(5.
Нанбвльшая работа пелучается опять-таки при равновесном процессе в системе: 6Ааюа = а()7 (!0.16) где )7 = Е+ Р»У вЂ” Тю5. Таким образом, максимальная полезная работа определяется убылью функции, в которую вхсдят нак величины, относящиеся к системе (Е, У, 5), так и параметры сРеды (Рю То) ° 76 10.6. Абсолютная шкала температур Второе начало термодинамики позволяет построить абсолютную шкалу температур. Рассмотрим цепочку из двух последовательно соединенных обратимых машин Карно.
Холодильник первой из них служит нагревателем второй (рис. 14). Пусть количество теплоты, которое машина 1 забирает у нагревателя за один цикл, Яю — количество теплоты, которос оиа отдает холодильнику, Я, и Дю — аналогичные величины для машины 1!. Температуры тел, служащих нагревателями и холодильникаРис. 14 ми, равны Т„Т„п Т, соответственно. Согласно (10.8) % 9з .
Г)з Ф вЂ” — — = 0; — — — = О. т, т ' т, уз Отсюда Оы т,, а. т, Пз т,( 0, т,' Тем самым открывается возможность определения температур через величины, значения которых не зависят от способа измерения, как это имело место при использовании термометров (см. З 8.3), т. е. абсолютным образом.
Если используемые машины Карно подобрать так, чтобы яз = (етз' (ечг яз = (коз 04 то получим: тг — тз = тз — та. Рис. 15 т 1 — и= —, т а с другой — можно записать: 1 — Ч = и (т, т,), где д(тите] — неизвестная функция от абсолютной температуры нагревателя и холодильника. 77 Пусть температура тела 3 (холодильник машины П) равна 10', тела 2 (нагреватель машины П, холодильник машины 1) — 11'. Тогда температура тела 1 (нагреватель машины 1) по избранной шкале температур будет равна 12'. Цепочку из тепловых машин Карно, нагревателей и холодильников можно продолжить в обе стороны как угодно далеко.
Тем самым получаем систему тел с абсолютно заданными температурами. Опорные точки шкалы и размер шага, разумеется, можно сделать какими угодно. Принципиальная возможность такого построения абсолютной шкалы температур не означает действительную необходимость создания ряда взаимосвязанных машин Карно. Можно показать, что абсолютная шкала температур будет совпадать с эмпирической температурной шкалой, для построения которой используется термометр с идеальным газом в качестве рабочего вещества. Пусть т — абсолютная температура тел, а Т, как и прежде, — эмпирическая газовая температура. Покажем, что между этими величинами имеется однозначная функциональная связь, Из теоремы Карно следует, что разность 1 — Ч (где ив КПЛ обратамой машины Карно) зависит тольно от температуры авгревателя и холодильника.
С одной стороны, Рассмотрим систему из трех машин Карно (рис. )5] На рисунке указаны зна. чения температур нагревателей и холодильников, направления действия машин, значения полу шемой и отдаваемой теплоты н совершаемой работы. Машины ! и !1 действуют в прямом цикле, пашина Ш вЂ” в обратном (холодильио>О цикле. Заметим, что если ((» — Я,] ) О, то совокупная работа А (Л = Л, + Л, — А,) тоже положитетьна. >Тействнтельно, А = ((?> — >?а) + (Г?з — Оа) — (О, — Оз) = — Таким образом, в этом случае получаем нарушение второго начала термодинамики. Если (Я> — О>) < О, то, пустив все машины в направлениях, про.
тивополажных указанным на рисунке )3, снова првдем к некомпенсированному переходу теплоты в работу. Единственно верно: О = Г)' и А = О. Но тогда справедливы соотношении ! — ч> = —, О>' ! — >)е — — — ', ! — Ча = — ' >?э, 0а и, следовательно, ! — чз = (! — ч>) (! — че). Учитывая значение и, получаем уравнение Е (т> тз) и (тт тз) и (ге гз)' Решение этого уравнення имеет вид л(т', т') = —, я> (т') ф (т") где ф — некоторая однозначная функция от т. Таким образом приходим к равенству гр (т") р (т') или Т = аср (т); а = сопз), устанавливающему однозначную связь температур. Будем использовать величину агр (т) в качестве абсолю>ной температуры вместо ранее введенного параметра т, Тем сал>ым будет достигнуто полное совпадение эмпиричесной газовой и абсолютной шкалы температур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
