Главная » Просмотр файлов » Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика

Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 11

Файл №1185108 Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика.djvu) 11 страницаВасилевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108) страница 112020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

По сравнению с ней термостат представляет собой объект относительно больших размеров. Рассмотрим ряд состояний, в которых исследуемая система имеет энергию а, а термостат — (Š— в). Если 11 (е) — число состояний системы, 11, (Š— е) — термостата, то число состояний всей сложной системы е указанным разделением энергии между обеими ее частями равно системы значительно меньше энергии термостата. Это позволяет разложить вспомогательную функцию и (Š— е) в ряд Тейлора. При всех состояниях сложной системы имеет место неравенство е (( Е.

Ограничиваясь линейным членом, получим: е ени н ,же е (7.3) где ! дн 0 дЕ (7.4) Подставив (7.3) в (7.2), приходим к более удобной и практически столь же точной формуле: е е )ег (з) = — (и (н). гэ (е) е ) е е х У 0 (е) е а е Это и есть каноническое распределение для квантовой системы. Теперь для расчета вероятностей необходимо знать допустимые квантовые состояния и уровни энергии одной исследуемой системы. Взаимодействие с термостатом проявляется лишь в наличии постоянного параметра О, называемого статистической температурой.

Каноническое распределение нормировано на единицу, так что ~~"„()т (н) = 1, е (7.6) причем роль нормировочного множителя играет сумма, стоящая в знаменателе формулы распределения е ~=~()(е)е е (7.6) е г Мы изменили ойаэиеиение энергии системы. Она называется статистической суммой и необходима при расчете термодинамических характеристик системы. Переменная суммирования н пробегает все значения, которые разрешены для энергии подсистемы. Рассмотрим график канонического распределения (см. рис. 6). Ход кривой определяется двумя функциями — сомножителями ее (Е) и экспонентой е ~ . Первый из них для любой макроскопической си— иге г стемы, имеющей большое число степеней свободы, быстро растет при увеличении энергии. Напротив, второй — экспоненциальный — множитель быстро убывает с ростом энергии.

Наличие двух противоположным образом изменяющихся сомножителей приводит к тому, что кривая распределения имеет характерную колоколообразную форму с максимумом в точке Е = Е„„где Е„. — наиболее вероятное значе- ние энергии. Функции ь) (Е) и е ~ резковозрастаютилиубывают при — и!е малом изменении энергии.

Благодаря этому максимум канонического распределения оказывается весьма острым. Общий ход кривой %(Е) практически невозможно изобразить на чертеже ни в каком масштабе, Это почти 6-функция от энергии, что отмечалось в З 5.2 при сопоставлении канонического и микроканонического распределений. Вероятность состояния с Е = Ен, практически равна 1, а вероятность всех других состояний — О. Отсюда следуют приближенные равенства Е ж-Е„, (7.7) Ь ж Е(Ен,) Е(Е), (7.8) Формально данные выражения могут быть получены следующим образом. При расчетах средних значений по формуле (5.4) с помощью распределения (7.5) в суммах можно брать только одно, но самое большое слагаемое, соответствующее Е,,: Е н.в Хь)(Е)н е ж О(Е„л)е (7.9) Е Пн.в (7.10) Хь (Е) () (Е) е ж Е (Ен,) () (Е,,) е Соотношения (7.7) и (7.8) справедливы и при использовании классиче.

ского распределения (6,7) (см. З 14.2). 7.2. Статистическая температура По определению статистическая температура В есть микроскопическая величина, и она является характеристикой равновесной макроскопической системы — термостата. Заметим, что 6 ) О, иначе с ростом энергии системы вероятность состояния неограниченно возрастала бы, что физически невозможно. Покажем, что этот параметр может служить указателем наличия или отсутствия равновесия двух макроскопических систем.

Пусть системы (термостаты) А и В имеют значения статистической температуры, равные ат и Ов соответственно, Распределения вероятностей для подсистем, их составляющих, имеют вид для системы А: е 1 йгя(е) = — е 'й (е) г, (е,) для системы В: в 1 )Ггв (е) = е 'ь)в (е). г, (е,) 48 Пусть какая. нибудь подсистема 1 из системы А взаимодействует с некоторой подсистемой П из системы В. Обе находящиеся в контакте подсистемы образуют одну объединенную подсистему. Если послелняя оказывзегся а состоянии статистического равновесия, то распределение вероятностей для ее состояний будет каноническим, т.

