Василевский А.С., Мултановский В.В. Статистическая физика и термодинамика (1185108), страница 37
Текст из файла (страница 37)
35). Обозначим через Л среднеквадратичное смещение частиц за время т; оно определяется по формуле (27.7). (Учтите, что обозначение Лх изменилось на Л.) За т секунд половина из всех частиц, находящихся в слое между х = х, — Л и к = х,, сместится вправо, вдоль оси Ох, и пересечет плоскость х = х,. Через площадь 1 см пройдет в среднем — р (х, — †) Л » 2 (, 2) 1 частиц. В обратном направлении за то же время пройдет — р («, -1- 2 Д ~ + — 1 Л частиц. Разность этих величин даст результирующий поток 2/ броуновских частиц за время т: — ~р ( «, — — ) — р («, + — )) = — — ( — р) .
'Плотность потока, т. е. число частиц, проходящих через поверхность в 1 см» за время 1 с, равна 1= — Р—; Р= —, нр д» (27:8) ах 2» Знак « — » показывает, что поток направлен в сторону уменьшения концентрации. Согласно (27.8), (27.7) и (27.2) коэффициент диффузии Р для частиц сферической формы оказывается равным Р = —. ьт (27.9) бпгч 189 Все величины, входящие в формулу (27.9), известны или могут быть измерены. В свое время это соотношение послужило для точных измерений постоянной Вольцмана, а через нее — и постоянной Авогадро. (Существуют и другие способы вывода формулы (27.9), а через нее и фундаментального соотношения (27.7). Один нз них рассмотрен в задаче (7.5).) Задачи к главе И! 7.1. Найти флуктуацию числа частиц квантового идеального газа в произволь- ном квантовом состоянии.
Решение. Дли нахождения 5„ применим формулу (25 6) к распределениим Больцмана (21.8), Бозе (21.6) и Ферми (21,5) Получаем соответственно: 5„= )Ул, бл = )'гл (! + л], (!) йг т а (! и). 7.2. Найти флуктуацию энергии равновесного электромагнитного излучения, приходящуюся на интервал частот Льз. Р е ш е н и е. Энергии электромагнитного поля, приходищаиск на интервал частот Лы, со. гласно (24.1) равна йм )Гйы'Лы ьг ЛЕ= ; )=е и'с" (7 — 1) С помощью (25.2) находим флуктуацию: бдн = „Г Рлт)еиа„ паса (г' — 1)э Это выражение представим в виде l (ЛЕ)загса 5 д = 1/ ДыЛЕ+ 1ГытЛы В области больших частот (Дш » йг) можно оставить под корнем лишь первое слагаемое.
Ему можно дать чисто норпускулирпое толкование. Пусть Лл— среднее число фотонов с частотой между ы и ы + Лы. Тогда ЛЕ = Дыаи, бье = ды ач ды Л" что совпадает с формулой (!) задачи 7.! при Лл ч ч ! . При малых частотах под корнем доминирует второе слагаемое, а первым можно пренебречь: 1 / (ЛЕ)элэсз -1 де )/ РыэЛ Второе слагаемое соответствует волновым представлениям о природе света. 7.3. Объяснить на примере пружинных весов влннние флуктуаций на точность измерения.
Р е ш е н и е. Современные высоночувствительные измерительные приборы позволяют регистрировать явление того же масштаба, что и флуктуации, вызынаемые движением молекул в самом приборе. Если ожидаемое значение физической величины Г меньше 190 или порядка среднеквадратичной флуктуации, т. е, 1Р1<бю то однократное измерение не позволяет судить о том, каково же на самом деле значение Р. Прабор регистрирует теп— ловой фон, а не измеряемую величину Г В этом смысле говорят о естественном пределе чувствительности измерительных приборов. Некоторое повышение точности достигается за счет мно. гократных измерений. Действительно, если прибор регистрирует только собственные хаотические тепловые движения в механизме, то среднее значение его показаний будет равно нулю.
Если же к тепловому фону добавить внешнее воздействие, то устройство начнет флуктуировать около нового положения равновесия, поэтому среднее положение указа. теля (стрелки) станет уже не нулевым. Однако и на этом пу- Рис, 36 ти скоро обнаруживается предел возрастания точности, так как оба положения равновесия должны четко отделяться друг от друга. Во всяк( случаях порядок наименьших значений величины Р, еще доступных измерению, определяется флуктуацией. Для примера рассмотрим пружинные весы (рис. 36). Стрелка чувствительных весов будет беспорядочно колебаться под воздействием тепловых движений молекул в пружине и флуктуаций давления в окружающей прибор воздушной среде.
Смеще нию стрелки на Ьх соответствует работа внешних сил: ЬА = — Ьхз, у 2 где у — коэффициент жесткости пружины. Поэтому вероятность флуктуации в по. ложенин )указателя, связанной с удлинением пружины, согласно формуле (25.9) будет равна тььч хат г%' (х) = соп51 и лх. Запишем распределение в виде нормального гауссовского распределения (1.5): ! ах* 1 ййг (х) = 1(х) бх1 1(х) = е Р 2пЬхй Отсюда -Л Очевидно, груз весом менее уб„взвешивать уже нельзя.
