Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Можно говорить лишь о таком состоянии системы, в котором одна из общего числа частиц имеет состояние а, а другая (), без всякой конкретизации, к какой из частиц квантовые числа а и р относятся. В классической механике, несмотря на одинаковость частиц, имеется принципиальная возможность различения их по траектории движения. Поэтому в классической статистике было бы непоследовательно учитывать тождественность частиц. Но в том-то и дело, что классическая физика не существует самостоятельно, а является предельным случаем квантовой.
В квантовой статистике тождественность частиц всегда предполагается и нет никаких затруднений для того, чтобы учесть ее во всех полученных ранее соотношениях. Именно в силу полной неразличимости частиц в квазиклассическую формулу (7.22) введен множитель —. 1 М1 Квантовые частицы делятся, как известно, на фермионы — частицы с полуцелым спином — и бозоны — частицы с нулевым или целым спином. Помимо силового взаимодействия в системах, состоящих из одинаковых частиц, имеет место своеобразное взаимное влияние их друг на друга, связанное с тождественностью.
Это так называемые обменные эффекты. В частности, принцип Паули запрещает 143 двум фермионам одного и того же сорта находиться в одном и том же квантовом состоянии. Наличие обменных взаимодействий не позволяет также применять каноническое распределение к отдельным бозонам, как это делалось с частицами в классической статистике. В системе одинаковых бозонов наименьшей квазинезависимой подсистемой может быть совокупность всех частиц, находящихся в одном и том же квантовом состоянии, 21.2. Распределение Ферми Равновесное состояние идеального газа будет полностью заданным, если для каждого одночастичиого состояния а указать число частиц а„, в нем находящихся.
Разумеется, речь идет о среднем значении и„, так как в условиях беспорядочного взаимодействия Ж атомов газа значения и„ все время изменяются. Для вычисления и удобно использовать большое каноническое распределение Гиббса, применив его к подсистеме, состоящей из всех атомов газа, находящихся в квантовом состоянии а. Остальная масса газа образует термастат. Вероятность того, что данная подсистема имеет и частиц и энергию е, равна Ел — е ет И (е, л) е ~~ч~~й (е, л) е е л Так как все частицы в состоянии а имеют одну и ту же энергию е„, энергия данной подсистемы определяется числом частиц а. е = т„. (21.1) Кроме того, безразлично, какие именно и частиц из М возможных входят в исследуемую подсистему.
Каждому набору из п атомов в силу тождественности частиц соответствует одно и только одно состояние подсистемы. Поэтому 11 (е, п) = 11 (и) = 1. Отсюда следует: л — ее л е ет У7(а, п) = В'(и) = (21.2) ъ„ет — л л Для расчета п„воспользуемся формулой (15.7). Согласно (21.2) большая статистическая сумма имеет вид л — е б) = ~~'., е "' л Поэтому 144 я — еа и = ЙТ вЂ” 1п~~'„е аг " а ()~„ (21.3) или 1е — е и =йТ вЂ” !пУхе;х=е "г.
а Э „.ееа (21.4) Для вычисления суммы в формуле (21.4) требуется знать пределы изменения числа частиц в подсистеме. Наименьшее значение и есть нуль. Наибольшее значение зависит от того, из каких частиц (фермнонов или бозонов) состоит газ. Если частицы, составляющие идеальный газ, являются фермионами, то в каждом квантовом состоянии может быть не более одной частицы. Поэтому е — е 1 а а иа = аТ вЂ” 1п ~~~~ х" = аТ вЂ” 1п (1 + е 'г ) е=е (2!.5) иа е„— е е +1 Полученная формула называется распределением Ферми.
21.3. Распределение Бозе е-е а ег 1 — е Отсюда (2!.6) е — и а ег е Полученная формула называется распределением Бозе. 145 Для бозонов число частиц в любом состоянии неограниченно: и„,„= М. Если М » 1, то можно положить при расчете и,„= = оо. (Сумма ~ч",хе сходится только в том случае, если х ( 1. Пое О скольку е„> О, для этого необходимо, чтобы 1е ( О. Далее мы увидим, что это условие всегда выполняется. Вклад членов с очень большими и оказывается пренебрежимо малым.) Тогда ряд в (21.4) обращается в бесконечную геометрическую прогрессию с начальным членом 1 и знаменателем х: 1 х" =— 1 — х е=е Часто вместо и„используют число частиц и (е ), имеющих заданное значение энергии е .
Для определения и (е„) достаточно и„умножить на число квантовых состояний Ь (е„), соответствующих энергии е„(кратность вырождения нли статистический вес энергетического уровня е ), потому что для всех Ь (з ) состояний и„одно и то же. и (е„) = и„~ (е„). В практических расчетах обычно используется не само число и (з„), а «(и (е) — число частиц с энергиями от е до е + «(е. Если интервал Йе достаточно мал, то ди(е) = (21. 7) е — я «г е -ь1 где знак «+> относится к распределению Ферми, а знак « — » — к распределению Бозе.
