Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 46
Текст из файла (страница 46)
М. Дирак, Принципы квантовой механики, М., 1960, 9 58). Имеются, однако, серьезные сомнения, в какой мере гамильтониан Гейзенберга применим к реальным кристаллам (в особенности к металлам). Поскольку мы дальшс не выходим фактически за пределы метода молекулярного поля, мы используем простое выражение (6.5). Суммирование, вооб1це говоря, надо производить по всем узлам решетки, но ввиду быстрого спадания 71 с расстоянием можно ограничиться суммированием только по парам ближайших соседей. В этом случае 8,„= — Х ,'У', О1ОЛ, 1<А (6.6) если считать все Х1», относящиеся к ближайшим соседям узла, одинаковыми (кубическая решетка). 3.
Рассмотрим проблему ферромагнетизма, воспользовавшись так называемой моделью (решеткой) Озинга, которая может быть применена и к другим вопросам, например, к антнферромагнетизму, проблеме перехода порядок беспорядок в бинарных сплавах, к проблеме конденсации газа. Под моделью Изинга понимают правильную кристаллическую решетку, узлы которой могут, по некоторому признаку (направлению спина, занятости разными атомами и т.
д.), находиться в одном из двух возможных альтернативных состояний; при этом учитывается только парное взаимодействие соседних узлов решетки. Рассмотрим проблему ферромагнетизма в модели Изинга, пользуясь методом Брэгга — Вильямса (1934 г.), который был впервые применен ими к изучению сверхструктуры в бинарном сплаве (см.
следующий параграф). При этом мы получим более глубокое представление о методе молекулярного поля Вейсса. Кроме того, мы сможем исследовать скачок теплоемкости и изменение энтропии при ферромагнитном переходе и показать, что он является фазовым переходом второго рода. Пусть число «правых» и «левых» спинов в решетке Изинга равно У+ и 1Ч ; тогда У++У =У, (6.7) где У вЂ” полное число узлов решетки. Число способов реализации , состояний У+ по У узлам решетки, или термодинамическая 244 системы с пенемениым числОм чАстиц [Гл, уш вероятность, равна дп У! Ю= У+!У ! У+1(У вЂ” У+)! (6.8) Если рассматривать спины как невзаимодействующие (за счет введения молекулярного поля), то энтропия спиновой системы Я =й [п [[!т = — и (тт'+ 1п — ++!у' [п =), (6.9) как это следует из (1Ч; 3.22) и (6.8), если воспользоваться формулой Стирлинга.
Параметр порядка т! для нашего ферромагнетика, по определению, равен М У+ — У Ч— = — = М У (6.10) так как М = [ьи(д1+ †!!! )!У и М„ = [ьа!т'/У, если [ьн — магнетои Бора. При полном упорядочении системы, когда все спины направлены в одну сторону (например, Уе = й[, У = О), параметр т) = 1 '); при полном статистическом беспорядке Ж+ —— Ж = У/2 и т)=0. Из (6.7) и (6.10) следует, что У+ ! У 1 (1+ Ч) — = (1 Ч).
У 2 ' У 2 т. е. энтропию, выраженную через параметр порядка т!. Из (6.12) следует, что чем меньше порядок в системе, т. е. т[, тем больше ее энтропия. Рост энтропии с увеличением беспорядка в системе является весьма общим свойством, как уже отмечалось раньше (гл. !У, 9 6, п. 4) при исследовании магнитокалорического эффекта и прн обсуждении формулы (Ч! 2.20) для энтропии, связанной с ориентацией молекул в электрическом поле. Из (6.12) видно, что 5(0) — 5(1)=йУ1п 2)0, (6.13) т.
е. энтропия, связанная с разупорядочением спиновой системы, равна' половине энтропии смешения идеальных газов ([Ъ', 7.9). Вычислим теперь энергию спиновой системы. Обозначим через !т',, й[ и У, среднее число пар ближайших спинов, направлен- ') Если все спины направлены налево т е У =У, У э=о, то Ч= — 1; как мы увидим дальше, иа самом деле нас интересует только абсолютная величина т!. Подставляя эти значения в (6.9), получим Я (Ч) = — йй[ ~ — (1 + Ч) [п †" + †, (1 — Ч) 1п †"~, (6.12) 245 5 61 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГИЕТИЗМА ных вправо, влево и антипараллельно.
