Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Этим методом были измерены температуры звезд, обнаружено реликтовое электромагнитное излучение — свидетель ранней стадии начала расширения нашей части Вселенной. Законы равновесного электромагнитного излучения находят также многочисленные применения в технике. 24.3*. Термодинамические функции и уравнение состояния фотонного газа Формулы для термодинамических функций квантовых идеальных газов, найденные в $ 22, непосредственно не применимы к равно- 166 весному электромагнитному излучению, так как для фотонов имеет место иная связь между энергией и импульсом, чем для обыкновенных частиц.
Поэтому вычислим термодинамические характеристики излучения другим способом. Внутренняя энергия фотонного газа равна (7 = рУ = оУТ'. Далее, используя уравнение Гиббса — Гельмгольца (12.16), найдем свободную энергию: Р (7+ Т(дг ) (24.6) Замечая, что д /Т1 1 др Т дТ (,Т! Т дТ 7'3 преобразуем формулу (24.5) к виду Это уравнение легко решается: т Р = — Т ~ 7" г(Т + И(У) Т. (24.6) е !дТ~ При Т = О должно быть; ~ — ) = — 5 = О. Поэтому произвольная дТ)и функция д (У) = О. Вычисляя интеграл (24.6), получаем: Р = — — оУТ4. 1 3 Затем из термодинамических соотношений (12.7) следует: 5 = — оУТ', Р= — оТ'.
(24. 7) 3 3 Последняя формула есть термическое уравнение состояния для электромагнитного излучения. Задача к главе Рг 1В7 В.1. Найтч среднее число частиц в квантовом состоянии а без учета принципа тождественности. Р е ш е н и е. Если все частицы различны, то состояние подсистемы, состоящей из всех частиц, находящихся оьи квантовом состоянии, зависит от того, какие именно л частиц из М возможных попали в данное состояние. При фиксированном а подсистема имеет Савг различных состояний, что равно числу выборок, которыми можно взять л различных частиц из общего числа )У.
Значения а могут быть любыми в пределах от О до М (практически до бесконечности). Воспользуемся формулой (15.7), В нашем случае е = ле„и й (н, л) = СД. Отсюда н-е н — е а Ф а )У! л л = йТ вЂ” !п ~Ч,' Сн~е = йТ вЂ” !п х.'з е др др л=о л! (Д' — л)! Во всех членах, заметно отличных от нуля, л « М. (Предполагается, что е шьг « 1.) Если применить приближенную формулу Стирлинга (П. 10), то при л « 81; Д! » 1. У1 — Д1л (М вЂ” л)1 Тогда хл ек л! где н — е а зт х = )уе Ото!ода в — а а ат л = )т'е а М ! 2плз 13/з зт дл (е) = — ( ~ е п4 (е).
— ~Р ~ глйт ~ ра (Для одноатоиного идеального газа й = 1, е = —, а дй (е) найдем из соотношения 2гл ' 4,7): г(кду адркйру ярк (2пл) з точке с координатами х, у и з и имеющей прюек- дь (е) = Вероятность обнаружить частицу в ции импульса р„, р и р равна рй д)Р ълат е дхдудздрАртдр . )т (2пшйТ) Это и есть распределение Максвелла — Вольцмана (П,!) с вычисленным нормировочным множителем (при (7 = О). 168 Если с помощью распределения (1) вычислить химический потенциал, как, впрочем, и любую другую термодинамическую функцию, то не получится правиль- ной зависимое~и от числа частиц У. К подобной ошибке приводит использование классического канонического распределения (?.20), формула которого найдена без учета тождественности частиц, 8.2.
Показать, что квантовое распределение (21.8) переходит в распределение Максвелла — Больцмана при условии применимости классической статистики. Решение. Допустим, что выполняется критерий (21.1!). Тогда законно применение форму- лы (21.8) и следующего нз нее распределения (2!.9), Химический потенциал опре- деляется формулой (2!.1О). Таким образом, 6.3. Показать, что для бозониого газа химический потенциал при уменьшении температуры монотонно растет.