Здесь г(ь (а) — число квантовых состояний одной частицы в интервале энергий (е, а + ие). При этом предполагается, что уровни энергии расположены настолько тесно, что энергия — почти непрерывная величина. В связи с резкими различиями в свойствах газов, состоящих из фермнонов и бозонов, иногда говорят, что они подчиняются двум разным квантовым статистикам. Бозоны — статистике Бозе — Эйнштейна, а фермионы — статистике Ферми — Дирака.
Указанные статистики отличаются законом распределения частиц по квантовым состояниям ьсм. (21.6) и (21.6)3. 21.4*. Вывод распределений Ферми и Бозе из условия максимума энтропии В дополнение к пп. 2 и 3 настоящего параграфа рассмотрим еще один способ вывода распределений Ферми и Бозе. Допустим, что какая-то масса одноатомного идеального газа находится в сосуде, объем которого постоянен, и что внешние поля отсутствуют. Обозначим через и, число частиц в 1-м квантовом состоянии. Квантовые состояния разобьем на группы по значению энергии. Энергия всех частиц в оьй группе равна е„, в эту группу входят и„ состояний и М„ частиц.
Пусть значения чисел У„ заданы. Подсчитаем, каким числом способов можно осуществить данное распределение частиц по энергиям. Произведем расчет сначала для бозонов, а потом для фермионов. Частицы тождественны, поэтому безразлично, какие из них попадут в то или иное состояние. Число частиц в любом состоянии ничем не ограничено.
Рассмотрим сначала отдельно а-ю группу. При фиксированном значении )У„ можно многими способами распределить частицы по д„ состояниям. Каждое распределение отвечает определенному микро- 1«6 состоянию выделенной подсистемы. Расчет числа состояний математически эквивалентен решению следующей задачи: «Сколькими способами можно разложить Ма шаров по д„ящикам, считая все шары одинаковыми и неотличимыми друг от друга?» Ответ задачи такой: (Ма + «а 1) ! Йа = а М 1( 1)! (см.
«Приложение»). Каждая энергетическая группа представляет собой квазинезависимую подсистему, которая может находиться в Йа различных микро- состояниях (при определенном значении Жа). Полное число микро- состояний газовой системы при заданных для всех групп числах М„ равно произведению значений Й„. Й = ПЙа= П (21. 1*) ,» а а М 1(д — 1)! Иной ответ для этой величины получается в случае системы, состоя!цей из фермионов.
В силу принципа Паули в каждом квантовом состоянии может быть не более одной частицы. Это следует учесть при нахождении Йа. Ставится задача определения числа способов, которыми можно разложить У одинаковых шаров по д„ящикам так, чтобы ни в одном ящике не было более одного шара. При этом предполагается, что всегда д ) У„.
Ответ этой задачи такой аа Ма ! (д„— Ма ) (см. «Приложение»). Поэтому полное число микросостояний для фермионного газа в целом при определенном распределении частиц по энергиям равно Й = ПЙа = П (21.2*) а М 1(К вЂ” М )! Теперь выведем распределение Бозе. Для этого найдем с помощью формулы Больцмана (6.10) энтропию бозонного газа. Статистический вес состояния с некоторым распределением частиц по энергиям выражается формулой (21.1*).
Тогда энтропия равна Я = 7«!п Й = lг~~.", ( !п (н + Уа — 1)! — 1и Л1„1 — 1и (д — 1)!). а Допустим, что все !'7,)» 1 и все д„3 1. Тогда можно воспользоваться приближенной формулой (П. 10) и упростить выражение для энтропии. Получаем; = йХ ((»)а+ яа) 1п (Ма+ яа) — Л«1п Жа — на1п да), (21,3 ) Нашей целью является нахождение распределения частиц по энергиям в равновесном состоянии системы.
В этом состоянии энтропия максимальна. Будем искать максимум функции 5 (У», Ф„...) 147 при двух дополнительных условиях, вытекающих из законов сохранения энергии системы и числа частиц: ~М„= М; ~~~с„М„= Е. (21.4~) а а Условием экстремума является равенство 65 = О. Г1родифференцируем (21.3') по М„ и результат приравняем нулю: Х ( 1п (Ма+ Иа) 1п Ма) 6Ма = Ою (21.5а) а причем (21.7*) Среднее число частиц, приходящееся на одно квантовое состояние, равно Ма 1 п — —— ав Ы вЂ” т — Ве а а Это и есть распределение Бозе.
Аналогично выводится распределение Ферми. Запишем выражение для энтропии фермионного газа. Согласно формулам (6.10) и(21.2") 3 = /г~ч'"„ ( 1п д„! — 1п М ! — 1п (да — М„)!). а Если выполняются неравенства й',„)) 1, М )) 1 и к )) М то с достаточной точностью Я = й~ (й'„(п д — М„!и ̄— (д — М ) 1п (и — М„)). (21.10') а Как и в других случаях, сумма берется по всем допустимым значениям энергии частицы. Для нахождения равновесных значений М„ дифференцируем (21.!0*) по М„ и приравниваем результат нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