(Например, на рис. 60 представлена плоская квадратная решетка, для которой !т',, = 1, тт' =2 и !т', =4.) Конфигурационная энергия спиноз Е.,„= — У(тт'.„. +М вЂ” Ф+ ), (6.14) как это следует из (6.6). Очевидно, что +++ + +" 2 (6.16) где г — число ближайших соседей в решетке.
Если считать, что вероятность того, что на соседнем узле имеется спин заданного направления, не зависит от направления спина на данном узле, то М = — ей!+ — = — 2Л (1+т1), 1 Ат 1 й' — — 2 ЕУ- у 8 ЕУ (1 т)) (б. 16) 1 М 1 У = — г!У = — ЕМ (1 — т1'), 2 + Ат гу 1, !+ч — т1= —,.и— Ат 2* (6.19) так как тт',/тт' и Ф !)т' — вероятности того, что на некотором узле имеется правйй или левый спин, независимо от того, какого направления спин на соседнем узле. На самом деле, если на некотором узле имеется спин заданного направления, то в случае ферромагнетика на соседнем узле более вероятно появление спина того же направления.
Эта корреляция носит название ближнего порядка. В этом смысле говорят, что в методе Б рэгга — Вильямса учитывается только дальний порядок, и ве- + личина т) (6.10) называется параиетром дальнеео порядка. Подставляя (6.16) в (6.14), получим 8,„(т!) = — — МЕХТ!'. (6.
17) 1 Рис. 50. Свободная энергия, связанная с конфигурацией спиноз, равна т(т)) г,„( 1) — ТЯ(т)) = = — — !ТЕХТ!'+ 7!)яТ ( — ~ 1и — ч+ — ч!и — ~~, (6.18) как это следует из (6.17) и (6.12). В состоянии статистического равновесия (дК/дт1)т = 0; из (6.18) получим 246 системы с пеРеменным числом частиц [гл. Рш откуда 1~ (Гтт1) ' (6.20) Вводя величину х=(г//йТ) г), получим ьт — х=й(х). гг (6.21) т. е. непосредственно выражается через обменный интеграл /. Следует отметить, что если бы мы молекулярное поле Вейсса (6.1) подставили в формулу (1/; 2.25), определяющую момент, обусловленный ориентацией спинов с э=1/2, томы пришли бы непосредственно к формуле вида (6.20), из которой следовало бы, что постоянная Вейсса а = —,. (6.23) гг пив Из уравнения (6.20) следуаг ет, что теория приводит к универсальной зависимости (при данном спине э=1/2) относительной намагниченности г) от Т/Т,.
На рис. 61 дана теорев аг дг дг дг гв ' тическая зависимость Рис. 5!. =т1(Т/Т,) и экспериментальные точки для железа (х), никеля (0), кобальта (/~) и магнетита (+). Характерным является очень быстрое уменьшение т1 до нуля при Т вЂ” Т,. Из уравнения (6.21) (так же как и из (6.3)) следует, что прямая у=(МТ/г,/)х пересекает при Т(Т, кривую й(х) не только в точке с т1=М/М чьО, но и в начале координат, где г1=М/М„=О.
Покажем, что состояние с т) =О в этом случае неустойчиво, т. е. свободная энергия не минимальна. Беря вторую производную по и от свободной энергии (6.18), получим ( — г) = — й/г/+1 г=МлТ (1 г — ~') . (6.24) Так как й(х) качественно ведет себя подобно функции Ланжевена .У(х), то уравнение (6.21) аналогично уравнению (6.3). Оно также приводит к представлению о спонтанном намагничении ферромагнетика ниже некоторой характеристической температуры Т,. Так как й'(0) =1/с)эг(0)=1, то температура Кюри в случае уравнения (6.21) равна (6.22) СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФЕРРОМАГИЕТИЗМА 247 2 6! Мы видим, что при Т < Т, и т)=0 производная (д'У(дт)')г< О, т.
