Fluegge-2 (1185101), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Таким образом, рассматриваемый интеграл расходится при малых значениях р, т, е., согласно (185.8), при малых значениях прицельного расстояния Ь. Эта расходимость связана с использованием разложения (185.2а) для энергии взаимодействия, которое имеет смысл лишь в том случае, если расстояние г между валентным электроном и атомным остовом мало по сравнению с прицельным расстоянием Ь.
Возникшую расходнмость можно устранить, полагая Ь„,„=- го, где г,— эффективный радиус атома. Согласно соотношению(185.8), имеем ео (мо мо) Рмон (185.19) 177 188. Фогловгафект Так как скорость и должна быть велика по сравнению со скоростью валентного электрона, то ~„„„((1 и мы можем пользоваться соотношениями (185.18). В результате для эффективного сечения возбуждения атома получаем о„=8п ( — ) )<й!х) 0> 1а(1п ( " — С) . (185.20) Точное значение обрезаюшего радиуса г, несущественно, так как он стоит под знаком логарифма, а логарифмическая функция сравнительно медленно меняется при изменении ее аргумента. Примечание.
Метод, использованный при решении этой задачи, заимствован нами из теории кулоновского возбуждения атомных ядер: см., например, А1оег К. Яггнгвег ЯГ., Рап. Ма1.-гуз. Меоб., 29, 19(1955). Задача 186. Фотоэффект На атом водорода, находящийся в основном состоянии, падает линейно поляризованная световая волна (8(~х, Я*((у), распространяющаяся в положительном направлении оси го Найти угловое распределение фотоэлектронов и вычислить дифференциальное сечение фотоэффекта. Считать, что электроны в конечном состоянии приближенно можно описывать плоскими волнами. Эффекты запаздывания не учитывать. Решение.
Световую волну можно описать, задав вектор-потенциал А в виде А„= — '8есоз ~ш (1 — — ) + Ь], А„= О, А, = О, (186,1) при этом отличные от нуля компоненты напряженностей электри- ческого и магнитного полей будут равны = — — А„=8,з)п ~ш~1 — — ')+Ь~, Я„= — "=8,з!п [ (1 — — )+Ь~, Усредненный вектор Умова — Пойнтинга направлен вдоль оси г и имеет величину Отсюда для числа фотонов, падающих в 1 с на 1 смв, получаем се~1 (186.2) злйы У. Нестацианарныг еадаци Гга Энергия взаимодействия между световой волной и атомным электроном, согласно задаче 125, имеет вид )ц" = — — 1(А - Ч) = Юе-'"'+ ЛЛ7~е'"', где Ю = — — 8(е '"— ед .
д Зрцр о д» (186. 4) Выше множитель ехр (Ъг/с), учитывающий запаздывание, мы положили равным 1. Теперь можно применить метод, развитый в задаче 182. Резонансный знаменатель вт — в, — м, обеспечивающий выполнение закона сохранения энергии, имеется лишь в члене ЛЛ7. Полагая 1 х = — (аг — ыг — м) 1, получаем !а,(1) Р= — „', ~ <~~ЛЛ711> Р— "„",'" .
в котором рг означает плотность электронов в конечном состоянии. Согласйо соотношению (183.8), имеем ег р = — /г сЫР аязЬ (186.6) Здесь У вЂ” нормировочный объем, а Йяг — величина импульса фотоэлектрона. Дифференциальное сечение фотоэмиссии в телесный угол Ю определяется как отношение Р~(п, поэтому с учетом соотношений (186.2) и (!86.4) — (186.6) можно написать а =,„'' А,(а,((рф).))". (186.7) Л1ы имеем дело с центральным взаимодействием, так что волновая функция основного состояния ~1> не зависит от угловых переменных и, следовательно, производная — ) 1> = — з)п 6 соз<р д . д)ре дк Ф пропорциональна сферической гармонике первого порядка, поэтому матричный элемент не исчезаег только в том случае, если состояние фотоэлектрона является р-состоянием.
Отсюда для вероятности перехода Рг из начального состояния ~1> в конечное состояние ~~> находим выражение Р;-— ' "р,~<Г!)л 1г>(, 179 уаб. Фогпоа4Ьфекла Пусть конечное состояние фотоэлектрона приближенно описывается плоской волной, тогда ! 7> = 1'- и е Р"" т = —, ~~~, (21+ 1) агу', (луг) Рс (сову), (1869) 1=О где у означает угол между векторами му н г. Как уже говори.
лзсь, из этой суммы вклад в матричный элемент дает лишь один член (р-состояние) с 1=1: (~~ д )!)= З ~~'~ ). ! гас(гфсовувшбсов~рс(й. 'о Таким образом, и д 4н Г 1, (Луг) д)1> (7 ( — !) = в!и й сов Ф ) гас(г, о так что в силу (186.7) имеем гм а да Виеа 1 Г Л)1> Ж 'лг () — < ! г), (и г) — с(г в!па 6) сова Ф. !о (186.10) Для получения хороших количественных результатов фигурирующую в последнем выражении радиальную функцию 1, следует заменить более точным выражением (напомним, что радиальная функция 1, появляется у нас в результате использования приближения плоских волн").
Однако угловое распределение фото- электронов полученная формула описывает правильно. Такое распределение согласуется и с классическими представлениями, поскольку функция в!па 6) сова Ф достигает максимума, когда фотоэлектроны вылетают параллельно осн х, вдоль которой направлен вектор электрической напряженности. ы Приближение плоских волн приводит к правильиыы количественным результатам, если параду с первым учесть второе борновское приближение. Си„например, Лысов Б. А., Изв. вузов, Физика, 1, 71 (1961).— Прим.