Решение. Химический потенциал для квантовых идеальных газов неявно задан формулой (23.1). В нашем случае у= у~ о ег е — 1 Продифференцируем это выражение по Т при постоянных М н )т. е — р 1 др! О = — а)т ~ ~ — — — — — ~ г" (е) де, ДТ йт дт ~ о где е — и йт Г(е) = ' к =е (х — 1)з Отсюда ~ (е — р) Г (е) Ые др 1 о дТ Т ) Г(е)де о др Для идеального Бозе-газа р а О.
Поэтому — ( О. дТ 6.4. Определить зависимость энергии электронного газа от температуры вблизи абсолютного нуля. Р е ш е н н е. Энергия электронного газа выражается фориулой (22.2) со знаком «+» перед единицей: у= а)г ~ Произведем в этом выражении однократное интегрирование по частям: и-~([ — ' 1 >— Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю.
Во втором слагаемом герейдем е — р к новой переменной интегрирования х = —. После подстановки получаем: 'яТ 2~)т (' з т ехд» 5 3 (ее+ 1)'. эт 169 При температурах, близких к абсолютному нулю, р = р (0) и 2аУ з~т С ! йТ 1~~~ емок б ',) ~ „, ) (,+) ; р,=р(0). — пиьт йТ Предполагается, что отношение — (( 1. Кроме того, функция ре 1(х) = —— (а" + 1)а заметно отлична от пуля только в области )х) ~ 1. Поэтому первый множитель в подынтегральной функции можно разложить в ряд и ограничиться первыми тремя членами разложения: Тогда и= —,ьЬ( ) Кыпт —, ) Пыьт —,( — ) ) **лев).
и и и Гт ет ег Прн Т -ь 0 нижний предел можно заменить на — оь. Первый интеграл в фигурных скобках вычислить нетрудно: Второе слагаемое содержит ишеграл от нечетной функции в интервале ( — оо, о ) и поэтому равно нулю. Третий интеграл равен хее хе(х па (ел+ 1)' 3 2 з/з 3 Как было показано ранее, ре = е и — аУР = — Ме [см. (23.6)). Отсюда и 5 б получаем: 3, ~ бч'( йТ )~~ Найденное выражевне качественно превиль.
но передает зависимость энергии от температуры прн Т -ь О. Более точный расчет учитывает изменение химического потенциала при уменьшении температуры и приводит к формуле (23.1!), указанной в основном тексте. 6.4. Показать с помощью второго начала термодинамики, что плотность энергии равновесного электромагнитного излучения не зависит от материала и формы стенок полости. Решение. На рисунке 30 представлены два объема.
Допустим, что каждая из систем нахо- Рис. 30 170 дится в равновесии, а их температуры одинаковы. Если плотность энергии в полостях различна, то при соединении равновесие нарушится, Излучение будет переходить из объема с большей плотностью в объем с меньшей. В последней системе стенки станут получать больше энергии и их температура повысится (в другой полости соответственно понизится). Самопроизвольно возникнет разность температур, а это запрещено вторым началом тор.
модинамики. Следовательно, допущение (Тз) о различной плотности энергии неверно. / Что справедливо для интегральной Рис. 31 плотности, верно и для спектральной. Доказательство можно повторить дословно, если предположить, что в месте соединения полостей находится фильтр, пропускающий излучение только в определенном интервале частот. 6.5. Методами термодинамики доказать существование давления света. Решение. Рассмотрим два черных тела А и В с температурами Тд и Т, (Т, ) Т,), соединенные между собой цилиндром с зеркальными сгенкзми (рис. 31).
В цилиндре имеются подвижные поршни 1 и 2 тоже с зеркальными стенками. Удалии второй поршень, оставив первый у самой понерхпости тела А. Весь объем цилиндра наполнится равновесным излучением тела В. Вплотную к гелу В вставим поршень 2, а поршень 1 вынем из цилиндра. Если затем поршень 2 передвинуть от тела В к телу А, то все излучение, бывшее в цилиндре, поглогится телом А, а цилиндр вновь заполнится излучением тела В. Вставим поршень 1 у тела В, вынув поршень 2, передвинем поршень 1 к телу А.
Снова энергия, излученная В, поглотится А. Таким способом мы берем энергию от тела В и отдаем телу А. Повторяя процедуру, можно перенести любое количества энергии от холодного тела В горячему телу А. В результате разность температур будет только увеличиваться. По второму началу термодинамики это может быть только при совершении работы. Передвижение поршня связано с совершением работы, если излучение производит давление на поршень. 6.6. Доказать закон Кирхгофа об отношении испускательной способности к поглощательной. Решение. В условиях раввовесия излучение в полости однородно и изотропно.
