Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Легко показать, что дб = — Здт+ Уг(Р— лдЕ. Из последнего равенства следует тождаство (дЕ)т, и (дР)г, и Это соотношение связывает явление электрострикции (изменение объема при из. менении внешнего поля) и пьезоэффект (возбуждение электрической поляризации при изменении механического состояния вещества). 4.7.
Используя аналогию между электрическими и магнитными величинами в электродинамике, записать соотношения для магнетина во внешнем магнитном поле, подобные тем, которые были составлены для диэлектрика в задаче 4.6. 4.8. Рассмотреть явление охлаждения при адиабатическом размагничивании парамагннтного вещества. Решение.
По аналогии с формулой (4) задачи 4.6 имеем: тдз = ди + Рду+ ын, и гда 1 и„= и — — р, УН вЂ” (Н, Н вЂ” напряженность магнитного поля и ! — днпольный магнитный момент всего образца. Очевидно, что ди„= тдз — Рду — (дн. Отсюда следует тождество (до)5, и (33)н, и Найденное соотношение служит теоретической основой явления охлаждения при адиабатическом размагничивании вещества, с помощью которого удалось приблизиться к абсолютному нулю.
Обратим внимание, что (дЗ)н, и ( ЬЯ)н, г ( СдТ)н, и СнЯдТ)н, г где Сну — теплоемкость при постоянном объеме и напряженности магнитного поля. Поэтому справедливо равенство Согласно закону Кюри, найденному экспериментально, магнитная восприимчи. вость )( = †, где у = сопз(. Поэтому у Т' г)'г' 1= ХР,НР= ур,— Т В итоге получаем: При низких температурах Сг — Т'.
Поэ~ому при уменьшении магнитного поля температура резно понижается. (Однано достичь температуры Т = 0 таким образом нельзя. Вблизи абсолютного нуля Х перестает зависеть от температуры, и производ- д/ ная — стремится к нулю при Т вЂ” ь 0.) дТ Опыт по охлаждению вещества с помощью адиабатического размагничивания ставится следующим образом.
Немного парамагнетика (например, железоаммоние- 5 вых квасцов) помещается между полюсами сгиьного электромагнита. Образец омываетг ся жидким гелием. За счет хорошего контакта достигаются изотермические условия при намагничивании. В магнитном поле магнитные моменты отдельных частиц ориентируются одинаково. Этим достигается известное упорядочение в системе и, следовательно, умень. шение энтропии (см. переход 1 - 2 на у 2 рис.
23). Если удалить жидкий гелий, то вокруг образца создается пустота. Образуется адиа. батическан оболочка. Если теперь выключить магнитное поле, то вещество размагннчиваегся в адяабатических условиях. Энтропия при э1ом остается постоянной а температура падает (переход 2 — ь 3 на рис. 23), 0 Т Но постоянной являетси только энтро- пия образца в целом. Энтропия же системы Рис. 23 магнитных моментов при разупорндочивании 112 их ориентации должна возрасти. На столько же убывает энтропия «немагнитной» подсистемы. При этом происходит передача тепло. ты от «немагнитной» подсистемы к «магнитной» подси теме. За счет этого н происходит охлаждение.
Новейшее видоизменение этого метода основано на эффекте адиабатического размагничивания системы атомных ядер. Этим способом достигнуты температуры до 1О ' К. Рис. 24 4.9. Методом термодинамических функций исследовать изменение температуры газа при прохождении им скачкообразного изменения давления (эффект Джоуля— Томсона). Р е ш е н и е. "1тобы процесс был равновесным, газ прогоняетси через пористую перегородку (рис. 24), по обе стороны которой давление различно (Р, < Р,). Пусть левый поршень из некоторого начального положения передвинулся впав»ну»о к перегородке.
При этом была совершена работа А» = Рт (Π— У») = — Р,У„ если сжатие происходило изобарическн. Другой поршень вначале стоял возле пере. городки, а в конце процесса переместился так, что газ занял объем У,. Если расширение газа было изобарическим, то работа равна А» = Р»(У» — О) = Р»У», Допустим также, что вся система была помещена в адиабатическую оболо ~ну, по. этому полная работа связана с изменением внутренней энергии как Л(г = — А или (Г~ — (Г~ = — (А» + А,) = Р, У, — Р,У,. Отсюда следует, что в процессе Джоуля — Томсона и, + Р.У, = и, + Р,У,, т. е, что этот процесс изоэнтальпический.
Согласно (!2.!4) »(Н = Тг(Б + УбР. Перейдем к переменным Т и Р. Дифференциал энтропии в этих переменных равен бб=~ — ) ДР+~ — ) дт. бн=~~+т( — т ~!л +т( — ) бт. После подстановки У+Т( — ) '(А, Правая часть найденного равенства определяет эффект, Ее следует преобразовать »ак, чгобы в ней фагурировали непосредственно измеряемые величины. Нетрудно видеть, что 113 При изоэнтальпнческом процессе г(Н = О и отношение изменений давления в тем- пературы равно ~дТ) и Т Из тождества (12.12) следует: Изменяя запись левой части и подставляя выражения для производных от витра.
