Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(22. 7) 3 Полученное уравнение состояния по виду совпадает с аналогичным уравнением для классического идеального газа (19.7). Однако имеется и существенное различие: простой зависимости энергии от температуры для квантовых газов нет. С помощью соотношения (13.18) через болыпой термодинамический потенциал можно найти также энтропию. Тем самым открывается путь для вычисления всех других термодинамнческих функций. Примеры использования найденных выражений в практических целях будут даны в следующих параграфах.
$23, ПОВЕДЕНИЕ ВЫРОЖДЕННЫХ ГАЗОВ ПРИ ТЕМПЕРАТУРАХ, БЛИЗКИХ К АБСОЛЮТНОМУ НУЛЮ 23.1. Идеальный Бозе-газ при низких температурах Рассмотрим поведение квантовых идеальных газов при сильном вырождении, которое всегда имеет место при достаточно низких температурах. Удобно исследовать оба газа отдельно. Для изучения идеального Бозе-газа воспользуемся зависимостью р от Т, У и )т', неявно заданной формулой: (23.1) е ег е — 1 Очевидно, р (О, иначе подынтегральная функция имела бы полюс при е = р и интеграл расходился бы. Будем уменьшать температуру, оставляя постоянными У и М.
Знаменатель дроби в показателе экспоненты уменьшается. Поскольку интеграл в целом сохраняет свое значение, числитель дроби в показателе экспоненты должен тоже уменьшаться. Это означает рост химического потенциала при охлаждении газа. (Далее, в задаче 6.3 показано, что — ( О. Отсюда следует монотонное возрастание ди дТ этой величины по мере убыли температуры.) При некотором значении температуры Т = Т, химический потенциал достигает максимально возможного для него значения р =О.
1бб Оценим значение Т,. При Т = Т, е ае е о е — 1 е Подставляя х = †, получаем: ат, ' У 17(ееТ)эм( гх нх е" — 1 о (23.2) Как известно, интеграл )7х ах ле — а О Если подставить числовые значения интеграла и постоянной а из (22.3) в выражение (23.2), то получится: Заметим, что для Бозе-газов, состоящих из атомов и молекул, температура вырождения значительно ниже температуры конденсации.
При Т < Т, химический потенциал остается равным нулю, так как дальше возрастать он не может. Следовательно, исходная формула (23.1) в этом интервале температур оказывается неверной. Она будет давать при вычислении некоторое число молекул № < У. Чтобы разобраться, в чем тут дело, запишем формулу (23.1) в виде суммы по состояниям частиц: № = ~ч'„а„~ (е„). (23.3) е а №= а)'( ),е = — а)7(йТ) !. а О ьт ! Отсюда видно, что при Т -~ 0 все частицы скапливаются в состоянии с е = О, так как № -е- О. 157 Согласно выражению (4.12) для числа состояний одной частицы ~ (0) = О.
Таким образом, вклад состояния с е„= 0 в сумму (23.3) равен нулю. Между тем л„при е„= 0 не равно нулю. Поэтому формулы (23.1) и (23.3) фактически дают не полное число частиц, а число частиц с энергией е ) О. Оно и обозначено через №. До тех пор, пока все п„малы, № = У. Это имеет место при отсутствии вырождения или при слабом вырождении.
В этом случае для вычисления числа частиц можно применять соотношение (23.1). Однако при Т < Т, это уже не будет верно. В этом интервале темпе- ратур Выводы, сделанные при анализе формулы (23.1) для газа, состоящего из бозонов, подтверждаются при непосредственном изучении распределения Бозе (21.6).
При Т ~ Т, распределение имеет вид 1 па = е е — 1 »т При Т-»- 0 и,-»- О, если е„Ф О. Однако для состояния с энергией е„= О!т па ~ О. т-о В более строгом рассуждении следует учитывать существование наинизшего энергетического состояния. Согласно квантовой механике наименьшее допустимое значение энергии частицы не равно нулю.
Эта так называемая «нулевая энергия» не может быть отнята у частицы. Она не включается в хаотический обмен энергиями между отдельными молекулами. Ее следует исключить из рассмотрения, положив начало отсчета энергии на высоте наименьшего энергетического состояния. При таком выборе энергетической шкалы справедлива формула (2!.6) распределения Бозе. (Сказанное относится и к распределению Ферми (21.5).
При использовании этих соотношений полагаем е ) О.) Частицы скапливаются при абсолютном нуле температуры в основном, наименьшем по энергии состоянии. Это явление называется конденсацией Бозе — Эйнштейна. Оно играет важную роль при объяснении сверхпроводимости металлов и сверхтекучести гелия при низких температурах. Переход частиц из основного состояния в первое возбужденное требует затраты конечного количества энергии. Если среднее значение тепловой энергии частиц меньше этого энергетического интервала, то частицы не могут перейти из основного состояния в другие и выбывают из общей картины теплового движения.
