Fluegge-2 (1185101), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. потенциальная ступенька частично деполяризует волну; однако эта деполяризация является эффектом второго порядка по параметру и. С другой стороны, в случае продольно неполяризованного пучка (й= О) получаем 2и й" = —— 1+ив ' так что наличие потенциальной ступеньки приводит по крайней мере к частичной продольной поляризации пучка, причем этот эффект линеен по параметру и. На практике параметр и оказывается сравнительно малой величиной (и ж 0,1), поэтому частичная поляризация первично неполяризованного пучка представляет больший интерес, чем частичная деполярнзация пучка с вполне определенной спиральностью. В заключение следует отметить, что параметр и обращается в нуль в случае нормального падения, поэтому рассмотренные эффекты проявляются более отчетливо при скользящем падении первичного пучка.
Если в этой формуле выразить отношения В/А и Г/Е через поляризации й и й", определяемые формулами (208.10) и (208,11), то нетрудно показать, что (208.15) 20У. Отражение от прямоуеояьной потенциальной гтупеньки 25! Задача 209, Отражение от прямоугольной потенциальной ступеньки при наклонном падении Частица, описываемая плоской волной со смешанной спиральностью, падает наклонно на потенциальную ступеньку.
Вычислить коэффициент отражения и доказать, что плотность тока непрерывна на поверхности, где потенциал испытывает скачок. Решение. Плотность электрического тока 1, = !есф! у,у,ьр .= есфт сеььр можно следующим образом выразить через компоненты спинора ьр в стандартном представлении: 1„= СС (ьр;фь+ ьрььрь+ «рьярь+ ф',ф,), 1„= сс! ( — ф,'ьр, + яр,"ьрь — ьр.'ьр, + ьрььрь), 1, = ес ц;ьр, — ьряьр, + ьрьф, — ь)ььр,). к(!+ч'! ~~ + ( А з1п — — В соз — ) т! ( А соз — В з1п — ) ! 2 ! = !г(!+чь) 11, 2 2) (, 2 2) ~ ( А соз — + В з! и — ) т! ( А соз — — В э!и — )— — ( А гйп — В соз — ) ь) ( А з!и — + В соз — ) ~ .
2 2) (, 2 2) Отсюда после очевидных упрощений получаем !г !1+ Чь! 2есц 1,=, ц~ „(А'+В')созе. (209.1) Аналогичные формулы справедливы для отраженной волны: 2.ч 1; =,, (С'+!9ь) з!пд, 2еоц 1;= —,, (С'-)-Вя)созй (209.2) В случае плоской волны экспоненциальные множители, входящие в ф'„и ф,, взаимно сокращаются. Что же касается постоянных спинорных амплитуд (208.5), то при нашем выборе системы координат, благодаря которому ьр=0, их можно, не нарушая общности, считать действительными. При этом, как и следовало ожидать, !у — — О, Для падающей волны две другие компоненты плотности тока имеют вид И.
Рееятиеистсное ураенение Дарана и для прошедшей волны'ь. 1'" = „(Ее+Ее) 3!пд", к у(~ !„е) р (!+ч") (209,3) Чтобы вычислить эти плотности токов, мы сначала выразим амплитуды С, О, Е, Г через амплитуды А и В падающей волны, решив для этого систему линейных уравнений (208.6) или эквивалентную ей систему (208.8а), (208.86). В результате элементарных, но довольно трудоемких вычислений получаем — иА+ ииВ О йА+ иВ Д Ф Д рА+а Š— оА+РВ (209. 5) 2гЛ 2еЛ где се = 2()ьз+!) р (!+уз) 41!(! +рз) () = (Лх — 1) (1 — ра) (1+Фа) Д = (Л+ 1)а (! — Р~7)а+(Л вЂ” 1)'(Р+(!)' (209,6) рД = (Х-1- 1) (Д вЂ” ар) — (Х вЂ” 1) !) = 4Х()ь+ 1) (1 — рг() (! —,Оа), оД =(Х вЂ” 1) (РД вЂ” сх)+(1+1) (!Р = 4Л(Л вЂ” 1) (Р+г)) (1 Ра) Из соотношений (209А) и (209.5) далее находим Ьт (С'-1-(ет) = (аз+(1') (А'+В'), 4гаЛз (Е*+ Е') = (р'+ оа) (А'+ В').
