Fluegge-2 (1185101), страница 42
Текст из файла (страница 42)
До сих пор все наши формулы в рамках нерелятивистской теории были совершенно точными, но, разумеется, ими следует пользоваться только в том случае, если кинетическая энергия электронов мала по сравнению с енсе: Е„„,=йс(й — й') фтсе или й — lг' ~~н, поэтому в формулах (218.17) и (218.19) целесообразно прибегнуть к разложению в ряд по степеням отношения я!н. Имеем (е' (е ее — = — — — (1 — сов 6)+... н н н' с(о = — ( —,) ~! — 2 — (1 — сов 6)~ (1-1- соз' д) с(й'. (2!8.20) Отсюда после элементарного интегрирования по угловым переменным получаем выражение для полного сечения рассеяния: н (218.2!) Как хорошо известно из классической электродинамики, в длинноволновом приближении сечение рассматриваемого процесса описывается формулой Томсона: о.= — ( —,) =6,662 х 10 *'- см'.
8л/ е' те (218.22) Фигурируюший в выражении (218.21) дополнительный множитель представляет собой первую квантовую поправку, благодаря кото- Поскольку, далее, в силу (218.!6) ое! г —, = 'Ьс ! 1 + — ()е' — й соз б) ~, то выражение (218.11) для плотности конечных состояний рт можно представить в ваде р = ~ с(й'.
(218.18) 8леьс (+ ! (А' — е сов Е) н 278 )7!1. Теория излучения рой величина сечения уменьшается с ростом энергии фотона (м1х=Ьш!пзсз). Разумеется, мы можем ограничиться только этой поправкой лишь в том случае, если й)х<с1, т. е. если длина волны падающего света велика по сравнению с комптоновской длиной волны 11х=й)тс (при Йш=тсз=-0,51 МзВ или й=х мы имеем )ь=2пй)тс). Замечание 1. Если е =О, то вклад от члена Гг" энергии взаимодействия (218.2) во втором порядне теории возмущений равен нулю.
При релятивистском рассмотрении интересуюшего нас процесса обычно для плотности тока используется выражение (199.1), так что комптановские переходы оказываются возможнымн лишь во втором порядке теории возмущений. Однако и в релятивистском случае решению можно придать форму, полностью аналогичную приведенной выше, если разбить выражение для плотности тока на две части, как это было сделано в задаче 199. Замечание 2. Если энергия фотонов велика, то для опичания электронов необходимо пользоваться уравнением Дкрака Прн этом вместо формулы (2!8.21) получается формула Клейна — Нишины. Следует, однако, заметить, что наше приближение оказывастся хорошим в довольно широкой области энергий.
Тан, например, при й)х=0,2 из (218.21) получаем п1па=0,714, а точная формула Клейна — Нишины дает 0,737. Далее при й)н=! соответственно имеем 0,333 и 0,431. Фактическая величина сечения рассеяния уменьшается с ростом энергии значительно медленнее, чем зто следует из нашей приближенной формулы. Так, например, при й)х= 1000 вместо точного значения 0,0215 получаем значение п1пе = 0,0030.
Задача 219. Тормозное излучение В рамках нерелятивистской теории столкновение электрона с тяжелым ядром, сопровождаю!цееся рождением у-кванта, можно рассматривать как процесс второго порядка, в котором ядро считается бесконечно тяжелым и описывается просто его электростатическим полем. Пользуясь указанным приближением„ рассчитать спектр тормозного излучения. Решение. На фиг. 76 показаны две простейшие диаграммы, соответствующие рассматриваемому процессу.
