Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Уровни энергии одномерного осциллятора не вырождены, т. е. (ел,„(е) = 1. Значения энергии определяются правилом квантования: При Т «О в ! у~ зп — ж — е 2Т 2 (20.23) в С„„= АЖ( — ) е Обратим внимание, что С„„= 0 при Т =*О. Для всех молекул значение 0 порядка нескольких тысяч градусов.
Поэтому при комнатных температурах и ниже колебательная тепло- емкость пренебрежимо мала. 20.5. Вращательная теплоемкость. Обсуждение результатов расчета теплоемкости двухатомных газов Исследуем теперь вращательную.. теплоемкость. Двухатомная молекула подобна квантовому ротатору с постоянным моментом инерции. (Эта модель верна при малой амплитуде колебаний ядер.) Энергия ротатора принимает дискретный ряд значений: йо .
е7 = — ' 1 (1 + 1); ! = О, 1, 2, ..., 2М (20.24) где М вЂ” момент инерции относительно центра масс системы. Уровни энергии вырождены, так как при заданной энергии (и моменте импульса) может быть (21 + 1) состояний с различной проекцией момента импульса: ю йа/(/+8 г, = ~(2~+1)е (20.25) !=а з Введем характеристическую температуру: О = —. Значения 2МА этой величины порядка десятка градусов Кельвина или меньше (за исключением водорода, для которого 0 = 85 К). При Т « 0 в сумме (20.25) можно оставить только первые два слагаемых, а остальными пренебречь.
в Дт+и в 2, = — ~~'.~(21+!) е ж 1+ Зе г. (20.25) г=о Если Т )) 8, что обычно и имеет место, уровни энергии можно считать квазикепрерывными, так как интервалы между уровнями оказываются много меньше йТ. В этом случае суммирование приближенно заменяется интегрированием: О в. 2, ) (2!+1)е г д/. о Сделаем замену переменных: положим х = ! (!' + !). !37 Тогда е» Л =~в с(х= —.
Т (20.27) вр. ) 8' о Вычислим теплоемкость С,р, приняв для статистической суммы Л„значение, найденное по формуле (20.27). Используя формулы (20.14), (20.16), (20.27), получаем Сьр — — Мй, что совпадает с классическим результатом. Напротив, при низких температурах оба подхода — классический и квантовый — расходятся. При Т « О статистическая сумма Л,р находится из (20.26) и теплоемкость Сер равна С, = 12У/г ( — ) е При Т-+ 0 вращательная теплоемкость экспоненциально стремится к нулю. Результаты применения квантовой статистики к двухатомным газам находятся в полном соответствии с экспериментальными данными (см. 5 19.2).
При комнатных температурах основной вклад в теплоемкость газа дает поступательное и вращательное движения молекулы. При понижении температуры вращательная теплоемкость заметно убывает. Вместе с ней уменьшается и общая теплоемкость газа.
При низких температурах все внутренние степени свободы «вымерзаютж Двухатомный газ имеет такую же теплоемкость, как одно- атомный с той же массой молекул. Повышение температуры сверх значений ЗООК должно приводить к росту теплоемкости за счет колебательных степеней свободы. При еще больших температурах для легких молекул на увеличении теплоемкости может сказаться колебательно-вращательное взаимодействие и отклонение колебаний от гармонического закова, которые мы здесь не учитываем.
При очень низких температурах теплоемкость, связанная с поступательным движением, должна убывать. В пределе Т- 0 С„„, = О. Из данных 5 20.3 это не следует. Поступательная теплоемкость остается все время постоянной. Чтобы получить правильный результат, необходимо более последовательно и строго учитывать квантовые особенности поведения частиш дискретность квантовых состояний, тождественность частиц, для фермионов — еще и действие принципа Паули. Это будет сделано в следующей главе. Задачи к главе (г 6.1.
Вычислить термодинамический потенциал одноатомного идеального газа. Ре ше н не. Воспользуемся выражением (16.8) для свободной знергии газа: 'ге / лЫТ ~ 3!з Р = — 'гуйТ 1п — ~ — / Ж ~ 2пде / Согласно формуле (13.6) химический потенциал равен 138 йТ 7 тйт'Мз и = — йт)п — ( — ~ Р12п ) Как было показано ранее (см. (13.11Ц, 0 = рМ. Отсюда йТ ! тйТ 1зlэ а= — Нйт )п — ~ — ) Р Х2пйз! 5.2. В вертикальном цилиндрическом сосуде высотой О находится 1 моль одно- атомного идеального газа при температуре Т. Найти энергию и теплаемкостгч учитывая наличие однородного поля тяготения.
Р е ш е н и е. Потенциальная энергия одной частицы равна и = тяз. Используя распределение Больцмана (17.3), найдем ее среднее значение: таз ййг(г) = сопз1 е "Г бг. По общим правилам вычисления средних таа Н ет ~ тйга бг й и таз Н вЂ” — „ ')е Фа е Отсюда получаем: — вйН и= йТ— таН е аг Средняя энергия одной частицы равна е = еа + и. Первое слагаемое находится с помощью теоремы а равномерном распределении энергии по степеням свободы: 3 еа = — кТ. Энергия одного моля газа равна 2 5 Е = вал — — — ЙТ— А тЕННА тГН аг е — 1 и теплоемкость равна тент ет (е — 1)э ан 3.3.
Найти среднюю энергию электрического дипаля и во внешнем однородном влектрическом пале напряженностью Е. 139 С помощью уравнения Менделеева — Клапейрона перейдем от переменных Т, Р и Н к переменным Т и Р, Р е ш е н и е. Во внешнем электрическом поле диполь имеет потенцизльную энергию и=- — РЕ= =- — РЕ соз О, где Π— угол между векторами р и Е.
