Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 11
Текст из файла (страница 11)
По сравнению с ней термостат представляет собой объект относительно больших размеров. Рассмотрим ряд состояний, в которых исследуемая система имеет энергию а, а термостат — (Š— в). Если 11 (е) — число состояний системы, 11, (Š— е) — термостата, то число состояний всей сложной системы е указанным разделением энергии между обеими ее частями равно системы значительно меньше энергии термостата. Это позволяет разложить вспомогательную функцию и (Š— е) в ряд Тейлора. При всех состояниях сложной системы имеет место неравенство е (( Е.
Ограничиваясь линейным членом, получим: е ени н ,же е (7.3) где ! дн 0 дЕ (7.4) Подставив (7.3) в (7.2), приходим к более удобной и практически столь же точной формуле: е е )ег (з) = — (и (н). гэ (е) е ) е е х У 0 (е) е а е Это и есть каноническое распределение для квантовой системы. Теперь для расчета вероятностей необходимо знать допустимые квантовые состояния и уровни энергии одной исследуемой системы. Взаимодействие с термостатом проявляется лишь в наличии постоянного параметра О, называемого статистической температурой.
Каноническое распределение нормировано на единицу, так что ~~"„()т (н) = 1, е (7.6) причем роль нормировочного множителя играет сумма, стоящая в знаменателе формулы распределения е ~=~()(е)е е (7.6) е г Мы изменили ойаэиеиение энергии системы. Она называется статистической суммой и необходима при расчете термодинамических характеристик системы. Переменная суммирования н пробегает все значения, которые разрешены для энергии подсистемы. Рассмотрим график канонического распределения (см. рис. 6). Ход кривой определяется двумя функциями — сомножителями ее (Е) и экспонентой е ~ . Первый из них для любой макроскопической си— иге г стемы, имеющей большое число степеней свободы, быстро растет при увеличении энергии. Напротив, второй — экспоненциальный — множитель быстро убывает с ростом энергии.
Наличие двух противоположным образом изменяющихся сомножителей приводит к тому, что кривая распределения имеет характерную колоколообразную форму с максимумом в точке Е = Е„„где Е„. — наиболее вероятное значе- ние энергии. Функции ь) (Е) и е ~ резковозрастаютилиубывают при — и!е малом изменении энергии.
Благодаря этому максимум канонического распределения оказывается весьма острым. Общий ход кривой %(Е) практически невозможно изобразить на чертеже ни в каком масштабе, Это почти 6-функция от энергии, что отмечалось в З 5.2 при сопоставлении канонического и микроканонического распределений. Вероятность состояния с Е = Ен, практически равна 1, а вероятность всех других состояний — О. Отсюда следуют приближенные равенства Е ж-Е„, (7.7) Ь ж Е(Ен,) Е(Е), (7.8) Формально данные выражения могут быть получены следующим образом. При расчетах средних значений по формуле (5.4) с помощью распределения (7.5) в суммах можно брать только одно, но самое большое слагаемое, соответствующее Е,,: Е н.в Хь)(Е)н е ж О(Е„л)е (7.9) Е Пн.в (7.10) Хь (Е) () (Е) е ж Е (Ен,) () (Е,,) е Соотношения (7.7) и (7.8) справедливы и при использовании классиче.
ского распределения (6,7) (см. З 14.2). 7.2. Статистическая температура По определению статистическая температура В есть микроскопическая величина, и она является характеристикой равновесной макроскопической системы — термостата. Заметим, что 6 ) О, иначе с ростом энергии системы вероятность состояния неограниченно возрастала бы, что физически невозможно. Покажем, что этот параметр может служить указателем наличия или отсутствия равновесия двух макроскопических систем.
Пусть системы (термостаты) А и В имеют значения статистической температуры, равные ат и Ов соответственно, Распределения вероятностей для подсистем, их составляющих, имеют вид для системы А: е 1 йгя(е) = — е 'й (е) г, (е,) для системы В: в 1 )Ггв (е) = е 'ь)в (е). г, (е,) 48 Пусть какая. нибудь подсистема 1 из системы А взаимодействует с некоторой подсистемой П из системы В. Обе находящиеся в контакте подсистемы образуют одну объединенную подсистему. Если послелняя оказывзегся а состоянии статистического равновесия, то распределение вероятностей для ее состояний будет каноническим, т.
