Fluegge-2 (1185101), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(211.7) Пользуясь соотношениями с»)0»>=0, с»(1»>=,'О»>, получаем с»Х,=6»»,10»,>. с». ! 0> = ! 1» > ее можно записать в виде )Г!1»,>= — ~~',<ес')Р)Ф,>е'<"- е')1»>. 9 мыт» Таким образом, когда оператор ))е', определенный соотношением (21!.5), действует на гильбертов вектор Хь от суммы по Ф остается единственный член с Ф=й„при этом оператор с,, уничтожает начальную частицу н превращает исходное состояние поля х, в вакуумное состояние ~0>. Что же касается оставшейся суммы по с„', то в иее дают вклад все члены, и с учетом соот- ношения Лд Теория излучения 258 В силу условий ортонормированностн <)(е)1><1яз)1>бяуя в матричный элемент (211.7) дает вклад также только один член этой последней суммы, и мы получаем <Ху!1)т'!Ке>= уо <Угу! У!Ф,>е'е"' "л'. ! Зная матричный элемент, можно с помощью „золотого правила" вычислить дифференциальное сечение рассеяния: е(о= ~ М<Х~!))'!К;>Р—,, где борз е)р е)И пуф~ (2вд) е)Е 8~~6~ (211.!О) причем в последнем выражении все величины отнбсятся к конечному состоянию.
Если теперь подставить выражение (21!.1О) в (211.9) и воспользоваться для матричного элемента формулой (211.8), то объем куба периодичности 7~ сократится и мы по- лучим (211.11) Этот результат с учетом выражения (211.4) полностью согла- суется с формулой первого борновского приближения (см. задачи 105 и 184).
Задача 212. Квантование классического поля излучения Решение. Классическое поле излучения описывается векторным потенциалом А, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям ПА=О и Йч А=0, (2!2.!) из которых при обычной калибровке следует поперечность электромагнитных волн. Чтобы придать физический смысл этим уравнениям, надо либо ввести соотношения, связывающие векторный потенциал А с напряженностями электрического и маг- Пользуясь классическими выражениями для энергии и импульса максвелловского поля в вакууме, произвести квантование этого поля в соответствии со статистикой Бозе.
Считать, что внутри куба объемом У'=Ьз на поле наложено условие периодичности, 259 212. Квантование классическсеа аслл ивлученик нитного полей, 8= — — А, за=го(А, (2 12.2) либо рассмотреть выражения для энергии и импульса поля: В'= — „~(8'+2ее)(Рх= — ~ ~уА'+(го1А)'1(Рх (212,3) Р=4 — „с ) [8 24! (Рх= 4 ' ) [А ° го! А[(Рх. (212А) Общее решение дифференциальных уравнений (212.1) можно, как обычно, представить в виде суперпозиции плоских волн А =- )I — "'„~~', ивк (с)нле((в "- о+ране-'(ч'-"о) (212 5) где инк — единичный вектор, а индекс )(= 1, 2 отвечает двум состояниям поперечной поляризации. Векторы ив( должны удовлетворять трем условиям ортогональности: (ив, й) = — (ив Ю) = (ив, ив,) = О.
(212. 6) Выбор нормировочного множителя перед знаком суммы в выражении (212,5) продиктован соображениями удобства. В силу условия периодичности внутри куба объемом У' = Еч значения волнового вектора й определяются равенством Е (212. 7) где п(=0, ~-1, -Е2, .... Частота волны а( связана с абсолютной величиной волнового вектора й законом дисперсии а( *йс.
(212.8) Так как каждое слагаемое в сумме (212.5) состоит из двух комплексно-сопряженных по отношению друг к другу членов, то векторный потенциал А представляет собой действительную функцию переменных г и 1, как это и должно быть в классической теории Максвелла. Подставляя общее решение (212.5) в выражение для энергии (212,3), получаем сч ч -ч Г ( ч(ч(' К= — ~ ~„) 4 — —.ив,хмв„— [й' ивх) [й иль[~ Х вх вое ') ( [()в,,е((ве-и'о ()вме-((ве-чэ()) 1() е((ве-ип ()"хе-((ве-и(()((вх Если теперь перемножить выражения, стоящие в двух последних скобках, то после интегрирования по пространству у нас оста- УП.
Теория излучения н)ется только те члены с произведениями ЧЧ и Ч*Ч', в которых Й = — Й, и только те члены с произведениями ЧЧ' и Ч'Ч, в ко- торых й'=й. В результате выражение, фигурирующее в первой скобке, если еще учесть соотношения (212.б), примет вид /О, если Й'= — й, — 4 — (Ф' й)=( ала е- ( — 2 — аблл.. если Ф'=+ее, Таким образом, получаем лл м (ЧалЧа + Ча Чал). (212.9) С помощью аналогичных выкладок нетрудно показать, что выражение для импульса (212.4) приводится к виду Р = с,'л елй (Чыфал + Чал Чал) .
(212.10) Теперь можно приступить к квантованию классического поля излУчениЯ, заменив классические амплитУды Чал и Чал опеРаторами Чал и Чал, которые удобно записать в виде Чал = Сабы и Чал = Сабы, Ф где Са — действительные нормировочные множители. Мы имеем а = Х и*СМЬ,лЬ„'+ Ь„"Ьы), ы Р—— ,~~ лзФС» (Ьал Ьач л + Ь~албал) .