е. выразится формулой е 1 е йг (с) = — е й (е). (7 1 1) г (0] Закон распределения вероятностей для состояний объединенной подсистемы может быть найден и другим путем. При слабом взаимодействии подсистемы 1 и П являются квазивезависимыми. Применяя теорему умножения вероятностей, вычислим вероятность того, что одна из них обладает энергией е,, а другая — е: 1 )р (ех, ез] = е 'е 'й,(е,)й (е,). г,(ООг,(0,) Теперь найдем вероятность того, что энергия объединенной подсистемы равна ж 1 )Р' (е) = 2]Р' (ех, е — е!] = 2 е е й! (е!) йз (а — еД = = „г! (О!] гз (0.) е Г! !т 1 а ~(к в е ' Хе * ' й, (е,) й (е — е,) (7.12) 2 (ОО г (Оз) Чтобы распределения 7.11 и 7.!2 тождественно совпадали, необходимо выполнение равенства О, О, = О. Действительно, прн совпадении статистических температур выражение (7.12) йереходит в (7.11), поскольку !! 1) "~~ ' еи а' й! (е!)й, (е — е ) = ~'й! (ех]йз(е — е!) = й (е) (7.! 3) е, е, е, 2,(0!)У,(0,) = хт(0)2,(9) = ~Р~йт(ейе е Уй (,), е е| е, е,+е, е ~~~,'~ч~Р з йг (ех] йз (ез) = ~~~~~~,е й! (ейй, (е — еД = ц е, е а, ~~~"й! (е!)й, (е — е!) = Уе й (е) = 7 (0).

(7.14) з е е е, е Если О! ~ О„то выражение (7.11) не совпадает с (7.12], и, следовательно, равновесие в объединенной подсистеме отсутствует. Итак, если привести в контакт две равновесные системы при О, = = О„то получится тоже равновесная объединенная система. В противном случае (при О, ~ О,) она окажется неравновесной. Отсюда видно, что физическая характеристика равновесных систем О обладает всеми свойствами термодинамической температуры и поэтому должна быть однозначно с ней связана'. Такую связь можно установить. Рассматривая термостат как изолированную макроснстему. следует ' Понятие термодинамической температуры известно из общего курса физики. См.

также й 8.3. отождествлять энергию Е с внутренней энергией У. Соотношение (7.4) тогда может быть записано так: где производная берется при постоянных внешних параметрах системы. Согласно формуле Больцмана (6.10) — 5 'ьа =е й и, следовательно, Воспользуемся формулой из термодинамики (до) ! Оиь т [см. (12.13)1. Таким образом, величина О пропорциональна темпера- туре термостата: О = мТ. (7.!5) Подставим в формулу канонического распределения (7.5) выражение (7.15). Получим ьг Я(а) е (7.!б) ат ЕИ (е) Е а В каноническое распределение явным образом входит температура. Благодаря этому легко устанавливается связь лтежду статистическим и термодинамическим описанием одного и того же объекта.

Это обуславливает его широкое применение в задачах статистической физики. Каноническое распределение (в рамках классической физики) было получено Гиббсом в 1901 г. Следует заметить, что термодинамической системе с заданной температурой н статистической физике фактически соответствуют два различных объекта, Вопервых, ато замкнутая система, состоящая из многих подсистем и находящаяся в равнонесии.

Во-вторых, зто незамкнутая система, взаимодействующая с термостатом. В первом случае температура, как н любой термодинамический параметр, является усредненной характеристикой внутреннего движения, значение которой определено с точностью до малых флуктуаций. Во втором случае температура си. стемы считается фиксированной и, поскольку имеетместо термодинамическое равновесие, она равна температуре термостата. Флуктуации тем меньше, чем больше система. Это и обусловливает возможность создания термостата, т.

е. тела, температура которого должна сохраняться неизменной. В системе, состоящей вз небольшого числа частиц, понятие температуры становится неопределенным, и оно полностью теряет смысл, если применять его к отдельной частице. Рассмотрим свсгему, состоящую из двух квазинезавпсимых подсистем, Пусть для нее справедливо каноническое распределение. бо 1 )р (с) = . е И (е). х (е) (7 17) )(а основании формул (7.12), (7.13), (7.14) пишем: )р (е) = Х )р (аг) йга (е — ей = ~~~~~ ягх (ег))р'а (е,), е, егте,=е причем )р'т (сг) — е 1)г (е,); )га (е,) = — е Из (е,), хг(В) ' ' ' ' ' Ха(О) и, следовательно, распределения для частей системы имеют тот же вид (7.17), что и для всей системы в целом.

Данный вывод непосредственно обобщается на системы, состоящие из любого числа квазинезависимых подсистем. При изучении свойств газов в классической статистике в качестве квазивезави. симых подсистем допустимо рассматривать отдельные частицы. Тогда указанное правило позволяет найти заков распределения частиц по энергиям: он имеет тот же вид, что и каноническое распределение при заданной температуре системы.

В этом смысле каноническое распределение можно применять и к огдельным частицам . Температура, как параметр распределения, остается характеристикой макроскопического объекта. Она описывает состояние всего газа в целом. 7.3. Каноническое распределение в квантовой и классической областях. Квазиклассическое приближение Установим связь между каноническими распределениями (7.!6) и (6.7). Для этого выполним переход от квантового распределения к классическому. Уровни энергии квантовой системы дискретны, в классической физике энергия — непрерывная величина. Рассмотрим узкий интервал энергий от Е до Е + ЬЕ.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее