Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В объеме 1 см' их пример- но 10зз — 1Оаз. Следовательно, плотность электронного газа (число частиц на 1 см') гораздо больше, чем для обычного газа, состоящего нз атомов и находящегося прн нормальных условиях. Квантовая теория твердых тел приводит к представлению об электронах в ме- талле, как о невзаимодействующих частицах в потенциальной яме больших размеров.
Это позволяет считать электронный газ идеаль- ным. Известно, что гипотеза о наличии свободных и невзаимодейст- вующих электронов в металле оправдывается на практике. Электроны распределяются по объему куска металла равномерно. Энергетический спектр электронных состояний квазинепрерывен, и в каждом состоянии находится по два электрона с противоположны- М ми ориентациями спиноз. При абсолютном нуле заполнено — состоя- 2 ний с энергиями вплоть до уровня энергии Ферми (имеются в виду состояния без учета спина). Чтобы оценить среднюю энергию электронов, обратимся к фор- муле (23.8). Учитывая равенство (23.6), ее можно записать как У = — Мз„.. 3 6 Средняя энергия электронов равна и з з= — = — е.
М 5 Для вычисления энергии Ферми по формуле (23.7) необходимо знать плотность газа. Возьмем типичный одновалентный металл, например серебро. Плотность серебра равна р = 10 г!смз. Отсюда число элект- ронов в 1 см' (или равное ему число атомов серебра в 1 см') равно ч А и= р —, А где МА — постоянная Авогадро, А — атомный вес. Совершая рас- чет, получаем: зг ж 5 эВ. 6 Заказ 31 161 Если рассматривать электрон как классическую частицу, то можно оценить среднюю скорость электронов / 2Т = ~à — -10'— И с Таким образом, даже при абсолютном нуле скорости электронов еще очень велики, что объясняег относительно высокое давление электронного газа. Обращаясь к уравнению (22.7), получаем: Р 2 10'атм.
Температура вырождения находится по формуле (23.10). Она оказывается порядка 5 10'* К. Поэтому электронный газ в металлах всегда сильно вырожден. Последнее обстоятельство объясняет феномен, который долгое время оставался непонятным: почему электронный газ не дает вклада в теплоемкость металлов? Допустим, что каждый атом имеет три колебательные степени свободы и что для изучения колебательного движения применима классическая механика. (Это справедливо для температур, далеких от абсолютного нуля.) Тогда по теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы получим энергию колебаний решетки Ер, = ЗМйТ и теплоемкость решетки дЕ Ср, — — — = ЗЛЪ. Теплоемкость электронного газа казалось бы должна иметь тот же порядок величины.
Действительно, для невы- рожденного одноатомного идеального газа С = — Мй. На самом 3 деле эксперимент дает для большинства металлов С = 3)сй, что означает, что теплоемкость электронного газа равна нулю. По квантовой теории так оно и есть. Прн комнатных температурах (т. е. при Т вЂ” 300 К) большинство электронов занимают состояния с е <,е„. В тепловое движение вовлекаются только те электроны, энергия которых близка энергии Ферми.
Интенсивность теплового движения слишком мала, чтобы поднять электрон из каких-либо состояний с энергией е < (е — АТ) на свободные уровни, лежащие выше энергии Ферми, а переходы на близлежащие уровни невозможны, так как они заняты другими электронами (рис. 27 и 28).
Таким с, г-о гс ги Рис, 2З Рис. 27 1с2 образом, отдавать и получать энергию и тем самым участвовать в тепловых процессах могут только те частицы, энергия которых лежит в зоне з + 'лТ. Как можно показать, число таких частиц и' в объеме 1 см' приблизительно равно 3 Л~ 'лг 2 У а где У вЂ” общее число электронов в металле. За счет этих п' электронов энергия электронного газа в целом становится зависящей от температуры по закону З г зла а аг; аз Рис. 29 Условный график распре. 1У = — А!зг 1 + — ( — !23.11) лелеиий: ! — ФеРми, 2 — Бозе и 5 !2 ~ е ) 3 — Больпмана (см.
задачу 6.3). При Т 300 К отношение — 5 . 1Π— з и и' АГ ел А! будет порядка нескольких процентов от †. Поэтому вклад электро- У нов в общую теплоемкость металлов пренебрежимо мал. Нетрудно видеть, что при Т вЂ” ~ 0 теплоемкость электронного газа стремится к нулю. В заключение произведем качественное сравнение трех распределений. На рисунке 29 дан общий внд зависимости п„от энергии частицы при температурах, близких к абсолютному нулю, для газа Ферми, газа Бозе и газа Максвелла — Больцмана. Ход кривых достаточно наглядно отображает качественные различия трех распределений. При больших энергиях вид всех трех функций примерно одинаков.
Для распределения Бозе характерно преобладание частиц в нижних энергетических состояниях по сравнению с распределением Больцмана. Для распределения Ферми и„= 1 прн з ( ег. й 24. РАВНОВЕСНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 24.1. Особенности фотонов и фотонного газа По современным представлениям электромагнитное излучение представляет собой совокупность своеобразных микрочастиц — фотонов. Свойства фотонов существенно отличаются от свойств микро- частиц вещества, которые мы до сих пор рассматривали. Все фотоны движутся со скоростью, равной скорости света в вакууме. Масса покоя фотона равна нулю. Тем не менее каждый квант света — фотон — имеет определенную энергию и импульс, которые связаны соотношением з = рс, характерным для релятивистских 163 объектов, движущихся со световой или близкой к световой скоростью.