ред. Учитывая далее, что сов у = сов б сов 9+ яп б в!и 6) (сов гр сов Ф+ в!и гр яп Ф), где 18, Ф и б, гр — сферические углы соответственно векторов уву и г, нетрудно выполнить интегрирование по с(ь): в!п 6) сов Ф ф яп' б сов' ~рс(ь) = — яп 6) сов Ф. з )г.
Нестационарные задачи 180 Замечание. Для К-электрона йз а= (Š— 5) аыз ~ !у= ч Аа Ае г!а (по поводу экранировочной постоянной з см. задачу 178), поэтому интеграл из формулы (!86.10) можно записать в виде чг Ю х )г(дуг) — 'гг( =— г)(пг 1 е где х=й г. Интеграл вычисляется элементарными методами, и мы получаем 2 И'аз ггпа (1+ Из!а')' Эта формула справедлива при условии Ига~) 1, поскольку в противном случае приближение плоских волн становится несостоятельным.
Таким образом, имеем 2 У т — (Ирт) )г па ао 32 аз 1 — = — —, в!и' Е соа' Ф. аьг) тсаз ый) Учитывая далее равенство езаз — = йыр 2т окончательно получаем г(а а . е' тзеге 1 — т 8(2 — з)а в!пей соззФ вЂ”.—. 0117 ас а' ыюз)И! Более точные расчеты подтверждают в общих чертах вытекающие из этой формулы выводы: быстрое увеличение сечения с ростом величины Я вЂ” з, быстрое убывание сечения, примерно как ы-за, с ростом энергии кванта йгв, правильное угловое распределение электронов и, наконец, правильный порядок вели. чины сечения фотоэффекта. Литература З(оЬЬе М., Апп.
Рпуз., 7, 66! (1930). Учет запаздывания для водорода: Зоттег(е!г( А., Зсйиг О., Апп. Рйуз., 4, 409 (1930). Релятивистская теория: Яаитег Р., Апп Рйуз., 11, 454 (!931). Задача 187. Дисперсия света. Силы осцилляторов Световая волна, рассмотренная в предыдущей задаче, но с 8 = — О, взаимодействует с атомом. Считая, что во взаимодействии участвует только один электрон, найти индуцированиую поляризацию и получить нз нее выражение для сил осцилляторов. !8! 187. Дисперсия света. Сипи осцилляторов Пренебрегая запаздыванием, выразить все встречающиеся в задаче матричные элементы через' матричные элементы электрического дипольного момента.
Решение. В обозначениях задачи 181 состояние атома, находящегося под действием световой волны, записывается в виде /ф>=~,а,(1)(1>е '"", где ~1> — состояние невозмущенного атома. Используя выражение (182.2) для коэффициентов а,(1) и опуская в нем члены, связанные с процедурой включения световой волны, получаем С (ис-ие-и) ! ~ ф> ( О> е-сип ~~» ~<1 ! 'т(( ! 0> + а оп — 03 р — со Е (и~-йел-я) Е ! + <1! у(/() О> ) ) 1> е '"е'. ив — сов+ т Выше )0> означает основное состояние атома, а (1> — любое его возбужденное состояние, так что со,— <о, ) О, и только член, стоящий в сумме первым, имеет резонансный характер.
Пренебрегая нерезонансным членом, можно записать состояние атома в виде ~Ф)=(~0> — х'л, (П) -' . (!87д!) Мы знаем, что оптические свойства определяются в основном иидуцированным дипольным моментом р„,я, который определяется соотношением )э.„.= — Ц<р)г~ р>8е — <О~г~О>,'.
Подставляя сюда выражение (187.!) и пренебрегая поправками второго порядка, получаем е чп <О ( г (! > <1 ! 'яч ( О> е рм+ <1(г ( О> <1 ( ЪУ ! 0>евсеи Реял — ~', со, — сор — со Это выражение можно значительно упростить, заменив матричные элементы < 1 ~ Че ~ О> энергии взаимодействия (187. 4) матричными элементами электрического дипольного момента атома р в направлении электрического поля световой волны: <1' ,р, ( 0> = — е< 1 ! х ~ 0>.
(187,5) 182 У. Нестационарные задачи Такую замену можно сделать, воспользовавшись соотношением (Е / — ! А) = — (оэа — шг) <Е / х / А>; дх( В (187.6) оно справедливо для любой пары состояний ~ Е> и ~Ег>. Соотношение (187.6) можно вывести, например, следующим образом. Ив уравнений Шредингера ( эз — — та+У ) 1й>= дгеа(й>, 2т ( йз — — р +У) <11=й,<11 2лг Так как --й „) а (ох) реи дах = — 1 Ч (ох) .г7и дзх.— — — ~ ! яро тги + о — ) дах, дх) то выражение, стоящее в фигурных скобках в (!87.6в), можно записать в виде -(% М ~ д й* =- й Г~ ). Подставляя зто выражение в формулу (!87.6а), легко получаем соотношение (187.6).
С помощью соотношения (187.6) выра!кение для индуцированного дипольного момента (187.3) преобразуется к виду гба ч~ <01Р 1 1> <1 1 рх1 О> е ' ' — Я Р ! О> <1 1 р„! О> * е' ' (18 7 7) Ряяа— ! Если атомы статистически независимы, то их дипольные моменты р с равной вероятностью могут иметь любое направление, поэтому прн усреднении у-компонента и г-компонента вектора р„„, обратятся в нуль и останется лишь компонента индуцированного дипольного момента в направлении оси х, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