В начальном состоянии имеются покоящееся ядро и электрон с импульсом йлу. В конечном состоянии мы опять имеем покоящееся ядро, электрон с некоторым меньшим импульсом й!7' и фотон в состоянии с квантовыми числами й и Х. Так как масса ядра предполагается бесконечной, то в процессе столкновения меняется лишь его импульс, а энергия остается прежней (М = оо, р — конечная величина, рз12М =О, о=О). Таким образом, начальное и конечное состояния всех остальных частиц удовлетворяют закону сохранения энергии, закон же сохранения импульса для них не имеет места. Энергия возмущения состоит из двух членов, Н'= — и,+Вю (219. 1) 2Т9 2тэ.
Тормознас излучение причем первое слагаемое Н, = — Лет ~ — тРттйсРх (219.2) где и 2яи (т е 1 ем а б Ф н г. 76. Диаграммы Фейнмана низшего порядка для тормозного излучения. двоанме линии относятся н беснонечно тяжелому ядру, одиночные линии-н елентроввм, волнистме линни-Н фотонам представляет собой энергию взаимодействия электрона с полем излучения. Имеем л=д,)уг —,~Рфм 'ть'и но (т1е. ° ) ! а~Р т 'ртР = — дст и г7тс е'чт'.
(219. 5) т Подставляя выражения (219.4) и (219.5) в формулы (2!9.2) и (219.3), после интегрирования по всему пространству получаем ЛЕ' мч 4н Н,= — — ~ сес, и а, Хм,т Х ст„с,(бааба,,„а,+Ь|,,„ба,ч, а„). (219.7) Чтобы найти отличные от нуля матричные элементы, соответствуюгцне процессу, изображенному на диаграмме фиг. 76, а, нужно описывает кулоновское взаимодействие ядра (заряд Яе) и электрона (плотность заряда р = — етрттр), а второе слагаемое Не = — ) (А'Л "в" (219.3) 2зо УН. Теаррл излучвлия взять из Н, члены, пропорциональные с~~ су, и из Н, члены, д пропорциональные су ст,б~~„. Имеем а 4 4пЛеь ! (!Уа !Н!! !УУ = 7~ ( ч д 1ь (219.
8 а) альт', й)./Н,(д,> — ~ — — а»'.(ьт, ' д'), (219 8б) Что касается первой вершины, то здесь у нас нет никакого закона сохранения, во второй же вершине должен выполняться закон сохранения импульса Й+ 17' = Дь. (219.9а) Отсюда с учетом ортогональности векторов иь и А получаем (Х! и!, (!Т, + ьт'1 = 2 (и<ы !у'). (219.10а) «уь, й)! Н.'1Ч>= —, 1,à —,иж! (Ч+Чь) еь / 2ясй (2! 9. 11а) 4яУеь ! Ч'!Н,)ць = — —. У 1ч — яь !ь (219.11б) В этом случае закон сохранения импульса имеет место в первой вершине й — у+уь=о (219.9б) и, следовательно, иь!ы! (д+ с)ь) = 2 (пьж! 41). (219.106) Энергия начального состояния йа, ь Е.=— 2т (219.12) должна равняться энергии конечного состояния ььу' Ег — — — + Тьс)ь, (219.!3) поэтому дь =д" + 2к1ь, (219,14) В случае процесса, изображенного на диаграмме фиг. 76,б, мы должны взять из Н, члены, пропорциональные с с Ььы и из Н,— Ф Ф члены, пропорциональные су сь„ ггУ.
Тормаенае игеааение Для промежуточных состояний, согласно (219,9а) и (219.96), имеем га и Еа = о = 2 (и +и) (2!9.15) ~~'~ь аг Еь = ~ +вся= ~ 1(ч — А)г+2кд]. (2!9.16) Пользуясь введенными обозначениями, матричный элемент второго порядка можно записать в виде е~)у 1 ° <По !а><а!н ~ > </!н !ь><ь~н~ е> Подставляя сюда выражения для матричных элементов (219.8а), (2!9.86) и (2!9.!1а), (219.1!6), а также выражения для импульсов еу, и уь, находим елЛе~ еи / 2лс$ ! 1(иа ' г!') (иа'.и) ! у г гг г — м-яг 1г,-г, ~ г — г (219.!7) Для получения сечения тормозного излучения необходимо воспользоваться золотым правилом и, следовательно, прежде всего вычислить плотность конечных состояний рг Здесь имеется небольшая трудность, так как из-за отсутствия закона сохранения импульса направления, в которых вылетают конечные частицы, являются независимыми.
