Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Используя формулу Больцмана (6.10) и приближенную формулу Стирлинга (П,!0), получаем при л; ~д.!! 8 = /г [М1п !У вЂ” ~„и,1п л ). !=1 2.11. Найти значения чисел л (см. предыдущую задачу) в состоянии равновесия. Решение. Ищем максимум энтропии при дополнительных условиях: т !и ~'~~~л, = М; ~а1л! = Е. (1) !=! г=! Условие максимума или ~ йл,()п л! + П = 0. (2) 1=1 Из наложенных условий (1) следует, что л$ т ~ЧР~бл! = 0; ~~~',е;Ьл; = О. (3) г=! ! Умножая равенства (3) на произвольные постоянные мио.кители сг и () и складывая с равенством (2), имеем: ~ЧР ~бл! (1и л + а + ()е!) = О.
г=! Отсюда л: = соп51 е Это не что иное, как каноническое распределение. Глава Н1 ЗАКОНЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ 5 8. ОПИСАНИЕ МАКРОСКОПИЧЕСКОП СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 8.1. Параметры термодинамического состояния Исторически термодинамика как наука сложилась ранее выяснения сущности теплового движения, поэтому метод исследования в термодинамике не опирается на представления о внутреннем движении и называется феноменологическим. Любой макроскопический объект может рассматриваться как термодинамическая система. Современная термодинамика изучает как системы, находящиеся в равновесии, так и системы, не находящиеся в равновесии.
В данном курсе преимущественно рассматривается равновесная термодинамика. (Но при этом некоторые выводы оказывается возможным сделать и о неравновесных системах.) Хотя особенностью термодинамического метода является отказ от исследования микроскопического движения внутри физического тела, такое движение существует. Термодинамика, ничего «не зная» о внутреннем движении, вынуждена постулировать его наличие, приписывать ему определенную энергию, делать какие-то заключения о его свойствах и макроскопических характеристиках. Все вводимые в этой науке положения основаны на изучении и обобщении экспериментальных данных.
Мы же изучаем термодинамику, опираясь на статистические представления о природе теплового движения, тепловых явлений и свойств. Е!а этой основе термодинамические понятия, величины и законы должны получить статистическое толкование. Поэтому наряду с термодппамическими понятиями и положениями далее будут даваться их статистические интерпретации. Термодинамические системы отличаются друг от друга количеством вещества, объемом, химическим составом и внутренним строе.
нием, давлением, температурой, намагниченностью, электрическим состоянием, поверхностным натяжением и т. д. Разнообразные свойства веществ и явлений описываются с помощью физических величин, которые называются параметрами системы. Совокупность значений независимых параметров определяет состояние системы. Какими именно параметрами можно с достаточной полнотой описать конкретный объект или происходящий процесс, указывает опыт. Параметры делятся на внешние и внутренние. Внутренние параметры зависят от свойств системы, внешние параметры целиком определяются действием тел, не входящих в систему. Если, например, газ 87 заключен в сосуд, то его объем есть внешний параметр, а давление— внутренний. Но указанное деление зависит от конкретной ситуации.
Поэтому в иных условиях объем газа может оказаться внутренним параметром, а давлеиие — внешним (иапример, если газ в цилиндре сжат поршнем). Различают еще параметры интенсивные и экстенсивные. В первую группу входят величины, ие зависящие непосредственно от массы или количества вещества в системе. Это, например, давление, температура. Параметры, пропорциональные массе или числу частиц, относятся ко второй группе.
Экстенсивными величинами являются, иапример, энергия и объем системы. Если две одинаковые системы, находящиеся в одинаковых условиях, соединить вместе, то значения интенсивных факторов сохранятся, а объем и энергия объединенной системы будут вдвое больше, чем каждой из подсистем. Экстенсивные параметры характеризуют систему как целое и обладают свойством аддитивиости, интенсивные же параметры принимают определенные значения в каждой точке.
Заметим еще, что часть параметров являются механическими ха. рактеристиками системы, таковы масса, объем, давление. К иим принадлежит фактически и энергия системы, складывающаяся из мехаиических энергий входящих в иее частиц. Другие параметры описывают электрические или, скажем, оптические свойства. А третьи специфичиы для термодинамики как науки о тепловых свойствах тел; это, иапример, температура, энтропия и др. Известно, что давление, эиер гия и другие характеристики систем зависят от температуры. Отсюда видно, что эти термодинамические величины ие вполне тождественны со своими механическими аналогами.
8.2. Равновесное состояние в термодинамике Если параметры системы постоянны во времени, то состояние иазывается стационарным. Изменение хотя бы одной характеристики свидетельствует об изменении состояния, о том, что происходит какой-то физический процесс. Стационарное сосл|ояние системы, в котором достигнута полная однородность во всех возможных отношениях и отсутствуют любые потоки, называепюя равновесным.
