Fluegge-2 (1185101), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси е; 2!7 20П Центральные силы в теории Дирала который в стандартном представлении имеет вид Лглее имеем 7э=(,,) ° '=-(~') (1+7э) Фч =0 (1 — 7э) эР+ 2эР+. то получим (лУ0.12а) Лействие же этих операторов на решения уравнения (200.9) с э= — 1, т. е. на решения вида дает (!+7э) Р =29, (1 — 7,) Р -а. (200. 12б) В силу полученных результатов мы не можем решить, реализуются ли в природе по каккм-то неизвестным причинам только одни состояния эр или же оператор взаимодействия, ответственный эа рождение нейтрино, содержит множитель (1-1-7,), так что рождение нейтрино с д=! становится невозможным.
В заключение надо отметить, что оператор (1+та) не коммутирует с оператором пространственной инверсии, и в таких взаимодействиях пространственная четность не сохраняется. Задача 201. Центральные силы в теории Дарана Дираковская частица помещена в сферически симметричное поле (7(г). Воспользовавшись тем, что в стандартном представлении уравнение Дирака расщепляется на пару двухкомпонентных уравнений (задача 200), найти собственные спиноры дира. ковского гамильтониана, которые одновременно являются общими собственными спинорами операторов им и 7,.
При расчетах можно ограничиться случаем гп) +'/,. Решение. Согласно (200.7), уравнение Дирака, записанное в расщепленной форме, имеет вид э ~я~, д „„. — р (е) — гпс', (201. 1) 1 ю эаг)лт)уа ! Фь == 0~ а=! с Если подействовать этими операторами на любое решение уравнения (200,9) с к=+ 1, т. е. на решение вида 'е'д Релятивистское иравкекие дерека 2!8 где з„(а=1, 2, 3) — матрицы Паули, а двухкомпонентные спиноры ер, и ере связаны с дираковскнм спинором соотношением =(~:) (201.
2) В стандартном представлении операторы компонент полного момента, определенного соотношением Л ,/=Ь+ — а, действуя на дираковскнй спинор, не смешивают две его первые компоненты ф, с двумя другими его компонентами ерм Это связано с тем, что в стандартном представлении спиновые четырехрядные матрицы, записанные через матрицы Наули, имеют диагональную форму Таким образом, если двухкомпонентные спиноры ер, н ере являются собственными спинорами операторов Р и /„то этим же свойством будет обладать и 4-спинор ер, определенный соотношением (20! .2). Ранее, в задаче 133, нами были найдены двухкомпонентные собственные спиноры и,, операторов ее н в'„ принадлежащие собственным значениЯм )е= 1-~ '/, и епр= + '~.,: и =иь; ),-ч,(е) ( г' 1+ '/е ) с-ч„, а ) )Р27 ) — 1'7 — '7, )'с, ~,е' (201.
За) ,() Ф'1 ис /+ lе Р 21+1 (,)с 1-1-1 У',/ 8,„,,() (гр'1+ ~, У,.„„,') У20+!) ~ч)е 1'+ е/е )еиее~„е1 (20!.Зб) (201. 4а) Попытаемся найти решение нашей задачи, комбинируя спиноры двух указанных типов: 219 201. Центракьные еивы в теории Дарана (201.46) Вопрос о нормировке радиальных функций ! (г) и д(г), которая может быть различной для решений (201.4а) и (201.4б), пока оставим открытым. Чтобы выполнить намеченную программу, необходимо, согласно (202.1), рассмотреть выражение з Виь "= ~ анд„иь "=- ~ . й) иь ".
(20!.5) ~,дк + од„ вЂ” д, ) Пользуясь известными формулами „Г(! -ь т+2) (1 т т-1-1) ~(до ~ (д„) (Р(е)У, и) = 3~ (21+а)(21+1) Х о Г(1 е и') И .е т — 1) ( ~)~+ ° "+ )' 1+1)(2 Х Х(Р'+ — Р) )ке у ко (201.6а) . Г(1+т+1) (1 — т+ 1) д (Р (г) ~ о и) = Ф' (21+ з) (21+ 1) ( е )~еььи+ )оГ (21 ( 1)(21 1)( + . )~о оно (201.6б) после несколько утомительных, но вполне элементарных преоб- разований выражений 1 ()Г!+1дк УА. о) — )Г! (д.
— (ди) (У'ь ) ) 1 )Г1+ 1 (до + 'д ) ()А, о) + У! дк ЧоУь ) е( и 1 ( $ ! дк(((оУ'но)+)Г(+1(д~ — (ди) (Яе)'ь о) )' 21+ 1 '~$ ! (д~+ (ди) (дА. о) — )Г(+ 1 д (ПоУн ь)е( в случае 1=!+'/о получаем ~'2(!+~) ' ' ' * ~)Г)-+ (, )'1,и П. Рееитиеисаикае ураеиеиие Дерека = —. ( Е) -н. + —, к)+ б ) ~ Попытаемся сначала удовлетворить системе уравнений (201.!), подставляя туда выражение (201.4а): яип — 1 и'=0 . Š— й — тсе Лс 5и' — 1 ив=О, . Š— )Г+те' ьс Взяв далее для и' и ип выражения (201.3а) и (201.36), а для Зи' и Яин выражения (201.7а) и (201.76) и подставив в левые части уравнений (201.8), получаем (для простоты опускаем индексы у радиальных функций 1 н д) 5пп — 1 и' . Š— Р— тсе ас .
