Fluegge-2 (1185101), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Да- лее с помощью соотношений (189.6) находим вс,+в с, О )'2Ан 7нуе + 7е7» =-1 =(,О О = 26он (189.9а) Для первых трех матриц 7„из соотношения (189.96) получаем А„=О, Он=О, а из соотношения (189.9а) следует В„С, = 1; В С„+ С,В; = О. (189.!0) Перестановочные соотношения, полученные для рассматриваемых двухрядных матриц, позволяют выразить их через матрицы Паули он (см. задачу 129).
Если а и Ь вЂ” обычные числа, то соотно- Последнее соотношение будет идентично соотношению (189 А) в том и только в том случае, если в двойной сумме отличны от нуля лишь одни должным образом нормированные диагональные члены, а именно если УС Релятивистское уравнение 2(ирака 190 шениям (189.10) будут удовлетворять матрицы вида В» = ао«, С» = Ьо«, а(з = 1.
(189.11) Таким образом, всякое представление типа (з О у = О у (189.19) обязано удовлетворять перестаиовочным соотношениям (189.6). Стандартное представление, часто используемое в дальнейших задачах, получается отсюда при б=г и имеет вид 0 0 О 0 0 уз 0 Замечание, Если положить а=а=1, то вместо трех матриц у мы полу. чнм матрицы а»=( «) (18934) оии вместе с матрицей те ~() удовлетворяют тем же самым перестановочным соотношениям.
Лва указанных набора матриц связаны между собой соотношениями у»= — 1!)<"«' ' уз=р. (189.15) Матрицы а используются в дираковском гамильтоннане (см. задачу 200). Задача !90. Плоские волны Дирака с положительной энергией Для случая положительной энергии найти в стандартном представлении спинориые амплитуды дираковских плоских волн, отвечающие как положительной, так и отрицательной спираль- ности.
Решение. Полагая ЗР— 1 Еа(».г-ва) (190.!) и пользуясь стандартным представлением (189.13), для определения четырех компонент амплитуды С получаем систему урав- 0 0 0 — 1' 0 0 0 0 0 О 0 — 1 0 0 0 0 0 Π— 1 0 0 0 0 0 0 0 ! 0 ! 0 — 1 0 О 1 0 0 0 1 0 0 0 — ! 0 0 0 — 1 0 0 0 (189.13) 0 0 — 1 190.
Левские волна Дирака с положительной енереией 19! пений (й„— !йи) Се+йеСе+( — +х) С,=О, (й„+ !й„) С,— й,С, + ( — — + х) С, =-О, — (й„— (йи) С вЂ” й С, 1- ( — + х) Се = О, — (й„+ !йи) С,+й,С,+( ~ +х) С, =О. (190.2) С помощью соотношений йе) = — — х, — = — +х сс й си (190.9) с ' . ч с введем далее параметр ть через который удобно выражаются важнейшие физические величины, характеризующие движение частицы. Например, импульс частицы, ее кинетическая энергия и ее скорость соответственно имеют вид р= Ьй=тс —,, 2ч 1 — Че ' , 1+ч' Е =асс =тс' —,, 1 — Че' о=с, (190.
4 в) 1+Че ' Кроме того, полезно ввести сферические углы д и ~р, характе- ризующие направление вектора й: й„~!й„= й з!п де~'и, й, = й соз д. В новых обозначениях система уравнений (!90.2) запишется в виде (190.4а) (190.46) (190.5) з!и де осС„-! соз дС, — е!С, = О, з!п десиСе — соз дС, — т!С, = О, — з1п де-"с С вЂ” соз дС, + — С, = О, 1 е и — з!пдееиС, + создС, + — С, = О, 1 (190.б) Таким образом, для определения четырех величин С„мы имеем систему четырех линейных однородных уравнений. Как нетрудно убедиться, определитель этой системы обращается в нуль, однако прн этом он распадается на два сомножителя, каждый из которых по отдельности равен нулю.