Тепловое движение вынуждает диполь изменять направление в пространстве. Согласно распределению Больцмана (17.3) вероятность того, что вектор р будет ориентирован в пределах телесного угла йы, оказывается равной рЕ ~И' = сопз! ет~~~Ны; Т = —; йо = з!п Ыбйр Тй (рис. 2б) . Поэтому к нзп Рис. 26 ~ ( соз Оет 'о' з!п Ойййр и = — уйТ вЂ”" .пзп ( ( ет'" з!пЫОйр оо Интегрирование по зэ выполняется непосредственно: (ет 'о' зсоз О з!п ОДО й и = — уйТ 1~ет се' З а!и ОДО 'о Подстаиляя х = у соз О, получаем: 7 ~ хехй» вЂ” т и = — йТ т ) ехйх — т После простых выкладок находим; и = йТ (1 — ус!й у).
6.4. Уравнение состояния для неидеального газа имеет вид А В РУ=ЕТ(1+ — + — + ...). 1' У'. Величины А, В и т. д. называются зириальнымн коэффициентами. В общем случае зто какие'то функции от температуры и объема. Определить два первых вириальных коэффициента для газа Ван-дер-Ваальса. Решение.
Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса запишем в расчете на 1 моль вещества: (Р+ — ) (г' — о) = !сТ. Отсюда Воспользуемся приближенной формулой: (1 — к) ' = 1+ х+ х' ()х ! ~( 1). (2) 140 Получаеи: Ь Ьт а 1 Р =Вт(((+ — + — + ... — — ~ У Ув РТУ) а А=Ь вЂ” — , 'В=Ьт. гс Т' 5.5. Найти внутреннюю энергию газа Ван-дер-Ваальса. Решение. В задаче 4.4 было показано, что Интегрируя это равенство, получаем: и = - — + у(т). Произвольная функция г Щ легко определяется, если принять во внимание, что в пределе а -т 0 мы должны получить энергию идеального газа, Отсюда следует: 3 а и= — кт 2 )т 5.5.
Найти разность теплоемкостей Ср — Ср для газа Ван-дер-Ваальсз с точностью до линейных членов по значениям поправок а и Ь. У к з э а н и е. Использовать результаты решения задач 3.4 и 4.4 а также приближенную формулу (2) из задачи (5.4). О т в е т. С, — С,=Я(1+ — ). 5.7. Вычислить коэффициенты я„, ()г и йр для газа Ван-дер-Ваальса с точностью до линейных членов по значениям поправок а и Ь.
О т в е т. У к а з а н и е. Воспользоваться данными задачи 3.3. 5.8. Вычислить химический потенциал двухатомного идеального газа. Решение. Свободная энергия термодинамической системы определяется соотношением Т= Ьт)пг. Учитывая (20.10), запишем ее в виде Р = Роост+ Рпоп+ Рвр где йм пост Г„Ю по — йт 1П; Р„„= Ыт )П г„,„л И И1 Рва = — НйТ 1П 7чр. Статистические суммы 2„„„7.,„, и Езр для двухатомного газа были уже вычислены в й 20.
Используя (20.10) и приближенную формулу (П. 1О), имеем: Уе / тлТ )з/а Е, = — ИйТ!п — ~ — ~ пест )У 2паз Точно так же нз (20.19) следует: Йм )уды Екол=3Ч'1Т!п(1 — е ) + 2 Затем с помощью (20.27) находим: 2МяТ Таз — — — ХлТ 1п —, да В итоге дм Уе ГщйТ~~зГз аг 2МйТ Ды 1 Т = — тт)(1 — ~ — ~ — 1п (1 — )+ 1 — — „— 1. У (2иаа) да айТ ) Дифференцируя свободную энергию по числу частиц Д1, определяем химический потенциал как функцию переменных Т, У и Ж: вм У /тйТ'~з|з аг 2МЬТ Ды ! р = — аТ (1п — ( — ! — 1п (1 — е ) + 1и — — — ~. я (,2пд ! дз 2ЯТ~' Производная от своьодной энергии по объему дает давление газа: (Обратим внимание, что термическое уравнение состояния такое же, как для одно- атомного газа.) В заключение найдем химический потенциал как функцию температуры и давления: р = йТ 1п Р + ! (Т); (2) Д'2 7 Г ~и !Зуе2М ) (Т) = — — — йТ! и йТ -)- йТ 1п (1 — е ) — йТ 1п ( ) — + —.
2 ~ 2лаз) Кз Глава И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ й 21, РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ 21.1. Учет тождественности частиц в статистической физике В данном курсе изложение основ статистической теории велось с учетом квантовых свойств частиц. Например, дискретность уровней энергии отражена в формуле канонического распределения (7.16). Другие стороны квантового описания скрыты в общем понятии числа состояний системы. В частности, для расчета этой величины необходимо учитывать тождественность частиц. Согласно принципам квантовой механики частицы одного сорта (элементарные частицы, атомы, молекулы) не просто одинаковы по своим свойствам, они совершенно не отличимы друг от друга.
Как следствие, два состояния системы, различающиеся только перестановкой частиц по допустимым для них (одночастичным) состояниям, тоже оказываются не отличимыми одно от другого. Их необходимо принимать за одно состояние системы в целом. Принципиально неверно было бы утверждать, что в системе тождественных частиц частица А имеет набор квантовых чисел и, а частица  — набор ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