Система, ие обменивающаяся с внешними телами ии энергией, ии частицами, называется замкнутой. Опыт показывает, что во всех замкнутых системах, где температура, давление, концентрация какого-либо вещества и другие величииы имеют ие одинаковые значения в различных точках, происходит процесс выравнивания, продолжающийся до тех пор, пока система ие станет однородной.
Замкнутая система с течением времени приходит в равновесное состояние и самопроизвольно из него не выходит. Статистическая интерпретация этого положения уже дана в главе 11, — с этой точки зрения равновесное состояние есть наиболее вероятиое. Системы. находящиеся в равновесном состоянии, в известном смысле являются простейшими: в статистической теории оии описы- зз ваются простыми и универсальными функциями статистического распределения — микроканоническим или каноническим распределением. Физические величины, описывающие равновесное макроскопическое состояние, называются термодинамическими.
В статистической термодинамике все внутренние термодинамические параметры определяются как средние значения, вычисленные по распределению (см. 5 5.2). Термодинамика не учитывает флуктуаций физичвских величин, однако в статистической теории их специально изучают (см. гл. Ъ'11). Внешние термодинамические параметры считаются точно заданными, т. е.
флуктуации здесь принципиально не учитываются. Для равновесного состояния характерно наименьшее число параметров, описывающих систему. Кроме того, между ними существуют определенные зависимости, отражающие взаимосвязь свойств системы и происходящие в ней процессы. Изучение этих зависимостей входит в содержание термодинамики. В качестве примера таких зависимостей можно привести уравнение состояния идеального газа Р'т' = — РТ, выражение для его внутренней энергии У = — С,Т и и т. д., которые известны из курса общей физики.
Если в термодинамике подобные зависимости являются обобщением опыта, то статистическая термодинамика выводит их теоретически из своих исходных положений (см. 9 14). При этом оказывается, что все внутреннив ппраметпры есть функции внешних параметров и температуры. Это означает, например, что задание объема, температуры ичислачастицоднозначно определяет состояние газа, так как энергия, давление, энтропия и другие величины находятся через г', Т и М. 8.3. Внутренняя энергия Выше выяснена особая роль энергии для описания статистических закономерностей системы микрочастиц. Обращалось внимание на то, что для применения статистического метода характерно равенство энергии системы сумме энергий ее частей.
Фундаментальная роль энергии сохраняется и в термодинамике. Поскольку и здесь движение системы как целого в пространстве не рассматривается, вся энергия системы отождествляется с внутренней энергией. Она является однозначной функцией состояния системы, которое определяется температурой и внешними параметрами. Такая точка зрения на энергию подтверждается статистической физикой. Согласно ее законам внутреннюю энергию можно опреде- 59 лить как среднее от энергии системы по каноническому распределению Гиббса (7.16): Х Ем(Е) е и=я= а (8.1) ХЦ(Е)г Е Термодинамика, как и статистика, изучает только такие системы, энергия которых есть аддитивная величина: энергия системы равна сумме энергий ее частей. Фактически это означает некоторую идеализацию реальных объектов. Энергия системы, состоящей из двух подсистем, равна, в общем случае, сумме энергий подсистем и энергии их взаимодействия в зоне непосредственного контакта.
Для макроскопических тел последним слагаемым практически всегда можно пренебречь, Важное значение внутренней энергии в термодинамике обусловлено законом сохранения энергии. Выяснение особенностей превращений внутренней энергии в другие виды или передачи ее другим телам составляет главную задачу термодинамики. (Некогда использование внутренней энергии в тепловых машинах послужило толчком к развитию термодинамики.) 8.4. Термодинамическая температура Понятие температуры является фундаментальным для теории тепловых явленяй.
Мы уже рассматривали статистическую температуру О = ИТ в О 7.2 — она характеризует равновесное состояние системы в целом, являясь мерой интенсивности внутреннего движения. От О непосредственно зависит распределение частиц по энергиям: чем выше О, тем больше частиц с большой энергией, и наоборот.
Кроме того, параметр О позволяет судить о наличии илн отсутствии равновесия между двумя системами с различными или одинаковыми значениями этого параметра. Аналогичным образом в термодинамике понятие температуры связано с теплообменом между двумя системами. Для уяснения понятия теплообмена проведем следующие рассуждения. Допустим, что можно изменить энергию системы микрочастиц без изменения спектра допустимых квантовых состояний системы, которые задаются внешними условиями (и видом частиц). Согласно формуле (8.1) это значит, что энергетические уровни системы остаются прежними, а изменение энергии системы происходит за счет изменения заселенности уровней — в одних состояниях она становится больше, а в других — меньше. Поскольку состояние системы осталось равновесным, в формуле канонического распределения изменяется только модуль О или температура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