Экспериментальные и теоретические данные показывают, что при излучении или поглощении фотона момент импульса любой атомнои системы изменяется на число, кратное постоянной Планка й. Э~о означает, что фотоны имеют целочисленный спин, т. е. являются бозонами. Кроме того, оказывается, что спин фотонов может иметь не три, а две различные ориентации: по направлению импульса и в противоположном направлении. Из сказанного ясно, что фотоны можно различать по энергии, импульсу и проекции спина. Фотоны фактически не взаимодействуют друг с другом. Поэтому совокупность фотонов внутри некоторого объема представляет собой идеальный газ. Установление равновесия в этой системе происходит особым путем — через взаимодействие со стенками полости.
Вещество стенок непрерывно излучает и поглощает кванты электромагнитного поля, так что общее их число в полости не сохраняется. Равновесие наступает, когда стенки излучают (в среднем) столько же фотонов любого сорта, сколько поглощают. При этом внутри объема устанавливается определенное распределение частиц по энергиям. Число квантовых состояний фотона, приходящееся на интервал энергии (з, е + йз), можно найти теми же средствами, которые были использованы для обычных частиц.
Этот расчет сделан в задаче 2.3. В состоянии равновесия электромагнитное излучение в полости описывается теми же термодинамическими параметрами, что и обычный газ: объемом, температурой, энергией, энтропией и другими величинами. Излучение оказывает давление на стенки, так как фотоны обладают импульсом.
Температура равновесного фотонного газа совпадает с температурой стенок. Число фотонов внутри полости все время хаотически изменяется. Однако среднее значение числа частиц внутри объема в условиях равновесия должно быть постоянным. Теоретически его можно найти с помощью методов термодинамики. В переменных Т, У и М характеристической функцией для системы является свободная энергия. В состоянии равновссия этот термодинамический потенциал имеет минимум. Поэтому при заданных Т и У макроскопическая характеристика — число частиц (а статистически †е среднее значение)— определяется из условия экстремальности (дЕ ) Отсюда следует важный вывод. Согласно определению (13.6) Таким образом, химический потенциал фотонного газа в состоянии равновесия равен нулю (см.
также задачу 7.9). Для бозонов нуль есть наибольшее возможное значение р. Это означает, что фотонный газ вырожден при любых температурах. 24.2. Формула Планка Распределение фотонов по состояниям должно описываться формулой Бозе (21.6) с р = О. е а ьг е Число частиц, приходящееся на интервал энергий от а до з + На, равно Уезде Йл(а) = .'( ) Все эти частицы, вместе взятые, обладают энергией г(Е: Уезд в г(Е = ей~(а) = 8 ~ьг Известно, что фотону с энергией а ставится в соответствие некотое рое электромагнитное поле частотой г» = —.
При переходе от кор- Ь пускулярной модели света к волновой вместо г(Е говорят, соответственно, об энергии г(Е (а), отнесенной к интервалу частот йо. Очевидно, 6Е(га) = — ' (24.1) ,ьт Введем спектральную плотность энергии излучения р (м, Т), которая определяет энергию электромагнитного поля, приходящуюся на интервал частот йо в единице объема полости: г(Е (в) = Ур (в, Т) йо. (24.2) Из сравнения формул (24.1) и (24.2) следует: р(а, Т) =— (24.3) и" а. рт Это и есть формула Планка. Впервые в физике введя представление о дискретных уровнях энергии атомных систем и квантовом характере излучения и поглощения света, Планк получил эту формулу в 1900 г.
Этот год считается начальным для квантовой физики. Формула для спектральной плотности энергии допускает прямую экспериментальную проверку. Она с высокой точностью подтверждается на опыте, что в настоящее время рассматривается как одно из доказательств правильности основных идей статистической физики и квантовых представлений о природе света. 165 Характерно, что спектральная плотность согласно (24.3) зависит только от частоты и температуры и не зависит от формы и материала стенок полости. (Это можно вывести и непосредственно из второго начала термодинамики.) Интегральная плотность энергии будет зависеть только от температуры: Р иаа1оа р(Т) = ~р(со, Т) с(па = — ~ паса С ааа о о е — 1 Заменяя в интеграле переменную интегрирования и подставляя йм х = —, получаем: лт' яТ)' хасс р(Т) = о па Последний интеграл равен —. В результате приходим к известному 15 закону Стефана — Больцмана: (24.4) пТ4 где яаоа о= 15сааа Как будет показано в задаче 6.7, плотность энергии равновесного электромагнитного излучения равна испускательной способности 4 (светимости) абсолютно черного тела, умноженной на —.
Исследуя с экспериментально излучение черного тела, можно осуществить проверку формулы Планка и других следующих из нее соотношений, например закона Стефана — Больцмана или закона Вина. С другой стороны, сравнивая излучение какого-нибудь естественного или искусственного источника света с излучением абсолютно черного тела, получаем возможность измерить его температуру по светимости, или по распределению энергии в спектре, или по положению точки максимума функции распределения интенсивности излучения в зависимости от частоты света.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