Сконденсированные частицы практически не дают вклада в давление газа, 23.2". Уравнение состояния для вырожденного бозонного газа Рассмотрим, как отражаются характерные особенности поведения Бозе-частиц на термодинамических свойствах Бозе-газа. Найдем уравнение состояния при низких температурах. Энергия газа, состоящего из бозонов, при Т ( Т, равна е «3»е ее (!=ар~ (23.3) О Гт е — 1 (см. (22.2), где нужно взять знак « — »). После подстановки х =— зт выражение (23.3) приводится к виду и=и Т"', 15Я где Р = — АТе~е. (23.4) з Оказывается, что давление Бозе-газа в условиях сильного вырождения при Т < Т, не зависит от объема и определяется только температурой. В этом отношении бозонный газ подобен насыщенному пару.
С помощью формулы (13.18) найдем энтропию. Учитывая, что Т = — Р'е', получаем: З = — — = — А)7Тее. дт 3 Как и следовало ожидать, Я = О при Т = О. 23.3. Идеальный Ферми-газ при низких температурах Рассмотрим газ, состоящий из фермионов. Согласно (22.1) имеем: ее' = а1/ ~,~ (23.5) При высоких температурах вырождения нет. Величина е )) 1. ег Химический потенциал отрицателен. При понижении температуры интеграл будет сохранять свое значение, если химический потенциал будет возрастать.
Однако в отличие от Бозе-газа здесь р может принимать и положительные значения. Максимального значения ре химический потенциал достигнет при Т = О. Найдем среднее число частиц в различных состояниях при Т е- О. Вблизи абсолютного нуля 1 п,„ж е а ет е +1 Если е„< р„то при Т -е- О и„-~ !. Если же е„) р„то при Т-+ О й„-+ О. Это означает, что при нулевой температуре все состояния с энергиями е < ре заняты, во всех же состояниях с е„) ре частиц нет. Граничный уровень энергии е = ре получил название уровня энергии Ферми.
Оценим е для газа, состоящего из частиц со спинам 1/2, например электронов. 159 е" — 1 е Используя общую формулу (22.7), получаем термическое уравнение состояния Число квантовых состояний частиц, свободно движущихся в объеме У и имеющих энергию 3 ( ег, согласно формуле (4.12) равно ь (е .) = ) 4(ь (е) = — аУез/3.
з о При Т = О все эти состояния заняты электронами. Общее число занятых состояний равно 441. В каждом из них находится одна частица. Поэтому й1 = — аУ33!3 2 (23.6) Р Подставляя аначение постоянной а из (22.3) при $ = 2, найдем уровень Ферми: а«! Зя»у 13!3 е 2т ~ 1' (23.7) Электроны, заполняющие состояния ниже энергии Ферми, практически не участвуют в хаотическом тепловом движении (см. 9 23.4). Однако они вносят существенный вклад в давление газа, так как энергия Ферми вовсе не мала и многие из них движутся с большими скоростями. Для вычисления энергии Ферми-газа воспользуемся формулой (22.2) со знаком «+».
«3/»И« и=аУ~ о При низких температурах можно е — я «»т +1 положить приближенно: р ж р« и 1 1, е .. ее, е — », е +1 О, е)ег. Тогда (23.9) 1бб е и = аУ ~ е~~4Ие = — аУе„.~~~. (23.8) о Подставив значение энергии Ферми из (23.7), получаем: а!313 4!3 ЗБ13 З» и=В; В= У»Л ' 1О 444 С помощью (22.7) определим давление: Р = 2 В(!ч) Это и есть уравнение состояния Ферми-газа при низких температурах. Таким образом, в этой области давление Ферми-газа не зависит от температуры. Легко оценить температурный интервал, в котором применимы найденные соотношения для Ферми-газа.
Условием применимости является неравенство Т (( Тз, где Т., — такая температура, при которой йт з. (23.10) Смысл условия (23.10) состоит в том, что большая часть электронов вовлекается в тепловое движение, если средняя энергия теплового движения порядка энергии Ферми. Если Т ) Тз, то газ ие вырожден, 23.4. Электронный газ в металле В качестве примера идеального газа, состоящего из фермионов, рассмотрим электронный газ в металлах. Предположим, что при об- разовании кристаллов все атомы однократно ионизуются. Тогда число свободных электронов равно числу атомов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