Подставляя выражения (209.6) в соотношения (209.7), после простых, но довольно длинных преобразований получаем Д (р'+ о*) = !А (1 — р*)' (209.8) и дт — (ах+ (1') = д4Л (1 — р') (1 — да). (209.9) и Так как е Ра «> бах=о, чо ннтерференцнонные члены, обусловленные наложением отраженной г1 падаю. щей волн, для нас несущественны н нх можно опустить. Згн члены могут представлять интерес прн изучении локального поведения плотности тока (см.
задачу 231. Теперь нетрудно выразить плотности токов отраженных и прошедших частиц через плотность тока падающих частиц; например, для г-компонент, перпендикулярных плоскости, на которой 709. Отраекение от прямоугольной потенциальной ступеньки 253 потенциал испытывает скачок, имеем Се+1)е .
ае+)Р. (209.10) Ч" 1+Ч~соь О" Ег+Ре . Ч" 1+не соь О" рь+аь . 1+Ч г Ч соь () ~о+И~ 1~ Ч 1+и г соо () 4 Пользуясь далее обозначениями (208.7), легко показать, что Ч" 1+Чг соь (У' 1 1 — дг Ч 1+и"е соо д еь 1 — р' и, следовательно, 1 — де р'+а' й= — — ! ° 1 — р 4к (209.11) Комбинируя соотношения (209.10) и (209.11) с соотношениями (209.8) и (209.9), находим — !в 4Х (! — ре) (1 — Ое) ) "= [ ' '1" ~! 4й(1 — рь) (1 — уь) .
!е а )е (209. 12) В случае нормального падения (р= 0, д О) коэффициент отражения имеет особенно простой вид: (й — !)ь (Х+!)ь ' (209.15) где Ь определяется по формуле (209.6). Из последних соотношений сразу же следует уравнение непрерывности 1.+1;=1, Отсюда же для коэффициента отражения получаем 4)ь (1 — рь) (1 — Оь) (209.14) Л УП.
Теория излучения Задача 2!О. Квантование шредингеровского волнового поля Записав подходящим образом энергию, импульс и электрический заряд шредингеровского волнового поля в свободном пространстве, обсудить процедуру квантования этого поля всоответствии со статистикой Бозе и статистикой Ферми. (210.1) Р= —, ) ф* у~ф*к й и (210. 2) () = е ~ ф э ~хрх. (210. 3) Здесь т и е следует рассматривать как феноменологические параметры, которые пока еще никак не связаны с физическими массами и зарядами частиц. Как мы знаем, шредингеровское поле должно удовлетворять двум сопряженным волновым уравнениям Йд) дл р Яф д! 2т Вд$" Ф рйф э д! 2т Частные решения этих уравнений имеют вид плоских волн, кото- рые мы нормируем, вводя куб периодичности произвольного обьема 7".
Тогда общее решение можно записать следующим образом: ф(я, !) = рз-ча,у где' и т-"О, (210. 5) Решение. Будем рассматривать уравнение Шредингера для свободной частицы в качестве уравнения для классического волнового поля ф, которое, таким образом, представляет собой скалярную функцию пространственных координат и времени. Если пользоваться обычной нормировкой, то энергия, импульс и электрический заряд этого поля определяются соответственно (см. задачи 3 и 5) следующими интегральными выражениями: а ~ з Ю' = — — ') ф * 7'ф д'х, причем закон дисперсии, согласно (210.4), имеет вид Вг»в !зго = — . 2т (2! 0.6) Если теперь общее решение (2!0.5) подставить в выражения (210.1) — (210.3) и воспользоваться условием ортонормированности плоских волн, д(', < -»з'бг,=б»» уо то нетрудно показать„что Г -й — ~" йгс»с», Р =,Я~ ггггс»с», 1~ = е,~~~ с,с, .