е. выразится формулой е 1 е йг (с) = — е й (е). (7 1 1) г (0] Закон распределения вероятностей для состояний объединенной подсистемы может быть найден и другим путем. При слабом взаимодействии подсистемы 1 и П являются квазивезависимыми. Применяя теорему умножения вероятностей, вычислим вероятность того, что одна из них обладает энергией е,, а другая — е: 1 )р (ех, ез] = е 'е 'й,(е,)й (е,). г,(ООг,(0,) Теперь найдем вероятность того, что энергия объединенной подсистемы равна ж 1 )Р' (е) = 2]Р' (ех, е — е!] = 2 е е й! (е!) йз (а — еД = = „г! (О!] гз (0.) е Г! !т 1 а ~(к в е ' Хе * ' й, (е,) й (е — е,) (7.12) 2 (ОО г (Оз) Чтобы распределения 7.11 и 7.!2 тождественно совпадали, необходимо выполнение равенства О, О, = О. Действительно, прн совпадении статистических температур выражение (7.12) йереходит в (7.11), поскольку !! 1) "~~ ' еи а' й! (е!)й, (е — е ) = ~'й! (ех]йз(е — е!) = й (е) (7.! 3) е, е, е, 2,(0!)У,(0,) = хт(0)2,(9) = ~Р~йт(ейе е Уй (,), е е| е, е,+е, е ~~~,'~ч~Р з йг (ех] йз (ез) = ~~~~~~,е й! (ейй, (е — еД = ц е, е а, ~~~"й! (е!)й, (е — е!) = Уе й (е) = 7 (0).
(7.14) з е е е, е Если О! ~ О„то выражение (7.11) не совпадает с (7.12], и, следовательно, равновесие в объединенной подсистеме отсутствует. Итак, если привести в контакт две равновесные системы при О, = = О„то получится тоже равновесная объединенная система. В противном случае (при О, ~ О,) она окажется неравновесной. Отсюда видно, что физическая характеристика равновесных систем О обладает всеми свойствами термодинамической температуры и поэтому должна быть однозначно с ней связана'. Такую связь можно установить. Рассматривая термостат как изолированную макроснстему. следует ' Понятие термодинамической температуры известно из общего курса физики. См.
также й 8.3. отождествлять энергию Е с внутренней энергией У. Соотношение (7.4) тогда может быть записано так: где производная берется при постоянных внешних параметрах системы. Согласно формуле Больцмана (6.10) — 5 'ьа =е й и, следовательно, Воспользуемся формулой из термодинамики (до) ! Оиь т [см. (12.13)1. Таким образом, величина О пропорциональна темпера- туре термостата: О = мТ. (7.!5) Подставим в формулу канонического распределения (7.5) выражение (7.15). Получим ьг Я(а) е (7.!б) ат ЕИ (е) Е а В каноническое распределение явным образом входит температура. Благодаря этому легко устанавливается связь лтежду статистическим и термодинамическим описанием одного и того же объекта.
Это обуславливает его широкое применение в задачах статистической физики. Каноническое распределение (в рамках классической физики) было получено Гиббсом в 1901 г. Следует заметить, что термодинамической системе с заданной температурой н статистической физике фактически соответствуют два различных объекта, Вопервых, ато замкнутая система, состоящая из многих подсистем и находящаяся в равнонесии.
Во-вторых, зто незамкнутая система, взаимодействующая с термостатом. В первом случае температура, как н любой термодинамический параметр, является усредненной характеристикой внутреннего движения, значение которой определено с точностью до малых флуктуаций. Во втором случае температура си. стемы считается фиксированной и, поскольку имеетместо термодинамическое равновесие, она равна температуре термостата. Флуктуации тем меньше, чем больше система. Это и обусловливает возможность создания термостата, т.
е. тела, температура которого должна сохраняться неизменной. В системе, состоящей вз небольшого числа частиц, понятие температуры становится неопределенным, и оно полностью теряет смысл, если применять его к отдельной частице. Рассмотрим свсгему, состоящую из двух квазинезавпсимых подсистем, Пусть для нее справедливо каноническое распределение. бо 1 )р (с) = . е И (е). х (е) (7 17) )(а основании формул (7.12), (7.13), (7.14) пишем: )р (е) = Х )р (аг) йга (е — ей = ~~~~~ ягх (ег))р'а (е,), е, егте,=е причем )р'т (сг) — е 1)г (е,); )га (е,) = — е Из (е,), хг(В) ' ' ' ' ' Ха(О) и, следовательно, распределения для частей системы имеют тот же вид (7.17), что и для всей системы в целом.
Данный вывод непосредственно обобщается на системы, состоящие из любого числа квазинезависимых подсистем. При изучении свойств газов в классической статистике в качестве квазивезави. симых подсистем допустимо рассматривать отдельные частицы. Тогда указанное правило позволяет найти заков распределения частиц по энергиям: он имеет тот же вид, что и каноническое распределение при заданной температуре системы.
В этом смысле каноническое распределение можно применять и к огдельным частицам . Температура, как параметр распределения, остается характеристикой макроскопического объекта. Она описывает состояние всего газа в целом. 7.3. Каноническое распределение в квантовой и классической областях. Квазиклассическое приближение Установим связь между каноническими распределениями (7.!6) и (6.7). Для этого выполним переход от квантового распределения к классическому. Уровни энергии квантовой системы дискретны, в классической физике энергия — непрерывная величина. Рассмотрим узкий интервал энергий от Е до Е + ЬЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