пни, получаем: Для идеального газа выражение в квадратных скобках оказывается равным /дУ) нулю. Для газа Ван-дер-Ваальса производная 1 — ) вычислена в задаче 5.7. С ~,дТ)р точностью до малых членов первого порядка 2а Отсюда видно, что при Т < — эффект отрипателен и может быть использован для ВЬ охлаждения газа.
4.1б. Дано выражение для свободной энергии системы: а Р = С Т (1 — 1и Т) — — — КТ 1и (У вЂ” Ь). У У Найти термическое и калорическое уравнения состояния. О т в е т. РТ а а Р= — -- — —: и=Сит У вЂ” Ь У1 Глава )7 ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ГАЗОВ В данной главе мы переходим от изложения основ статистической физики к ее приложениям. С помощью статистических методов наиболее полно изучены свойства газов. Прежде всего обратимся к идеальному одноатомному газу, как к простейшей системе, для которой все выкладки могут быть проведены до конца. Естественно, что многие результаты читателю будут заранее известны как эмпирические законы или как выводы молекулярно-кинетической теории. Однако решение указанной задачи полезно для овладения методами статистической физики.
Кроме того, всегда немалую эвристическую ценность имеет вывод конкретных формул, описывающих те или иные объекты или явления, из основных положений физической теории. й 16. Вычисление теРмодинАмических Функций КЛАССИЧЕСКОГО ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА 16.1. Статистический интеграл для идеального газа В З !4 получены общие выражения для расчета характеристик термодинамической системы. Согласно этим формулам для нахождения термодинамических функций идеального газа прежде всего необходимо вычислить статистическую сумму (7.6). Из нескольких различных форм записи этой величины мы выберем выражение (7,22): в<Ф ю за ~ е г!г!г(Р ! А! (2„Л)зм Это означает, что используется квазиклассическое приближение.
Если внешние поля отсутствуют, то энергия идеального газа равна 2, у 2 2 2 у Р!! Р! = Руу+ РО+ Рм 2!а~ у=! уу „,„"е '=' П (г(х!(у!(з!(Р,с(ру!(Р,),. (!6 !) 115 Учтем также, что координаты и импульсы всех частиц пробегают один и те же значения. Следовательно, все интегралы-сомножители численно равны, и поэтому А Л= (16.2) м! (2пй)зм ' где "«+еу+~т 3 з 2 А = ~е ь зт г(хт(уг/хг(рхг(ртг(р,, (16. 3) Очевидно, что з 3 ,з ~т — ~т с — г А = )Ахнут(х ') е з зги„')' е з"зте(/з )' е з зги(/з Причем Дхдулг = У. Используя формулу (П.
6), получаем: А = )т (2птйТ) /~ (16 А) Таким образом, статистическая сумма для идеального газа равна зм г = — ')/" ( — '„')'. (16.5) Для дальнейших вычислений нужен!п 2. С помощью приближенного выражения (П.!0) находим: зм (2ялз/ /т' 12пйз/ 118 Изменение координат любого атома ограничено пределами объема, где находится газ.
Подынтегральная функция быстро убывает с ростом переменных интегрирования р„, рт и р,. Поэтому можно принять, что проекции импульсов изменяются от — оо до оо, т. е. возможны любые направления движения атома и любые энергии в пределах от 0 до оо (на самом деле изменение энергии частицы ограничено сверху значением полной энергии газа). В данном случае энергия системы равна сумме энергий отдельных атомов. Поэтому интеграл (16.1) можно представить в виде произведения однотипных интегралов, где интегрирование ведется по координатам и импульсам отдельных частиц: 2 м;— М! (2пд)" -1 16.2.
Основные термодинамические функции и уравнение состояния идеального газа Если известен статистический интеграл, то найти термодинамические величины несложно, Применяя формулы (14.12) для энергии, (14.14) для свободной энергии и (14.13) для энтропии, в результате вычислений имеем: и = — А7АТ. 3 2 г = — Аг7Т!п — ( — ) У ~2яй' / (16.7) (1 6.8) 5 — йл( 1п — ( —,) (16.9) Используя термодинамическое соотношение (12.7) для давления газа и формулу (16.8), можно получить уравнение состояния: Р'г' = л7АТ = — ЯТ.
(16.10) Р Уместно заметить, что с помощью этого уравнения можно определить постоянную Больцмана А. В самом деле, !с = Й1Ул, где Я вЂ” константа, измеряемая экспериментально, а А и — постоянная Авогадро. Согласно выражению (16.9) энтропия идеального газа при Т- 0 обращается в бесконечность (5 (О) = — оо). Это противоречит наблюдаемым фактам и третьему началу термодинамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