Отсюда следует, что все четыре величины С„невозможно выразить через какую-нибудь одну из них — две любые величины Си могут быть выбраны произвольным образом. Чтобы сделать этот выбор однозначным, мы воспользуемся следующим методом. И. Релятивистское уравнение дарана 192 Прежде всего найдем собственные функции оператора спнральности и ки ! Е О1Ф:, (190.7) / он представляет собой оператор „проекции спина на направление вектора Ф'. Так как в стандартном представлении спиновые матрицы выражаются через одноименные двухрядные матрицы Паули з1 в виде (190.8) Обозначим собственное значение оператора спиральности через Ь, тогда уравнение для собственных значений (1С = ЬС разобьется на пару уравнений, связывающих величины С, и С,: С, сов О+ С, в!п Ое- 'а = ЬСо С,в(п Ое'е — С,сов д=ЬС,, и такую же пару уравнений, связывающих величины С, н С,, Определитель системы (190.9) обращается в нуль при условии Ь=-Ь1, поэтому мы имеем два решения.
1) Ь= +1 (спин параллелен вектору Ф): С,= 1д-еаеС„Се=1ц —,, есаСе (190.10) д д и 2) Ь= — 1 (спин антипараллелен вектору 7е): С, = — с1я' — еаеС„С, = — с1ц — еие С,. д д (190.11) Что касается величин С, и С„то их выбор все еще произволен. Подставим найденные результаты в систему уравнений (190.6).
С учетом элементарных тождеств в!п О 1п —, + сов О = 1, д д д в!п Π— сов д 1д —,= 1и —, 2 2 ' в1п Ос(ц — — сов О = 1, ° д 2 в1п О+ сов Ос1ц —, = с!и— д д 2 то в силу определения (190.7) соз О в)и Ое-ее з!и Оеее — сов О 0 0 0 0 получаем 0 0 сов О в!и Оеие 0 0 в!и Ое-се — сов О !90, Плоские валлы Дирака с полоагитаэьной энергией 193 при й=-(- 1 при !т = — 1. ~ трет(н('х= ~ Ст СгРх= 1, (190.14) д Ф соз — е 2 О Ф з!п — е ' 2 (190.15) при Ь=+ 1, ! 6 збп — е 2 С ! Р" Р (1+ ч') при Ь= — 1. (190.1б) ! д т(соз — е ' 2 Замечание. Как следует из соотношения (190.4в), нерелятивистский случай полу !ается при Ч (< 1.
Если выполнено указанное неравенство, то компонентами фа н ф спинора можно пренебречь и вернуться тем самым к двукком. понентной теории спина Паули. " Следует подчеркнуть, что условие нормировки лоренц-инвариантно, поскольку фигурирующий а нем интеграл пропорционален полному злектри. чесному заряду, заключенному в объеме (г. Часто используется и другая лоренц-инвариантная нормировка: фф= 1. из (190.б) получаем Ст= ПС, и С,= — ЧС, Если теперь воспользоваться условием нормировки " то спинорные амплитуды примут вид ! д т( соз — е 2 д 'Р т!з)п — е' 2 д е — соз — ез 2 (т те — т! з!и — е 2 (190.
12) (190.!3) И. Релятивистские уравнение Дирака Задача 191. Трансформационные свойства дираковских спиноров Выяснить, как преобразуется спинор ф при бесконечно малых преобразованиях Лоренца. Решение. Еесконечно малое преобразование Лоренца записывается в виде хи = хр+2~ эриха, ерр —— — вар, | аре( (( 1, (191,1) а причем компоненты зя,— действитвльные величины, а компоненты е»,— чисто мнимые. Уравнение Дирака ~ ур)арф+ иф = О (191. 2) в результате этого преобразования принимает внд 2 урЦф'+иф =О, (191,2а) причем коэффициенты т и и остаются неизменными. Операторы Ор являются компонентами 4-вектора и преобразуются по тому же самому закону (191.1), что и координаты: )Ор = 1-'р+ Х зраОа. (191.3) а Закон преобразования волновой функции ф можно записать в виде ф' =(1+$) ф, (19 1.4) где бесконечно малая величина $ линейна по ерр и представляет собой некоторое клиффордово число.
Рассмотрим уравнение (191,2а) и подставим туда вместо 0„ и ф' соответственно выражения (191.3) и (191.4): ~е Ур ( Ор + ~ли ~арейа ) ( 1 + ~) ф+ (1 + еи) иф = О. Если умножить полученное уравнение почленно слева иа величину (1 — $), то последнее слагаемое станет равным иф, т. е.
