Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Вероятность обнаружения системы в одном из состояний внутри интервала согласно (7.16) равна ег Ь)гг (Е) = ' а() (е) Е л е Л() (Е) Е При этом предполагается, что во всех точках между Е и Е + йЕ экспонента е г имеет приблизительно одно и то же значсние. Прак— вуег тически всегда уровни энергии макроскопических систем расположены настолько тесно друг к другу, что энергию можно считать непрерывно изменяющейся величиной. Это позволяет перейти к бесконечно малым интервалам энергии и суммирование заменить интегрированием.
Обозначая в данном случае через ь) (Е) число состояний при всех энергиях от О до Е, получаем ег Лу(Е' = ' е()( Е ег,() (Е) Далее с помощью соотношения (4.8) находим е(11 (Е). е(1? (Е) = (2яй) / ИЕ (2яй)т Тогда Е и' е(Г е — е(Е ~Ж(Е) = (7.18) ет ИГ ~Е ле Это и есть классическое каноническое распределение. Здесь оно записано как распределение вероятностей для энергии системы. Плотность вероятности выражается формулой — —;иГ е е(Е р(Е) = ет "." дЕ еЕ Стоящий в знаменателе интеграл обеспечивает нормировку на единицу плотности вероятности для значений энергии системы. Отметим также, что в согласии с классическим определением энтропии (6.11) вместо числа состояний !е (Е) в формулу распределения (7.18) входит еГ величина еЕ Запишем выражение (7.18) в виде Р еГ жр'= ' (7.19) ет е(Г Взятое в таком виде, классическое каноническое распределение определяет вероятность того, что фазовая точка, отображающая состояние системы, попадает в элемент объема фазового пространства е(Г.
Это равносильно тому, что обобщенные координаты и обобщенные импуль. сы системы примут одновременно значения, лежащие в соответствующих интервалах (д, д + ей)) и (р, р + е(р), а энергия станет равной Е ()), р). Поэтому соотношение (7.19) совпадает с ранее полученной формулой (6.7). Выделяя зависимость всех величин от переменных д и р, представим распределение (7.19) в виде (7.20) где и (в, м 7 = ) е йт «(9е(р. (7.21) и <и, е> еИ' (д, р) = — е 'т «(ек(р, ) Статистический интеграл / играет в классической статистике ту же роль, что н статистическая сумма Л в квантовой статистике. Классические распределения (7.18), (7.19) и (7.20) имеют ограниченную применимость.
(Критерий, устанавливающий, в каких пределах законно использование классической статистической физики, будет даи в 9 21.4.) В этом они уступают строгим квантовым соотношениям. Однако вычисления по квантовым формулам часто оказываются слишком сложными.
Поэтому в конкретных расчетах часто применяются приближенные квазиклассические выражения. Например, в формуле статистической суммы (7.6) 2 = Хй (Е) е змг Е суммирование заменяется интегрированием: 2 =)' — а1'т,Я (Е) Причем Ю (Е) находится с помощью какой-нибудь из формул (4.8), (4.10), (4.13).
В частности, квазнклассическое соотношение Е = е ~ ' г(ддр (7,22) И! (2яя) будет использовано ниже при изучении свойств газов. Статистическая сумма (7.22) отличается от статистического интеграла (7.2!) только постоянным множителем 1 Однако без У! (зягйз" ' него нельзя получить во всех отношениях корректных выражений для термодинамических характеристик системы. 7.4. Сводка основных понятий и принципов статистической физики Статистическая система состоит из огромного числа квазинезависимых подсистем, слабо взаимодействующих между собой. Система рассматривается как замкнутая, подсистемы — как квазизамкнутые.
Микросостояние системы задается как механическое состояние всех ее микрочастиц, т. е. как совокупность ЗМ пар значений координат д, и импульсов рг Для квантовых систем указываются квантовые состояния всех подсистем. Статистическое распределение определяет вероятность нахождения системы в различных микросостояииях: Ж'; — у (е,); Й!р = р (д, р) пГ, а вместе с тем средние значения величин как параметров макросостояния: Х = ПЛР;, Г=,(рй (Г.
Статистическое равновесие достигается самопроизвольно. Оио отличается постоянством функции статистического распределения во времени. Ему соответствует максимальная термодинамическая вероятность. 53 Основным положением статистической физики является постулат микроканонического распределения. Из него следует каноническое распределение, которое обычно и применяется в теоретических и практических исследованиях. Связь статистического и термодинамического описания системы основывается на формуле Больцмана о = )г!п (р' .