(210.7) Теперь мы приступаем к квантованию развитой выше классической теории. Волновую функцию ф заменяем оператором ф, действующим на гнльбертовы векторы состояний у в пространстве числа частиц. Такой же смысл имеют теперь н коэффициенты Фурье с», фигурирующие в разложении (210.5). При этом операторы с» и эрмитово сопряженные с ними операторы с» необходимо подобрать таким образом, чтобы собственные значения произведения с»с» были целыми числами, а именно: При таком подходе все три выражения (210.7) также представ- ляют собой операторы.
Их собственные значения определяются формулами Ьг»г Е»= —, от Р» =ггй; Этот набор собственных значений описывает состояния системы невзаимодействующих частиц, из которых Ж» находятся в состоянии гв и соответственно имеют энергию Е», импульс Р» и заряд е. Чтобы квантование приводило к требуемым собственным значениям (210.8), операторы с» и с~» должны удовлетворять следую- Зтд.
Квантования игргдинггргвгкого во»нового но»я Ж» =О, 1, 2, ... в случае статистики Бозе, Ж» = О, 1 в случае статистики Ферми. 17 =,У~ )У» Е», Р =,2»1»Р», 9 =Е~гУ». (210.9а) (210.95) (210.9в) 236 УП. Теория излучения щим перестановочным соотношениям ": [ сз, ез) =сиса — с„сз =бзз в случае статистики Бозе, Е1 1 ! 1.—= еа, са 1+ — = езеа + са сз = бзз в случае статистики Ферми. Отсюда, как нетрудно проверить, следует, что перестановочные соотношения для волновых операторов должны иметь вид [Р(г !) фг(г !))е ~ ~ )еа сз) есс» -а 1 — сси-изс 1 1 ~р 'гз л = — ь епьс' гч =6(г — с"). (210.11) Задача 211.
Рассеяние в борновском приближении Примените развитую выше теорию квантования шредингеровского волнового поля к задаче об упругом рассеянии частиц на сфер ически симметричном потенциале У (г). )Р = ~ ф)Уфс)зх. (211.1) Если ограничиться первым приближением, то вместо тр и ф! мы можем подставить в оператор ))г' суперпозицию плоских волн (210.5). Таким образом имеем ))г' = — ~' '~' с~~ел ') У(г) е'са-зс' е'<и'- !с с)зх.
(211.2) — Ь 2.2 "'' Интеграл (211,2) хорошо нам знаком по борновской теории рассеяния (см. задачу 105). Вводя здесь, как обычно, переданный импульс сс — й' =К, (211. 3) и В этой главе мы пользуемся обозначением )а, Ь) =аЬ вЂ” Ьа, китовое отличается множителем 14 от обозначения, принятого в гл. !. с В задаче 31 было показано, что в случае статистики Бозе форс)улы для собственных значений (2!0.8) действительно являются следствиями перестановочных соотношений (210.!О). Метод, использованный в задаче 31, применим и в случае статистики Ферми. Решение. Пусть квантованное свободное поле, рассмотренное в предыдущей задаче, возмущается потенциалом У(г). Это значит, что к гамильтониану поля В' мы должны добавить оператор энергии возмущения 2П. Расс»пни» в бор»овском приближении 2зт получаем <А'!)с)Ф>= ~ )с(г)ес" ес(ех=4п ! гее'(г) — с(г (211.4) с<с (заметьте, что это выражение имеет размерность эрг см") и, следовательно, Цг'= р! ЕХФ'с»<)1'Р)й>вс'"' — еле.
(211.5) Перейдем теперь к описанию процесса рассеяния. Начальное состояние квантованного поля характеризуется тем, что имеется лищь одна частица в состоянии Ф„а все другие одночастичиые состояния не заняты. Такое состояние поля описывается гильбертовым вектором Х,=!О... 1,..О,,...>. (211.6а) Конечное состояние поля характеризуется тем, что имеется одна- единственная частица в состоянии йт, поэтому Хт= ~ О ° ° 0», ° ° ° 1» ° ° ° >. Чтобы найти вероятность перехода между этими двумя состояниями, мы должны вычислить матричный элемент <хт ~ йг' ! хс>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