Как и во многих других случаях, точность измерения может быть повышена за счет уменьшения температуры. 7.4. Определить предел чувствительности, обусловленный флуктуациями, для изобарического газового термометра с идеальным газом в качестве рабочего вещества. О т в е т, Наименьшее изменение гемпературы, которое может регистрировать Т прибор, по порядку величины равно =.
УГ У к а з а н и е. Воспользоваться формулой (26,8) для оценки флуктуаций температуры. 7Л. Вывести формулу связи между коэффициентом вязкости н коэффициентом диффузии, рассматривая распределение эмульсии частиц в однородном поле тяготе. ния. Р е ш е н и е. Если ось Ог направлена вертикально вверх, то выражение для потенциального поля, в котором находятся частицы, запишется так; и = ш*аа, 191 где т' — разность истинной массы частицы и массы жидкости, заключенной в ее объеме. (Тем самым учитывается действие выталкивающей силы Архимеда.) В условиях равновесия распределение частиц по высоте должно описываться формулой (17.9): л|" гг и (г) = и (О) е (') С другой стороны, равновесное распределение эмульсии частиц есть результат динамического равновесия между потоком частиц, падающих вниз под действием силы тяжести, и потоком, возникающим в результате диффузии от нижних слоев к верхним, так как концентрация частиц в нижних слоях больше, чем в верхних, Диффузионный поток описывается законом диффузии: г(а 1= г(г Длн определения величины нисходящего потока рассмотрим движение одной частицы под действием силы тяжести, архимедовой силы и силы сопротивления дви.
жению, равной — аг, где а = бпгт), Запишем уравнение Ньютона: тг = -т*й — аг. Отсюда а . лт* г = — — г — —. т т Производная г есть скорость частицы а. Тогда дли скорости имеем уравнение а ат' о+ — о= — —, т т иоторое совпадает по внешнему виду с уравнением (27.6). Это позволяет записать решение, пользуясь аналогией с решением уравнении (27.6), и — — йть о = Се а а Как указывалось (см. 9 2?.2), отношение — в условиях реальных экспериментов очень велико, поэтому экспоненциальным членом можно пренебречь. шнзически это означает, что практически мгновенно устанавливается движение с постоянной лт" скоростью, равной по модулю а Плотность потока, идущего вниз, будет равна лт" и 1 — ив —— а Приравнивая восходящий и нисходвщнй потоки, получаем: йт*п г(п — — — 77— а бг Интегрирование этого уравнения дает: гт'г аа а(г) =а(0) е (2) йТ Сравнивая (2) и (1), приходим к соотношению (27.9); 1) = —. 192 Глава ЧП1 РАВНОВЕСИЕ ФАЗ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 5 2З.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕРМОДИИАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ 28.1. Критерии наличия равновесия н его устойчивости Второе начало термодинамики позволяет найти критерий наличия равновесия в системе и его устойчивости. В зависимости от того, при каких условиях устанавливается равновесие, формулировки критерия оказываются различными. Однако во всех случаях общим является то, что в состоянии равновесия какой-нибудь термодинамический потенциал имеет экстремум.
Назовем виртуальным такое бесконечно малое отклонение от равновесия, которое совместимо с заданными внешними условиями. Изменение параметра х при виртуальном отклонении обозначим через бх. По определению бх = х — х,, где х, — значение параметра в положении равновесия. Изменение термодинамической функции / (х), происшедшее в ре зультате виртуального отклонения, равно 61. Причем б! =( — ) бх. Если функция l (х) в состоянии равновесия имеет экстремум, то 61 = О (28.1) или Я =О.
(28.2) 7 Заказ 3! 193 Это необходимое условие равновесия, но не достаточное. Достаточное условие состоит в том, чтобы наряду с (28.2) вторая производная дз!л — ) имела определенный знак, обеспечивая существование максидхз)а 1д !л мума или минимума. (Если окажется, что ~ — ~ = О, то третья про(дх4 изводная должна равняться нулю, а знак четвертой производной опять- таки зависит от характера экстремума.) Испытав отклонение от равновесия, всякая термодинамическая система согласно второму началу термодинамики возвращается в равновесное состояние.
Поэтому наличие максимума или минимума соответствующей термодинамнческой функции необходимо для того, чтобы равновесие было устойчивым. Рассмотрим приложения указанных выше критериев, причем ограничимся простой (Р, 'г', Т)-системой и разберем только три типичные ситуации. 1. Изолированная система с фиксированными значениями энергии, объема и числа частиц. Система будет в равновесии, если 65=0, (28.3) и равновесие будет устойчивым, если ('— ,~) < О. (28.4) Смысл написанных выражений заключается в том, что в равновесном состоянии энтропия максимальна, и поэтому любое малое отклонение от равновесия вызывает уменьшение энтропии. Предоставленная самой себе, система стремится перейти в состояние с большей энтропией, Это означает, что она самопроизвольно возвращается к равновесию.
Следовательно, равновесное состояние является устойчивым. (Если /д'5~ окажется, что ( — ~ = О, то четвертая производная должна быть 1,дк')о отрицательной, а третья — равна нулю.) 2. Система в термостате при постоянных температуре, объеме и числе частиц. Так как система не изолирована, то ее энергия и энтропия не постоянны. Поскольку эти величины имеют смысл как для равновесных, так и для неравновесных состояний, постольку в условиях данной задачи во всех состояниях имеет смысл свободная энергия Р =- = У вЂ” БТ. Система будет находиться в равновесии, если 6Р = О, (28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