перейдет в последнее слагаемое уравнения (191.2). Следовательно, оператор $ мы должны выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство Х(! — рур(Вр+Хзраве')(!+Вф= Хурорф. (!91.3) р а / р Пренебрегая всеми величинами второго порядка малости, находим Х (Урэ ьтр ) Ор1у+ Х Х зраун0еф =О. р р а 19Н Ларенцевве наварианты |95 Меняя далее в двойной сумме немые индексы р и р друг на друга и обозначая затем индекс р через т, получаем Х ((7и| — $7и) — Хза,ув~ 0иф=б. Так как предполагается, что это соотношение должно иметь место при произвольном ф, то в нуль должен обращаться каждый член суммы по р в отдельности 7и~-$7и = Хеи.у' (191.6) Единственное клиффордово число, линейное относительно величин зи, и удовлетворяющее всем этим четыремсоотношениям, имеет вид $ = — Х Х е ра7Р 7а .
(191.7) В этом нетрудно убедиться путем непосредственного вычисления перестановочных соотношений (191.6). Мы имеем 7иэ ауи = — Х йе эра (7и7руа — 7Р7а7и) ! 4 р Учитывая далее, что 7р уа 7и = 7р ( 7иуа + 26|и|) = (7и'ур — 2бир) 7а + 27р биа и что, следовательно, 7и7р 7а 7р 7а 7и — — 2 (уа бир — 7р биа) > получаем ! ч-> ч-с 7ииа иауиии а ~„~ вра (7а бар — абио) = р о |>'тр = з .е Риауо — ~~'.и еоиур ~= ~ зиауа > о Р I » т.
е. справедливость формулы (!91.7) доказана. Таким образом, дираковский спинор |р преобразуется по закону Ф' = ф+ —,' ~~'„,'~'„ероуру.ф. (191.8) о о Задача 192. Лореицевы коварианты Пусть à — один из 16 базисных элементов клиффордовой алгебры. Выяснить, какие можно построить лоренцевы коварианты вида 6=$ГФ, Ж= рв74. (192,1) У1. Релнтиеиаиекое ураенение Дарана !зб Решение. 16 базисных элементов рассматриваемой алгебры можно разбить на пять групп: 1. 1; 2 71 71. 73 74' 7171 7Лз 7Лз 717з 7174 7з71' 4 7,7з74 717171 717171, 7Л171' 5 71717374 Ниже для каждой из этих групп в отдельности мы будем конструировать билинейные формы вида (192,!).
Прежде чем приступить к выполнению намеченной программы, исследуем трансформационные свойства какой-нибудь одной из величин (192.1) относительно бесконечно малого преобразования Лоренца хи=хи+ ~еирх . з (192.3) В предыдущей задаче было показано, что закон преобразования волновой функции ф имеет вид ф'=(1+$) ф, (192. 4а) где 4 ~ Е~~ ~и~ ! е е 7и$ — $7и = Хе .7' (192,4б) Величина О преобразуется по закону О =ф'у,гф =ф (1+Р)7,Г(1+Рф, поэтому формально можно написать 6'=фГ'ф, Г'=7,(!+~!) 7,Г(1+из).
(192.5) $е 7,— 7Де = ~~'„е1е71, з так как 7, = 7,. Далее, углы позоре~а е,„— чисто мнимые ее- личины, поэтому е,'з= — е,„и, следовательно, 716~ 6' 71 = -'- езз7з з Последнее выражение допускает дальнейшие упрощения, однако для этого надо более детально познакомиться со свойствами эрмитово сопряженного оператора с! . Согласно соотношению (!92.4б), этот оператор должен удовлетворять перестановочному соотноп.ению вида 19К Лорекяева ксвариавты 197 Таким образом, имеем уДту,=у,(у,91 — ~~'.,е,,у )=51 — ~е„у ул (192 6) Кроме того, из соотношения (192.4б) при ец=в„, (действительные вращения в 3-мерном пространстве) вытекает 1 1 4 ЕЕ тУ"У~ 2 Х л ! 4 и, следовательно, эрмитово сопряженный оператор Р можно записать в виде 1 ! 91 4 ~ ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
