Fluegge-2 (1185101), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Релятивистское уравнение Дарана Следовательно, функция тр не может быть общей собственной функцией обоих указанных операторов '>. б. В стандартном представлении соотношение (195.2), если его расписать по компонентам, дает (195.2а) Отсюда, вводя обозначения ы д — +х= —, с ч ' м — — х=йч, с (195.3а) (195.4) получаем С, = — чС,. С,=чС„ С другой стороны, задача на собственные значения ояс=Х.С, (195.5) где Х вЂ собственн значение, если перейти к компонентной записи дает с, = ) С,1 с, Хс, (195.ба) (195.6б) С, =Хс„ С, = с.с,.
Обе пары уравнений удовлетворяются только в том случае, если Х= ~1. Пользуясь далее уравнениями (195.5), можно исключить компоненты С, и С, из уравнений (195.4). В результате получаем два соотношения с„= чс, и ХС, = — час„ г1 П общем случае такой вывод неправомерен, так как соответствующая теорема утверждает лишь, что у некоммутирующнх операторов нет оби!ей системы собственных функций, хотя отдельные общие собственные функции вполне могут быть.— прим. рсд.
0 оС= 1 О 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 +х)с,=о, +х)С,=О, +х) С,=О, +х) С, =О. )С, )С, Хс, Хс, )Рд. Среднее эначение саина 266 которые противоречат одно другому. Следовательно, спинор С, удовлетворяющий уравнениям (195.4), не может одновременно удовлетворять уравнениям (! 95.6). ЗаиэниииЕ. В НЕрЕЛятнннетСКОМ ПрЕдЕЛЕ (Ч -ч.
О) КОМПОНЕитЫ Са И СЕ, а вместе с ними и вторая нара уравнений (196.В) выпадают иа рассмотрения, и противоречие устраняется. Задача 196. Среднее значение спина Вычислить среднее значение оператора о„ в состоянии, которое описывается суперпозицией двух плоских волн, распространяющихся в направлении оси г и имеющих противоположные спиральности.
Решение. С помощью спинорных амплитуд (см. выражения (190.15) и (190.16), в которых в данном случае необходимо положить 6 = О! отвечающих соответственно положительной и отрицательной спиральностям, мы сконструируем амплитуду смешанного состояния С = С~ соз пеев+С зйп ае-ев, (196, 2) удовлетворяющую прежнему условию нормировки ) Ст С с("х = 1. (196. 3) Выше се и 6 — произвольные действительные постоянные. Среднее значение оператора о„определяется по формуле <о„> = ) Се о„С!(ах. (196.4) Учитывая, что 0 — 1 У У (1+ т)') о,С т) !) 0 УУ(1+ и ) о„с, =- получаем Сто„С,=О, 1 1 — т)е С оС 1 С 1 0 Уъ (! + Чч) Ч 0 0 и С = —, (!961) УУ(1+ч') 0 т) И. Релятивистское уравнение Дорона 206 Отсюда имеем <о >= — сон а 61п а (е'еа+е-"а) х 1+ЧЯ ' или <ох> = — 91п 2а соз 2~) —, (196,5) Таким образом, абсолютная величина среднего значения оператора ох оказывается всегда меньше 1.
В ультрарелятивистском случае, когда параметр э) приближается к единице, среднее значение <о„> стремится к нулю, так что волна оказывается почти полностью поляризованной параллельно или антипараллельно направлению распространения ". С другой стороны, в нерелятивистском случае, когда параметр Ч очень мал, становится возможной и поляризация в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Действительно, для значений р = 0 и а = ~ и/4 в этом предельном случае получаем <о„> = ~1. Задача 197. Алгебраические свойства волнового спинора Днрака Дираковская частица помещена в поле с потенциалом 1'(г).