Š— )с+те' и ЪИ' — 1 ив= ас Оба выражения обращаются в нуль, если радиальные функции 7(г) и д(г) удовлетворяют системе дифференциальных уравне- ний я'+ — 'и — с 7'= О, )+е), . Š— )' 1с) — тсе с Йс 1 — 9, ) . Š— 1/(с)+тс~ Фс (201.9а) Для решений второго типа (201.46) аналогичным путем получаются уравнения, которые совпадают по форме с уравнениями (201.8), однако в них на месте спинора и' стоит спннор ип и наоборот, а также в каждом изменен знак перед членом епс' на обратный. Таким образом, с помощью тех же выкладок, что и раньше, вместо системы дифференпиальных уравнений (201.9а) Если же 1'=1 — ')„то результат имеет вид )с-е, е ) 1 с-ь ес ~' е ~. (201.76) У; п,,,с 221 202.
Проблема Кеплера е теории Дираеа получаем систему И+, Š— 1 , +)+з!з Е Р(с)+таз ьс à — ' / — 0, . Š— )с(с) — тс' с пс а=о. (201.96) Задача 202. Проблема Кеплера в теории Дирака Результаты предыдущей задачи применить в частном случае сферически симметричного потенциала 1'(г) = — —, (202. 1) и найти допустимые значения энергии частицы. Решение. Как было показано в предыдущей задаче, определение допустимых значений энергии дираковской частицы в общем случае центральных сил сводится к решению систем дифференциальных уравнений (201.9а) и (201.96), которым обязаны удовлетворять радиальные части волновых функций. Мы начнем с системы (201.9а).
Вводя обозначения хез г )зт (величина (), как правило, мала) и )з тсз — Е ! тсз+ Е Ьс )за Фс или р = —,, а = ', (202.3) йс тс + Е Гс(тсз — Е) (тел+ Е) систему дифференциальных уравнений (201.9а) в частном сл)чае Решая по отдельности системы уравнений (201.9а) и (201.96), мы для любого заданного потенциала )с (г) находим полное решение сформулированной выше задачи. Так как функции 1 и д определенным образом связаны между собой, то, следовательно, связаны между собой н их относительные нормировки.
Необходимо подчеркнуть, что в отличие от нерелятивистской теории спина компоненты дираковского 4-спинора характеризуются различными значениями 1, поэтому в релятивистской теории квантовое число ) больше не является хорошим квантовым числом, хотя квантовые числа 1 и т~ и теперь, разумеется, хорошие квантовые числа.
уд Релятивистское уравнение дирока потенциала (202.!) можно записать в виде д'+ ад+/ ( — — — ~/=О, /+'/э г (и гг /' — ', '/ — 1( —,+ ~, )у=0. (202.4) Решением этой системы мы и займемся. Прежде всего выясним, как ведут себя функции / и и при очень больших и очень малых значениях г. В пределе г — со система уравнений (202.4) принимает вид , !Н ! Ы'+ — /.= О, /' — — й= О. и Но Нормируемые решения этой системы уравнений имеют форму я=Се ша, /= — С вЂ” е и Что же касается решений, пропорциональных с+с!а, то рассматривать их нет необходимости.
С другой стороны, в предельном случае г-и-~0 регулярные решения, как можко ожидать, имеют вид й= Аг'-', /= Вгв-'. (202.6) (202.7) Складывая и вычитая эти уравнения и полагая затем 6+Р=о(г), 6 — Р=иг(г), (202.8) Подставляя приведенные выражения в (202.4), получаем (в — 1)А+(!+ — ) А — 1РВ=О, 3 т 2) 1Д (в-!)  — (/ — — )  — !РА=О. 2) Требуя обращения в нуль определителя последней системы уравнений, находим )г ( +2) Комбинируя теперь эти результаты, целесообразно положить и = Сга ' е '/в 6 (г), /= — — Сга-'е-Н'Р (г). н Подстановка последних выражений в (202,4) приводит и сле- дующей системе дифференциальных уравнений: 202, Проблема Кеплера в теории Дироле 22З получаем (202.
11) + г ( +~)г' 5+р т (202.9) цг -1- (ив р — — 1пв= — (!е — 9) —, а/ причем выше мы ввели обозначения р= 2 ()и — — ), д= 2 ((л+ — ), я=!'+ 2 . (202.10) Согласно первому из уравнений (202.9), имеем = — — '[ '+(з+р)о1, а+о цг = — — [го" +(з+ р+ 1) о'1. а+о Подставляя зти выражения во второе уравнение системы (202.9), приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению вто- рого порядка для функции о: го" + ~(2з+!) — г1 о' — — (з+ р) о = О. (202.12) Уравнение (202.12) — зто уравнение Куммера, а его регулярное в нуле, но произвольно нормированное решение представляет собой вырожденную гипергеометрическую функцию о=,р,(з+р, 2з+1; 2 — ). (202.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
