Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 30
Текст из файла (страница 30)
14В ~~'.~6М„= 0; ~е„бМ„= О, (21.64) а а Если бы все приращения 6М„были.независимыми, то значения М„можно было бы найти, приравнивая нулю коэффициенты при 6М . в соотношении (21.5"). Однако нужно учесть ограничения, накладываемые на изменения бМ„равенствами (21.6*). Для этого первое из них умножим на произвольную постоянную у, а второе — на (! и сложим с равенством (21.5*).
Получаем: Г -'; Г ~- ~ . ) Ы. = О, и ! ~~а где все 6М„можно считать независимыми. Приравнивая нулю коэффициенты при 6М в (21.7*), находим: М„= (21.8') 3, (1п (да — й(„) — 1п Р7„)6Р7, = О. а (21.11') Х (1п (Ы вЂ” й! ) — 1п !т' + у + рз„) 661„= О.
Отсюда следуют значения чисел й1„, при которых достигается максимум энтропии фермионного газа; й! (21. 12") е а ! В этом случае среднее число частиц, приходящихся на одно квантовое состояние, таково: 1 л — т — Зеа е а ! (21.13") Мы получили распределение Ферми. Остается установить физический смысл постоянных у и 6 в распределениях (21.9») и (21.13"). Их числовые значения определяются из условий нормировки (21.4"): л)ы — т; — ае ' .'М~ где знак «+» относится к газу фермионов, а е — » — к бозонному газу'.
Запишем выражение для энтропии Бозе — газа в состоянии равновесия. Для этого подставим значения тт'„из (21.8*) в (21.3"). 'Кч ( ааха за ха еа аа 3 = А ~, — 1и — — 1п — на 1п йа а а ~ х — 1 х — ! х — 1 х — 1 а а а — т — ре х =е а После простых преобразований формула для энтропии приводится к виду Учитывая равенства (21.14"), получаем: 5 = — науй( — КŠ— (з~~'~с' 1п (1 — ет а).
а ' Далее используется метод, взятый из кис Р у м е р Ю. Б., Р ы в к н н М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и нинетика. — Мп !972. 149 Чтобы учесть условия (21.4*) и следующие из них требования (21.6'), умножим равенства (21.6") на произвольные постоянные Т и (1 и сло- жим с (21.11*). Аналогично для газа Ферми, воспользовавшись соотношениями (21.10*) и (21.12*), имеем: и; На еа ха Ла ха х+х+х+х ='Х( — '", "~е. (~-~ — '))— = — ауй7 — 'и'11Е + й~д„1п (1 + ет+" а), а с = — ))уУ вЂ” ))()Е - ~~~д 1п (1 + ет+Зе ) а (21.15") где знак «+> соответствует фермионам, а « †» — бозонам. Теперь вычислим производные от энтропии ( -) и ( †) дт К и д())т, г Как показывают индексы, при дифференцировании независимыми переменными, описывающими состояние газа, считаются (1, у и 1~.
Последний параметр не представлен в формуле (21,15") явно, но от него зависят уровни энергии еа и кратность их вырождения д„. Постоянство объема означает неизменность этих величин. В результате вычисления имеем: ( дЛ ) = — а7«' — "а'7Я вЂ” й()(д — ) е («- етеа~а ) + й,'» а 1-ье (21. 16«) или (21.17«) так как последнее слагаемое в (21.16*) равно лУ. Точно так же имеем: ( — ) = — ау( — ) — 'аŠ— /ф( — ) + (х. е т-Ьа~а ) а ) ~ т+ееа +,')'„ (21.!8*) или ( — ) = — Йу( — ) — йб ( — ), (21 19«) так как последнее слагаемое в (21.18') равно яЕ. !50 Обе формулы для энтропии квантовых идеальных газов запишем в виде одного соотношения: 21.5. Распределение Больцмана и критерий вырождения газа Если выполняется неравенство е )) 1, то а-в а и е (21.8) Это соотношение называется распределением Больцмана.
С помощью формулы (21.7) запишем его в другом виде я — а Йю(е) = е Й~(е). (21.9) Распределение (21.8) является квантовым аналогом классического распределения Максвелла — Больцмана (17.1) и, по сути дела, совпадает с ним, (Переход от (21.9) к (17.1) выполнен в решении задачи 6.2.) Для выяснения критерия применимости формулы (21.8) вычислим химический потенциал р. Его можно найти из условия нормировки У = ~оп (е). о После подстановки получаем выражение ю В У= е ~ е й~(е).
Отсюда м В р = — йТ1п — ( е ат Ы~(е). У д о Для вычисления интеграла обратимся к формуле (4.!2) для ш,(е). ю Е зуз 6 аг,(~(е) ~ ') е ~~ ~/е <(е о азл 1/2 О Используя (П. 9), находим: аг лг (е) ху~ ыт ~з~ Отсюда следует равенство (21.!О) Если (21.11) то законно применение распределения Максвелла — Больцмана. Напротив, при будут заметны отступления от законов классического идеального газа (например, не выполняется уравнение Менделеева — Клапейрона). Такое изменение свойств газа вследствие квантовых особенностей поведения частиц называется вырождением.