Волновой спинор, описывающий состояние частицы, в котором ее спин направлен либо параллельно, либо антипараллельно оси г, можно считать не зависящим от координат х и у (одномерная задача). Рассмотреть движение частицы, пользуясь, насколько это возможно, клиффордовой алгеброй, не обращаясь к конкретным матричным представлениям. Показать, что задача сводится к нахождению четырех функций переменной г, удовлетворяющих некоторой системе дифференциальных уравнений. Выяснить, каким образом упомянутые функции связаны с компонентами волновой функции в стандартном представлении. Решение. Волновой спинор можно записать в виде ф(г, 1) =е-'лихи(г), (197, 1) где спинор и(г) удовлетворяет одномерному уравнению Дирака 7,— +уЯ(г) и+хи=О, Я (г)= (е) .
(197,2) Конструкция выражения, стоящего в левой части этого уравнения, такова, что оно целиком содержится в подтеле, базисными элементами которого являются клиффордовы числа 1, у„ у„ 7,7„ " Более подробный анализ спиновык свойств электрона см., например, в книге: Соколов А. А., Тернов Н. М., Релятивистский электрон, изд-во „Наука", М., 1974, стр. 192 — 196.— Прим. ред. 797. йлгвораиивснив свойства волнового снинора Дарана 207 поэтому решением уравнения должен быть спинор вида о(г)=А(г)+В(г)у,+С(г)у,-!-лл(г)у,у,. (197.3) Разумеется, если и — решение уравнения Днрака (!97.2), то решением будет и любой спинор и=-оГ, (197.4) где à — произвольное, не зависящее от г клиффордово число, в частности любой элемент клиффордовой алгебры, образованный с помощью базисных элементов у, и у,.
Далее, очевидно, что спинор о коммутирует со спиновым оператором ов = — 17,7„ (197.5) хотя и не является собственным спинором этого оператора. Обобщенное выражение (197.4) позволяет сделать решение уравнения Дирака собственным спииором оператора о,. Мы имеем о,и =- олиГ = ио, Г. Поэтому, если Г есть некоторый собственный спинор оператора о„ о,Г=-~ Г, (Г97.5) то мы получаем (197.7) Собственные значения +1 и — 1 называются спиральностью (см. задачу 190). Далее нетрудно убедиться, что Г = 1 — 17,7, = 1 + о, Г = 1 -!- 17,7, = 1 †(197.8б) представляют собой собственные спиноры оператора о„принад- лежащие соответственно собственным значениям +1 и — 1.
Действительно, о~Г = ол (1 ~ о,) = и, ~ ! = ~ (1 -Е о,) = ч- Г Таким образом, имеем и (г) = о (г) (1~(у,у,), (197.9) где спинор и(г) еще необходимо определить путем подстановки выражения (197.3) в уравнение Дирака (!97.2). Несложные вы- числения дают (В'+ ЯС+ хА)+ у, (А' — Я 0+ хВ) + у, (О'+ Я А + хС) + + увув (С вЂ” Я В+ хО) = О, (197.10) причем выше штрих означает дифференцирование по переменной г.
Выражение, фигурирующее в левой части равенства (197.10), обращается в нуль в том н только в том случае, когда обраща- ются в нуль все четыре выражения, стоя цие в круглых скобках. 'е'е. Релатаваетенае аравненае Дарана (В+Р)'+(х+Я)(А+С)=О, (А+С)'+(х — Я) (В+Р) =О. (197,126) Мы видим, что первая пара уравнений полученнои системы содержит лишь две неизвестные функции, 1 ! ев,= ~ ( — Р), н~е= — (А — С).
Во второй паре уравнений содержатся также только две неизвестные функции ие = — (А + С), еве = 2 (В + Р), (197.136) Подставляя полученные результаты в выражение (197.3), окончательно находим п(г) =(еве+нееуе)(1+уе)+(еее+нееуе) (1 — у,). (197.!4) Если функции ева удовлетворяют уравнениям (197.12а) и (197.126), то оба члена, фигурирующие в правой части выражения (197.!4), порознь удовлетворяют уравнению Дирака (197.2). Умножая каждый из этих членов справа на Г или на Г (см.