В соответствии со статистикой Бозе подчиним операторы Ьал и Ьы перестановочным соотношениям Ф Ь Ьа — Ь;Ь =б,б Ф и будем считать, что все другие комбинации этих операторов коммутативны. В силу указанных перестановочных соотношений собственные значения операторов Ь,лЬал, обозначаемые ниже через )ч'ал, оказываются целочисленными: )Чал = О, 1, 2, 3, (212.14) при этом собственные значения операторов ЬалЬал будут равны Мал+1 (см.
задачу 31). Вслн далее положить (212.!5) е!3. Вероятность нереяодое е изеочением одного фотона В61 то выражения для операторов энергии и импульса (212.12) при- мут вид )Р =,У, -(В„Ь„+Ь|,Ь„), нее Р = ~йй (Ь„Ь„'+ Ь„',Ь„), (212.16) а их собственные значения будут равны Я7 = ~~Ьсо (Уьь + е/ ) и Р=,~~И(Лгьх+е! ). (212,!7) Таким образом, мы можем интерпретировать величину Мех как число фотонов в состоянии с квантовыми числами Й и )ь, причем в указанном состоянии каждый фотон обладает энергией все, а его импульс направлен вдоль вектора )1 н равен по величине Ы = — Ы|с. Из (212.1) следует, что вакуум обладает энергией )р',= ~ —, ьсо (212.
18) (энергия нулевых колебаний поля). Несмотря на то что энергия вакуума бесконечна, ей не следует придавать особого физического смысла. Фактически можно ограничиться рассмотрением разности энергий реального состояния и вакуума (212.19) А ~~>» ~еегзнсй (ь ее 1» г-гьо 1 (г~е е-е м г-ио)пью (212.20) «х Задача 213. Вероятность переходов с излучением одного фотона Электрон помещен в сферически симметричное поле ьг(г). Вычислить вероятность перехода электрона с верхнего уровня на нижний, если этот переход сопровождается излучением одного фотона. Эффекты запаздывания не учитывать. которая всегда конечна.
Вклад же нулевых колебаний поля в импульс равен нулю, так как члены суммы (212.17) с )е и — я попарно сокращаются. В пезультате квантования векторный потенциал А становится оператором, порождающим и уничтожающим фотоны. С помощью соотношений (212.5), (212.11) и (212.15) нетрудно показать, что в квантовой теории выражение для векторного потенциала имеет вид У1!. Теория излучения Решение. В классической теории Максвелла взаимодействие вещества (электрон) с излучением описывается выражением О' = — ') (А.,/) а(ах, (2!3.1) где А — векторный потенциал поля излучения, а / — плотность электрического тока частиц вещества.
В теории квантованнык полей векторный потенциал, согласно результатам задачи 212, записывается в виде'> А =,) '1 — па1Ы (Ьахе'а а+Ьтхс-га г) (213 2) Отсюда с помощью формулы У= — — (ар''()ар — 7ар' ар) еа (заряд электрона равен — е) получаем /= — — 2л( ~ „~ (ип три„— мчали'„) сл сл. (213А) здесь и„(т) и и„(т) — одночастичные волновые функции, явный вид которых можно найти путем решения уравнения (213.3); индекс и (или и') фактически означает совокупность трех квантовых чисел.
Величины с, и с, являются операторами, введен- 1 ными в задаче 210, и подчиняются перестановочным соотноше- ниям 1 Ф СпСл' + Сл'Сл = Ьлл' СлСп + Си'Си = О. (213.5) Спонтанное излучение фотона происходит в процессе перехода электрона из начального состояния пг в конечное состояние пр На языке теории квантованного шредингеровского поля это означает, что электрон, находящийся в начальном состоянии по уничтожается, а вместо него рождается электрон в конечном В выражениях (213,2) и (213.3) мы опустили временные множители, фигурировавгиие в выражениях (212.20) и (210.5). Это соответствует переходу от картины Шредингера к картине Гейаенберга. Выражение для плотности электрического тока можно написать, воспользовавшись результатами квантования шредиигеровского поля.
Имеем й,а тр = ~~, с„и, (р), — у'ил+ Уи„= Елил. (213.3) л 2/д. Вероятность нереяодоо с излучением одною фоошна 263 Ь»хс. с„г / Если подставить выражения (213.2) и (213.4) в энергию взаимодействия (2!3.1), то легко убедиться, что в ней такой член действительно имеется и его можно записать в виде <) ~ Н' !1> Ь~~»с'„с„р (213. ба) где <~)Н'11> = — ) ~ й — — (е е»'е ° «» (и„уи„.— и„уи„) е(зх 1 1' Г2неа еа .
Од ' ' з е ) )// ч/'з 2т / ' ' / (213.6б) — обычный матричный элемент перехода между начальным и конечным состояниями. Вероятность интересующего нас перехода можно записать с помощью золотого правила (см. задачу 183): Р = — "р/) </(Н'(1> !ь. (213.7) В энергетической шкале плотность конечных состояний р/ полностью определяется фотонами: 'яздядИ»еда "ро = — й»с(»1», (2~)~ Деду (213.8) где Ю» — элемент телесного угла, в который вылетает испущенный фотон. Таким образом, остается лишь вычислить интеграл I = ~ е-'»' (и„уи„— и„л/и, ) с('х, и Е ь / фигурирующий в формуле (213.6б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