При вырождение становится сильным, что означает полную неприменимость классической статистики. Такая ситуация может иметь место ! 1Ч по следующим причинам: а) большая плотность газа ~ — велико), Ь б) малая масса частиц, в) низкая температура, г) любое сочетание указанных выше факторов. Оценки показывают, например, что водород остается практически невырожденным вплоть до температуры конденсации (20 — 80 К), в то время как электронный газ в металлах вырождается при температурах ниже 20 000 — 30 000 К.
Выясним теперь физический смысл критерия (21.11). Если он выполняется, то все числа и„ (( 1, как это следует из формулы (21.8). Отсюда видно, что полное число квантовых состояний, допустимых для каждой частицы, значительно больше числа частиц (а„ равно по порядку величины А1, деленному на число одночастичиых состояний).
Большинство состояний оказывается незанятыми. Если в подавляющем большинстве состояний частиц нет или имеется только одна частица, то различие между идеальными Ферми-газом и Бозе-газом исчезает. Высокие температуры означают достаточно большие средние энергии частиц. Если при этом частицы имеют большие массы, объем, занимаемый газом, достаточно велик и мала плотность, то создаются условия, при которых движение частиц оказывается близким к классическому. При этом распределение (21.8) фактически совпадает с распределением Максвелла классической статистической физики.
(Заметим также, что если все частицы находятся в различных квантовых состояниях, то для учета тождественности частиц достаточно ввести в статистическую сумму (7.22) для идеального газа множитель 1/1У1.) й ЗЗ*. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ КВАНТОВЫХ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 22.1*.
Энергия и химический потенциал Для квантовых идеальных газов две термодинамические функции— энергия системы (7 и химический потенциал р — находятся непо- 153 средственно из распределений Ферми или Бозе. Для этого используются условия нормировки: М =,~~п„= ~~гп (е„); У = ~з па =,~~зал (еа), а еа а еа где суммы берутся либо по всем допустимым квантовым состояниям а, либо по всем возможным для одной частицы энергиям еа. Как правило, уровни энергии можно считать квазинепрерывными. Применяя формулу (21.7), получим: у = Г~т(п (е) = ~ О Ет У = ~еда(а) = ~ (Напомним, что знак «+» относится к газу фермионов, а < — > — к газу бозонов.) Без ущерба для точности расчета энергия частицы считается изменяющейся в пределах от О до аа. Для одноатомного газа й$ (е) вычисляется по формуле (4.12).
Тогда )О' = а)Т~ (22.1) О ОЕТ зм„ У= а)т~ О ОЕТ (22.2) где 22.2'. Большой термодинамический потенциал Согласно (13.18) 154 1еег/г а= (22.3) пеле )/З Соотношение (22.1) неявно задает р как функцию )т, Т и й(. В свою очередь формула (22.2) определяет энергию системы как функцию от )т, Т и р. Переход к другим термодинамическим потенциалам затруднен тем обстоятельством, что интегралы (22.1) и (22.2) не берутся в конечных аналитических выражениях.
Эта особенность была бы менее существенна, если бы имелась термодинамическая функция, характеристическая в переменных )т, Т и р. Но такой функцией как раз является большой термодинамический потенциал Гиббса (13.14). Рассмотрим, как вычисляется эта величина. Отсюда (22.4) Нижний предел выбран в соответствии стем, что при р = — оо У = О и У =- О. (Это видно из выражений (22.1) и (22.2).) Если в системе частицы отсутствуют, то в согласии с определением (13.15) Т = О.
Подставим в формулу (22.4) значение У, взятое из (22.1): Т = — а1т ~ о(11~ Изменим порядок интегрирования по переменным р и е: Т= — ар ~) те в(е ~ в — о о —,вт ~1 Замечая, что и — в .+ )оТ '1 1п(1 в е от ) д!в — о в вт имеем: = + йТ!п(1+ е в' ). е +1 Тогда Т = + аУяТ ~ 1п (1 + е " ) )' е оЬ.
о Это выражение можно значительно упростить, если один раз проинтегрировать по частям: о — в Т = а)тйТ + — е 1и (1 + е 'т )~ — 2 з!о вт 2 Е в~!о «в 3 о 3РТ д в — н о вот ~1 Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю. Окончательное выражение для большого термодинамического потенциала имеет вид 2 е вота Ев Т= — — аУ ) (22. 5) 3 вт е -о! 133 22.3е. Уравнение состояния Располагая формулой (22.5) для функции Т (У, Т, р), несложно найти термическое уравнение состояния квантовых идеальных газов. Используя соотношение (13.14), получаем: Р= — а( (22.6) е ь1 Сравнение формул (22,6) и (22.2) приводит к искомому результату: Р = — 'и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