На каждый участок стенок за одинаковое время в расчете на единицу площади приходится одна и та же энергия, Любой элемент поверхности излучает столько же энергии, сколько поглощает. Обозначим через !„,х интенсивность падающего излучения, Энергия, излученная в единицу времени с единицы площади, называется испускательной способностью вещества стенок. Она обозначается — 1,„„, Через 1„шл и (огр обозначим энергию поглощенную и отраженную стенкой.
Отношения )огр . 1оогл А= —; В=— 1оол 1оох характеризуют отражательную и чоглощательную способности вещества. Для абсолютно черного тела А = О. Обозначим его испускательную способность через В. В у словиях равновесия при непрозрачных стенках 1овх = 1оога + 1огр' 1оогл = 1ага' А + В = !. Применяя эти формулы г дни раз к черному участку стенки, а другой раз к произвольному, получим: )осп В=в В причем эта величина не зависит от материала стенок. 171 Все указанные соотношения между величинами справедливы как для полного состава излучения. тан и для любого интервала частот. В последнем случае под г' следует понимать спектральную интенсивность излучения (падающего, поглощенного и т. д ). 6.7. Установить связь плотности энергии равновесного излучения с испускательной спо.
собностыо абсолютно черного тела. Р е ш е н и е. Вследствие изотропии равновесного излучения исходящий из каждого элемента объема полости непрерывный поток энергии является одинаковым по интенсивности для всех направлений. Убыль энергии в элементе обьема компен- 6 сируется встречными потоками. Если взять излучающий объем на границе со стенкой полости, Рнс. 32 то отсюда следует вывод, что от каждого участка стенки исходит излучение, и притом равномерно во все егоровы. Это излучение содержит как испущенный, так и отраженный свет. Но черная стенка не отражает света. Следовательно, испускаемое черным телом излучевие является изотропным. Любой элемент поверхности абсолютно черного тела в любом напранлении испускает олин и тот же световой поток.
Поэтому яркость абсолютно черного тела не зависит от направления и является функцией только температуры. Свяжем ее с плотностью энергии равновесного излучения. Рассмотрим рисунок 32. По определению яркости элемент поверхности стенки полости 35 излучает под углом 0 к нормали в элемент телесного угла йо поток энергии, равный г(Ф = ВгБ соз Оды.
1 дЕ' = — пФ, с где 1 — диаметр объема т в заданном направлении, с — скорость света. Телесный угол пы равен г(Х ды = —, гз где Ю вЂ” сечение трубки, пересекающей объем т, г — расстояние от площадки г(Я до т. Произведение ЫЕ есть бесконечно малая часть обьема т. Обозначим ее через дт.
Теперь для 0Е' получаем; В гБсозе г(Е' =— Ыт. (2) с гз Энергия 0Е', которая содержится во всем объеме т за счет излучения элемента г(5, найдется путем суммирования выражений типа (2] по всему объему т. Вследствие малости т угол 6 и расстояние г в формуле (2) будем считать постоянными. В результате суммирования имеем Вт бЯсоз й бЕ" =— е гз (3) 172 Здесь  — яркость, М> — поток энергии. Этот поток пронизывает малый объем т, произвольно взятый внутри полости.
Из общего количества энергии излучения, ежесекундно проходящего через т, в каждый момент времени определенная часть содержится внутри объема т. Для потока (1) это есть величина Отношение б5 сох 8 Вт х лЯ созе Вт Г 4п Е = — ~ ЫЯ= — Вт. — с 5' га — с.) — с е С другой стороны, Ех = рт. Отсюда с В= — р. 4п Испускательная способность абсолютно черного тела с точки зрения фотометрии есть его светимость В. Для равномерно излучающих по всем направлениям источников света В = кВ„Таким образом, с В = — р. 4 (4) Пользуясь законом Стефана — Больцмана (24.4), можно записать со Ь вЂ” — 74 4 Если в формулу (4) подставить спектральную плотность энергии (24.3), то получим распределение интенсивности излучения в спектре абсолюпю черного тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