Для одной частицы (относящиеся к ней величины мы снабдим индексом 1), как мы знаем, имеет место формула Ьгг!а'г аг аг Для другой частицы (относящиеся к ней величины мы снабдим индексом 2) плотность состояний р, определяется аналогичной формулой, но ширина интервала <(Е, и его положение на оси энергий в силу закона сохранения энергии зависят от ширины и положения интервала <1Ег для первой частицы.
Таким образом, необходимо положить Рг= РгргйЕг Если считать, что индекс 1 относится к электрону (и'), а индекс 2 в к фотону (ге), то в нашем частном случае имеем Рг с 'е'7Д Теория изерчеиия 282 Из общей формулы для дифференциального сечения, гг'о= "" ° — „ру) <7) Н'((>)е, и, после подстановки в нее выражений (219.17) и (219.18) получаем ее Лена д'я бЬ— Х ие д 1 аг — сг' — а ~4 гг (иеы су') (ий'~ ег) Х(в," . + . 7) е(а (2' й. (219.19) Здесь с1йз' — элемент телесного угла в направлении вылета электрона, с((з» вЂ” элемент телесного угла в направлении вылета фотона, а сйи и )а — его энергия и поляризация сосргветственно, Нам осталось получить формулу для энергетического спектра тормозных фотонов безотносительно к его поляризации и направлениям вылета обеих частиц.
Это означает, что последнее выра- Ф и г. 77. Тормозное излучение. Показаны направление осей выбранной снесены ноаряннат. жение, мы должны просуммировать по )с и проинтегрировать по всем угловым переменным. В задачах рассматриваемого типа процедура интегрирования по угловым переменным довольно утомительна, однако в настоящем случае, как мы убедимся ниже, все обстоит очень просто. На фиг.
77 показана система координат, в которой удобнее всего рассматривать три интересующих нас вектора импульса, Эти векторы некомпланарны, т.е. если векторы д и й в выбранной системе координат располагаются в плоскости хг, то вектор р7' имеет составляющую вдоль оси у. Имеем 7 =,7(О, О, 1), Ф =А(з(пй, О, созб), д'=с)'(з)пд'соэф', э)пд'81ПФ', созб') ееу. Тормозное иоеучение п~ь'=( — созд, 9, созб), и1~ьь=(0, 1, О), Из формулы (2!9.14) следует, что й ~~(д и й<, и', поскольку величина х велика, поэтому в нижеследующих расчетах мы воспользуемся типичным для нерелятивистской теории приближением и пренебрежем импульсом фотона по сравнению с импульсом электрона.
Это позволяет упростить энергетические знаменатели, фигурирующие в формуле (219.!9). Пользуясь соотношениями (219.12), (219.15) и (219.16), получаем ве Ее — Е. = — Ы' — г)" — 2 (ц' й) — ле), ль Ее — Еь= 2 ( — 2хй+2(9 Ф) — йе). В обоих этих выражениях можно пренебречь двумя последними членами, а величину 2хй заменить, согласно (219.14), разностью дь — д". Таким образом, имеем 2 Е,— Е, ж 2 (е)ь — е)") ж — (Е; — Еь). Следовательно, энергетические знаменатели в формуле (219.19) в этом приближении оказываются равными по величине и противоположными по знаку, так что мы можем просто вычесть один числитель из другого, полагая либо 1=1, либо 1=2: (и„'" ц') — (и,'" ц) = и'( — соз д з!п б' соз ф'+ з(п О соз д') — д з!и б, (219.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