е. соответствующее состояние неустойчиво. 4, Покажем, что ферромагнитный переход является фазовым переходом второго рода. Для этого вычислим часть теплоемкостн, связанную с ориентацией спинов (конфигурационную п1енлоемкость). Из (6.17) следует, что теплоемкость С(ц) ='-~~-"= — й(г,)п 3.
(6.25) Дифференцируя (6.20) по температуре, получим ач х 1 ИТ Т свех — (Т (Т) ' (6.26) где х=(Т,7Т) т). Используя (6.20) и (6.22), получим для тепло- емкости: сьсх — (хнб х) ' (6.27) где (вх Т (6.28) х Т, Таким образом, теплоемкость С (т)) определяется правой частью (6,27), где х связано с Т7Т, трансцендентным уравнением (6.28). В результате можно определить зависимость теплоемкости С от Т(Т,. При Т(<Т, (х>) 1), как следует из (6.27), теплоемкость С =4Уйх'е '" (6.29) т. е.
экспоненциально убывает при стремлении температуры к нулю. При Т- Т,— О, разлагая в ряд по х правую часть (6.27), получим 2 (1+~~+...) — ~1+ з «'+...) (1+7+ )'- х — — «с+ э (6.30) т. е. С = — Уй. 3 2 (6.3! ) Так как при Т= Т, параметр порядка т)=0, то и 8,„=0 и, следовательно, соответствующая теплоемкость тоже равна нулю. В результате мы для теплоемкости получим кривую, изображенную на рис. 52. Мы видим, что при Т=Т, теплоемкость испытывает скачок (ЬС='/,Л(й), характерный для фазовых переходов второго 248 системы с пеРеменным числОм чАстиц 1гл.
Уш рода. Этот характер фазового перехода подтверждается и тем, что энтропия в точке Т=Т, остается непрерывной. В самом деле, из (6.12) следует, что для малых и энтропия 5(Р1)= — ЙУ(т~ь — 1п2), т. е. непрерывна в точке т(=0. Характерный пик в теплоемкости, так называемая Л-точка (лямбда-точка), наблюдается, например, при ферромагнитном переходе в никеле при температуре Кюри Т,=647 'К (рис. 53). С, ааа/аааь Еььг О 85 5О и гаа 4оо ам лв Рнс. 52. Рис. 53. Мы не можем исследовать поведение в точке Т, коэффициента теплового расширения и сжимаемости, так как в модели Изинга объем решетки остается фиксированным. 5. Если обменная энергия У в (6.6) отрицательна, то, как уже отмечалось выше, антипараллельная ориентация соседних спинов энергетически более выгодна, поэтому при низких температурах магнитные моменты спинов попарно скомпенсированы и кристалл является антиферромагнетиком.
Во внешнем магнитном поле кристалл ведет себя как парамагнетик, хотя он обладает некоторыми свойствами, отличающими его от обычных парамагнетиков. 1 На рис. 54 показано такое расположе. ние спинов в антиферромагнетике со структурой объемноцентрированного куба. Спины, расположенные в вершинах куба, направлены вверх, в центрах куба — вниз. Так как полное число вершин и центров Рис. 54.
кубов в кристалле одинаково, то решетка спонтанной намагниченностью не обладает. На первый взгляд для построения теории антиферромагнетизма достаточно в соответствующих формулах для ферромагнетиков изменить знак 7. Однако это не так. В случае антиферромагнетика мы должны ввести две подрешеткн (например, решетку вершин и рещетку центров кубов на рис. 54), которые могут быть спонтанно намагничены в противоположных направлениях. Для того чтобы объ- З 71 теоиия пагеходов погядок ввсповядок в в 1нагных сплавах 249 яснить такую спонтанную намагниченность двух подрешеток, необходимо для каждой из них ввести свое собственное молекулярное поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