выражения (!97.8а) и (197.86)), получаем решения уравнения Днрака, которые одновременно являются собственными спинорами оператора о,. В заключение остается показать, каким образом функции ша связаны с компонентами и волновой функции в стандартном представлении. Пользуясь стандартным представлением, уравне- ние Дирака (197.2) можно расписать по компонентам: — !и,'+ Я+и) и,=О, еи,'+(Я +х) и, = О, (197.!5) еи', +(х — Я) и,=О, — (и',+(х — Я) и,=О. Сравнивая эту систему уравнений с системой уравнений (197.12а)— Отсюда следует, что четыре функции А, В, С, Р удовлетворяют системе дифференциальных уравнений: В'+ЯС+хА=О, А' — (еР+хВ=О, Р'+ Я А +хС = О, С' — ЯВ+ хР = О. Комбинируя эти уравнения, можно преобразовать систему к более простому виду: ( — Р)' -1-(х — Я) (А — С) = О, (А — С)'+(х-1- Я) ( — Р) =О (197.12а) аул. Плотность тока в олевбраическоа формулировке 20з (197.!26), находим (197.
16) (197.17) на= аав„ иа = аав„ и, =ав„ А= — 1(и,+и,), С= — а (и,— и,), В=и,+и„ В=и — и. а 1' В случае и,=на=О спиральность равна +1, если же и, =и„=О, то спиральность равна — 1. Задача 198. Плотность тока в алгебраической формулировке Получить выражения для компонент вектора плотности электрического тока в случае состояния, описываемого собственным спинором и (г) = (па, + паау„) (1 — уа) (1 — !у,уа), (198,1) зи=(есиуии, и=и!Та В нашем случае ит = (1 — (уауа) (1 — уа) (ара' + ава'уа), (198.2) (198.3) так как клиффордовы числа ау,у„у„у, представляют собой эрмитовы операторы, Таким образом, имеем з„= аес (1 — ауауа) (1 — у,) (па,'+ ар,'у,) х х уауи (иаа + иаауа) (1 уа) (1 — ауауа) (198.4) Рассматривая компоненты з, и з„удобно переместить клнффордово число у на два места вправо, а клиффордово чнслоу,— на одно место влево: за,а = асс (1 (уауа) (уа 1) (авз аэа*уа) х х( .— .7.)(1+у) у„,(! — '77.).
Олсратор 1 — (у,у, коммутирует как с оператором у„так и с оператором у„поэтому з, а = асс (у, — 1) (( ) ао, /а + ! ш, (') — (ао,"ао, + ао,'ш) у,) (1+ у,) х Х [1 — аУ~У~) Уа (1 — ат~уа). Для компоненты с р = 1 произведение трех последних множителей записывается в виде (1 — !уауа) (у, — ! уа) = у, + ау, — ау, — у, = О. найденным в предыдущей задаче.
Решение. Компоненты 4-вектора плотности электрического тока определяются выражениями у!. Реяятивиеязекае уравнение дирака е10 Аналогично для компоненты с (з = 2 имеем (1 — 17д,) (7, + !7,) = 7, — 17, + 17, — 7, = О. Таким образом, как и следовало ожидать„ компоненты плотности тока, перпендикулярные оси г, оказываются равными нулю. Выполняя такие же преобразования для компоненты з„ получаем з, = !ес (7, — 1) (шз" — пз,'7з) (евз7з + шз) (1 — 7,) (1 — 17Д)', Так как (1 — !7д,)з = 2 (1 — 17з7з), (198.5) то выражение для з, принимает вид з, = 2!ес (7, — 1) ((пз,"ю, — из,'пзз) + (( ее, !з — ( пз, ~') 7,) (1 — 7,) (1 — 17,7,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