Поведение неравновесных систем изучается с помощью формулы Больцмана. При этом неравновесная система представляется как совокупность равновесных квазинезависимых подсистем. Задачи л главе 11 2.1. Найти уравнение фазовой траектории: а) для точки, совершающей гар. моническне колебания вдоль оси Ох по закону х = а сох ы1; б) для точки, свободно падающей в одвородном поле тяготения. рз ха Ответ.
а) эллипс + — = 1; шзаеыа аз б) парабола р= — ш)'2л(Ь вЂ” х) (ось Ох направлена вверх, а— начальная высота, и — ускорение силы тяжести). 2.2. Найти объем фазового пространства, соответствующего всем возможным состояниям релятивистского движения свободной материальной точки, при энергиях, не превышающих е.
Ответ. 4п /ез )згх н (е) = — у — — тасе) 3 (са 2.3. Найти число квантовых состояний фотона в интервале энергий от е до е+ де. Решение. Фотон рассматривается как релятивистская частица, масса которой т = О. из решения задачи 2.2 следует, что фазовый объем ак (е), прикодящийся на состояния в указанном интервале энергий, равен 4нУез э Используя формулу (4.8), получаем: уез пь (6) = г(е и'д "с' (Учтены две возможные ориентации спина.) 2.4. Найти объем фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние одномерного гармонического осциллятора. Решение.
Фазоаое пространство двумерно. Согласно данным задачи 2.1 всем состояниям дви- 1 а/2а жениЯ с энеРгией, меньшей е, соответствУет плоЩаДь эллипса с полУосЯми — гаг— м ш и ) 2ет.(Напомним, что энергия классическо о осциллятора связана с амплитудой шызиа 1 формулой е = —,) Отсюда объем фазового пространства, приходящийся на 2 ! все сос~ояння с энергией от О до е, равен 2яс а(е) = — „. 64 Используя правило квантования энергии осциллятора 11 е„= дез (л + — ); л = О, 1, 2, . 2)' получаем искомый объем г: 2лд При е )) лы т = 2лз (рис. 8, где выделены зоны, приходящиеся на различные квантовь.е саста. яния).
2.5. Показать, что наиболее вероятным является состояние газа с равномерным распределением частиц по двум половинам о5ъема. Рис. 8 Решение. Каждая молекула имеет равную 1/2 вероятность оказатьси в левой нли правой половине сосуда. Вероятность того, что п конкретных молекул находятся слева, а 1 (Ф вЂ” л) остальных — справа, равна —. 2и' Вероятность того, что любые л молекул окажутся слева, а остальные (Д! — л)— 1 справа, получится умножением — на число способов, которыми можно выбрать 2л указанные л частиц: 1 М (р(и) =С"„—,= 2 л' (Л/ — и)! 2 Это выражение имеет максимум при л = Д!!2.
2.6. Найти вид функции )р' (л) предыдущей задачи вблизи мансимума. У к а з а н и е. Использовать приближенную формулу Стирлинга (П.10). О т в е т. х' а Ф )р (к) = (т' (0)е (а = †; к = л — а; )х) (( а). 2 ' 2.7. Дана система из Д! кзазинезависимых частиц с полуцелым спинам. Тре. буется найти состояние с наиболее вероятным значением суммарной проекции спина системы на Ог.
У к а з а н и е. Использовать решение задачи 2.5. Ответ. Е,= О. 2.8. Записать классическое каноническое распределение для идеального газа. Исследовать вид распределения вблизи гочки максимума, Р е ш е н и е. На основании формул (7.18) и (3.12) имеем: бФ'(Е) = ! (Е) бЕ, зл и — ! —— 2 ьт. 1(Е) = сопз1 Е е Запишем функцию 7 (Е) в виде 7 (Е) = ее!и! (ЗЛ' 1 Е ф (Е) = сопз! + ~ — — !) 1п Š— —. '12 ) т Обозначим точку максимума через Е,. Вблизи точки максимума 'р (Е) = гр (Ее) + гр (Еэ) (Е Ее) + ! + гр" (Е ) (Š— Ее)'.
2 причем гр' (Еэ) = О. Вычислив !р" (Е,), получаем возможность представить ! (Е) в окрестности точки Е, в виде !и — поР тйгп, !'(Е) = сопз( е 2,9. Найти фазовые траектории одномерного движения материальных точек в однородном поле тяготения. Проиллюстрировать справедливость теоремы Лиувилля.
У к а з а н и е. Начальные положения изображаинцих точек расположить по сторонам квадрата (рис. 9). 2.10. Макросистема со тоит из М независи- мых подсистем. Квантовые состояния подсистем обозначаются индексом !. Записать выражение для энтропии через значения чи. сел иь задающих число подсистем в каждом квантовом состоянии. Р е ш е н и е. Л' подсистем можно распределить по гл сосгояниям при заданных л! числом способов, равным л1л,1 ..и„! (см. «Приложение»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
